Метод логарифмического дифференцирования

 

Метод логарифмического дифференцирования удобен для нахождения производной показательной функции , показательно – степенной функции , а также, если функция представляет собой выражение вида . Этот метод состоит в следующем: данное выражение сначала логарифмируют по основанию е, а затем дифференцируют как тождество, получая уравнение для нахождения производной.

 

Пример

Найти производную функции применяя метод логарифмического дифференцирования.

Решение

Здесь основание и показатель степени зависит от х. Логарифмируем обе части равенства по основанию е:

,

применяя свойства логарифмов, получим

.

Продифференцируем обе части последнего равенства по х, рассматривая у как функцию х:

,

умножим обе части равенства на у и подставим вместо у его выражение , получим

.

Производная функции, заданной неявно

 

Дифференцирование функций, заданных неявно, опирается на возможность почленного дифференцирования тождеств.

В общем случае уравнение почленно дифференцировать нельзя.

Пусть функция задана неявно уравнением и известно, что существует решение этого уравнения в виде ; подставив это решение в уравнение, получим тождество .

Продифференцировав по х, получим уравнение для нахождения производной .

 

Пример

Найти производную функции, заданной неявно: .

Решение

Продифференцируем обе части данного уравнения по аргументу х:

 

 

Дифференцирование функций, заданных параметрически

 

Пусть функция задана параметрически уравнениями

(1) - параметр.

Требуется найти производную .

Имеет место формула

или .

 

Пример

Найти производную функции, заданной параметрически: .

Решение

Найдем производные функций х и у по переменной t:

,

.

Согласно формуле , получим

.

Исследование функций и построение графиков функций

Одна из возможных схем исследования функции и построения ее графика включает следующие этапы решения задачи:

 

1. Найти область определения функции.

2. Найти точки пересечения графика функции с осями координат.

3. Определить четность, нечетность.

4. Найти точки разрыва функции и асимптоты графика функции.

5. Исследовать функцию на экстремум, найти интервалы монотонности функции, точки максимума и минимума.

6. Найти интервалы выпуклости, вогнутости графика функции и точки перегиба.

7. Построить график функции.

 

Пример

С помощью методов дифференциального исчисления исследовать и построить график функции .

Решение

1. Область определения функции находится из условия: , т.е. .

2. Точки пересечения графика функции с осями координат:

с осью Оу, , точка ,

с осью Ох, , точка .

3. Четность, нечетность.

Функция называется четной, если для любого х из области определения справедливо равенство . Функция называется нечетной, если для любого х из области определения справедливо равенство . Если не выполнено ни одно из равенств, то функцию называют функцией общего вида.

В нашем случае, , следовательно, функция нечетная, а ее график симметричен относительно начала координат.

4. Точки разрыва функции и асимптоты графика функции.

1) Вертикальные асимптоты. Прямая является вертикальной асимптотой графика функции , если хотя бы один из пределов

или

равен или . Таким образом, для нахождения вертикальных асимптот следует найти все точки разрыва 2-го рода данной функции. Если точек разрыва нет, то нет и вертикальных асимптот.

Заданная функция имеет две точки разрыва второго рода и , так как

, ,

, ,

следовательно, график функции имеет две вертикальных асимптоты и .

2) Горизонтальные асимптоты. Горизонтальная асимптота – частный случай наклонной асимптоты, когда .

Чтобы найти горизонтальные асимптоты графика функции, нужно найти пределы:

.

Если эти пределы конечны и различны, то прямые будут горизонтальными асимптотами. Если какой-либо из этих пределов не существует или равен , то не существуют и соответствующие асимптоты.

Так как

,

то график функции имеет горизонтальную асимптоту .

 

3) Наклонные асимптоты. Пусть прямая является асимптотой графика функции . Такую асимптоту называют наклонной. Для того, чтобы график функции имел при наклонную асимптоту , необходимо и достаточно, чтобы существовали оба предела:

.

Аналогично находится асимптота при .

Так как , то наклонных асимптот нет.

 

 

5. Исследование функции на экстремум.

Для определения интервалов возрастания и убывания функции и ее точек экстремума найдем первую производную:

.

Найдем критические точки, т.е. точки, в которых производная равна нулю или не существует, для чего приравниваем числитель к нулю:

, т.е. вещественных корней нет, следовательно, точек экстремума нет. Так как производная отрицательна во всей области определения функции, то она всюду убывает в этой области.

_ _ _

х

-6 6 у

 

 

6. Исследование на выпуклость, вогнутость. Точки перегиба.

Вычислим производную второго порядка:

Необходимое условие точки перегиба: или не существует. Равенство выполняется при , следовательно, эта точка является «подозрительной» на точку перегиба. Определим знак второй производной на всей числовой оси и укажем на ней интервалы выпуклости и вогнутости функции.

 

_ + _ +

х

-6 0 6 у

Так как при переходе через точку вторая производная меняет знак, то точка с абсциссой является точкой перегиба. Итак, точка перегиба имеет координаты .

 

 

7. Построение графика функции.