Основные формулы дифференцирования

1. . 11. .

2. . 12. .

3. . 13. .

4. . 14. .

5. . 15. .

6. . 16. .

7. . 17. .

8. . 18. .

9. . 19. .

10. 20.

 

Рассмотрим примеры нахождения производных различных функций на конкретных примерах.

Задача 6. Найти производную функции

 

.

 

Решение. Применяем формулу (5) дифференцирования произведения

.

Далее используем формулу (2) и формулу (3) дифференцирования алгебраической суммы

 

.

 

При дифференцировании алгебраической суммы к первому слагаемому применим формулу (7), ко второму (4), к третьему (1), получим

 

.

 

Затем используем формулу (11)

 

=

 

.

 

Задача 7. Найти производную функции

 

.

 

Решение. Используем формулу (3) дифференцирования алгебраической суммы

.

 

К первому слагаемому применяем формулу (6) дифференцирования частного, а ко второму формулу (11)

 

.

Далее используем формулы (13), (7) и (14)

 

.

 

Для получения окончательного ответа осталось использовать формулы (12), (4) и (2), а также выполнить преобразования

=

 

= =

 

.

 

Задача 8. Найти производную функции

 

.

 

Решение. В данном случае удобнее вначале упростить данную формулу, используя свойства логарифмов

 

= =

.

 

Далее, пользуясь правилами дифференцирования и таблицей производных, получаем

= =

 

=

.

Вопросы для самопроверки

 

1. Дайте определение производной функции.

2. Каков геометрический смысл производной?

3. В чем заключается физический смысл производной?

4. Сформулируйте правила дифференцирования суммы, произведения, частного.

5. Приведите формулы дифференцирования основных элементарных функций.

6. Сформулируйте правило дифференцирования сложной функции.

7. Что называется дифференциалом функции? Каков его геометрический смысл?

8. Что называется производной второго порядка? Каков физический смысл производной второго порядка?

 

Тема 3. Исследование функции с помощью производной

Литература: 1. Шипачев В.С. Высшая математика. М. Высшая школа. 2008. Гл. 6.

2. Красс М.С. Математика для экономических специальностей. М. Дело. 2002. Гл. 5.

 

Методические указания

 

Исследование функции предусматривает нахождение области ее определения, точек экстремума и интервалов возрастания и убывания, а также точек перегиба и интервалов выпуклости и вогнутости графиков функции.

Областью определения функции называется совокупность значений ее аргумента, для которых функция имеет смысл или, как говорят, функция определена. Например, областью определения функции является интервал , так как при отрицательных значениях х она не определена, а функции – интервал , так как знаменатель дроби не может быть равным нулю.

Экстремумом функции называется собирательное значение максимума или минимума этой функции в какой-либо точке. Согласно теореме Ферма, если функция в точке экстремума имеет производную, то эта производная равна нулю.

 

.

 

Интервал значений аргумента, при котором с увеличением аргумента функция также увеличивается, называется интервалом возрастания функции. И наоборот, интервал, при котором с уменьшением аргумента функция уменьшается – интервалом убывания. На интервале возрастания первая производная функции положительна, соответственно, на интервале убывания – отрицательна.

Точками перегиба функции называются такие значения ее аргумента, при которых рост возрастающей функции останавливается, но затем, по мере дальнейшего увеличения аргумента, возобновляется. Тоже самое относится и к убывающей функции. В точках перегиба функции, и ее первая, и вторая производные равны нулю.

 

.

 

Интервалом вогнутости функции называется совокупность значений аргумента, при которых возрастает ее первая производная, то есть вторая производная функции положительна. Аналогично, интервал выпуклости функции, это совокупность значений аргумента при которых убывает первая производная, и, соответственно, вторая производная отрицательна.

Рассмотрим исследование функции на конкретном примере.

 

Задача 9. Исследовать функцию с помощью производной и построить ее график.

 

Решение. 1. Находим область определения функции.

Выражение имеет смысл при любом действительном значении аргумента х, следовательно, областью определения функции является множество действительных чисел .

 

2. Находим первую производную заданной функции

 

или .

 

3. Критическими точками функции называются точки, в которых производная равна нулю или не существует. Найдем их:

, т. е. или .

Согласно решению квадратного уравнения , и . Других критических точек нет.

 

4. Обращение производной функции в нуль или ее отсутствие в точках, где функция определена, есть лишь необходимое условие существования экстремума функции в этих точках.

Достаточным условием существования экстремума функции в критической точке, входящей в область определения функции, является изменение знака производной первого порядка при переходе через эту точку. В частности, если производная меняет знак с плюса на минус, то в критической точке функция имеет максимум. Если же при переходе через критическую точку производная меняет знак с минуса на плюс, то в этой точке функция имеет минимум.

Определим, являются ли точки и точками экстремума. Они разбивают всю числовую ось на три промежутка, (рис. 1), знак производной в которых определим с помощью «пробной» точки.

 

● ●

1 5 х

 

Рис. 1

 

В интервале (–∞; 1) возьмем, например, точку х = 0. Тогда

 

.

 

В интервале (1; 5) возьмем точку х = 2. Очевидно

 

.

 

Наконец, в интервале (5; ∞) возьмем точку х = 6. Тогда

 

.

 

Следовательно, точка х = 1 есть точка максимума данной функции, а точка х = 5 – точка минимума. Найдем значение функции в точках экстремума:

у _max = y (1) = (1³ – 9∙1² + 15∙1 – 3) = 1.

 

у _min = у (5) = (5³ – 9∙5² + 15∙5 – 3) = – 7.

 

5. Если производная функции положительна внутри некоторого промежутка, то функция возрастает на этом промежутке. Если же производная отрицательна внутри некоторого промежутка, то функция убывает на этом промежутке.

Очевидно, данная функция возрастает на промежутках (–∞; 1) и (5; ∞), а убывает на промежутке (1; 5).Результат исследований п. 4 и п. 5 удобно представить в виде схемы.

6. Найдем вторую производную у ″(х) данной функции

 

у ″(х) = (3 х ² – 18 х + 15)′ = (6 х – 18).

 

Найдем точки, в которых вторая производная функции равна нулю

 

(6 х - 18) = 0, откуда х = 3.

 

+ – +

• •

1 5 х

max min

 

Рис. 2

 

Точка х = 3 разбивает всю числовую ось на два интервала (–∞; 3) и (3; ∞). В интервале (–∞; 3) возьмем, например, точку х = 0 и определим в ней знак второй производной

 

у ″(0) = (6∙0 – 18) = < 0.

 

В интервале (3; ∞) возьмем, например, точку х = 4, тогда

 

у ″(4) = (6∙4 – 18) = > 0.

 

Если вторая производная f ″(х) положительна внутри некоторого промежутка, то график этой функции на этом промежутке вогнутый вверх (или выпуклый вниз). Если же вторая производная f ″(х) внутри некоторого промежутка отрицательна, то график функции на этом промежутке выпуклый вверх (или вогнутый вниз).

Очевидно, на интервале (–∞; 3) график данной функции выпуклый вверх, а на промежутке (3; ∞) – вогнутый вверх.

 

7. Если вторая производная f ″(х) в некоторой точке х ₀, принадлежащей области определения функции, обращается в нуль и при переходе через эту точку меняет знак, то точка является точкой перегиба графика функции . Итак, х = 3 – абсцисса точки перегиба. Найдем ее ординату

 

у (3) = (3³ – 9∙3² + 15∙3 – 3) = (–12) = –3.

 

Таким образом, точка (3; -3) - точка перегиба графика функции.

 

8. Строим график функции у = (х ³ – 9 х ² + 15 х – 3) (рис. 3).

 

Рис. 3

 

Вопросы для самопроверки

 

1. Сформулируйте признаки возрастания (убывания) функции в данном промежутке.

2. Какие точки называются критическими? Как найти эти точки?

3. Сформулируйте необходимые условия существования экстремума функции.

4. Сформулируйте достаточные признаки существования экстремума функции.

5. Дайте определение выпуклости, вогнутости кривой.

6. Что называется точкой перегиба графика функции?

7. Какова схема исследования функции на экстремум с помощью производной?

 

 

Тема 4. Функции нескольких переменных

Литература: 1. Шипачев В.С. Высшая математика. М. Высшая школа. 2008. Гл. 11, 12.

2. Красс М.С. Математика для экономических специальностей. М. Дело. 2002. Гл. 10.

 

Методические указания

 

В реальной практике очень часто приходится иметь дело с функциями, значение которых зависит от нескольких независимых переменных. Например, площадь треугольника зависит от двух переменных: длины основания а и длины высоты , проведенной к этому основанию. То есть . Объем параллелепипеда определяется уже значениями трех независимых переменных: его длины – а, ширины – b, и высоты h, т. е. .

Нахождение производной от функции нескольких переменных проводится по тем же формулам, что и от функций одной переменной, при одном условии: производная берется по какой-либо одной независимой переменной, остальные независимые переменные считаются константами. В силу этого такие производные называются частными производными функции нескольких переменных, с указанием той переменной, по которой производится дифференцирование.

Распространены две формы записи частной производной функции нескольких переменных. Пусть дана функция . Тогда частная производная этой функции по х может быть записана как , или как , частная производная по z - или . Проиллюстрируем это на конкретных примерах.

 

Задача 10. Найти частные производные функции

 

z = 6 x ⁴ – 3 x ³ y + 3 xy ² – 6 y ⁵ + 0,2 по х и у.

 

Решение. При нахождении частной производной по х, переменная у считается постоянной

 

=

 

=

 

= .

 

При нахождении частной производной по у, переменная х считается постоянной

=

 

=

 

= .

 

Задача 11. Найти частные производные функции

.

 

Решение. При нахождении частной производной по х переменная у считается постоянной

=

 

=

 

=

 

=

 

.

 

При нахождении частной производной по у, переменная х считается постоянной.

=

 

=

 

=

 

 

= .

 

Вопросы для самопроверки

 

1. Сформулируйте определение функции двух независимых переменных.

2. Дайте определение частных производных функции двух независимых переменных.

3. Запишите формулу для вычисления полного дифференциала функции двух независимых переменных.

4. Как находятся частные производные второго порядка функции двух независимых переменных?

 

 

Тема 5. Неопределенный интеграл

Литература: 1. Шипачев В.С. Высшая математика. М. Высшая школа. 2008. Гл. 7.

2. Красс М.С. Математика для экономических специальностей. М. Дело. 2002. Гл. 6.

 

Методические указания

 

Часто бывает необходимо найти функцию по ее известной производной. Если на интервале (а, b) для двух функций и справедливо соотношение , то называется первообразной для функции . При этом, если – первообразная для , то при любой постоянной С функция , также является первообразной для . Например, для функции , ее первообразная может иметь вид , или , или , и т. п.

Неопределенным интегралом от функции называется общее выражение всех производных этой функции . Неопределенный интеграл обозначается символом и по определению

 

.

 

Разумеется, . Выражение называется подынтегральным выражением, а функция – подынтегральной функцией. Неопределенные интегралы от элементарных функций приведены в табл. 2.

Таблица 2

Таблица неопределенных интегралов

	х + С

 

Свойства неопределенного интеграла:

 

1. .

 

2. – постоянный множитель можно выносить за знак интеграла.

 

3. – интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от этих функций.

 

Практика нахождения интегралов, как правило, заключается в таком преобразовании подынтегральной функции, которое позволяет привести данный интеграл к табличному. Рассмотрим приемы преобразования подынтегральных функций на конкретных примерах.

 

Задача 12. Найти интеграл .

 

Решение. Преобразуем подынтегральную функцию, а затем применяем свойства неопределенного интеграла и табличные интегралы

 

и .

 

Получаем

 

= = = =

 

= = = .

 

Задача 13. Найти интеграл .

 

Решение. Чтобы привести данный интеграл к табличному , положим , тогда . Произведем замену в подынтегральном выражении

= = .

 

Задача 14. Найти интеграл .

 

Решение. Чтобы привести данный интеграл к табличному, положим . Тогда или . Отсюда . Выполнив замену в подынтегральном выражении, получаем

 

= = = = =

 

= = .

 

Задача №15. Найти интеграл .

 

Решение. Чтобы привести данный интеграл к табличному, положим . Тогда или . Выполнив некоторые преобразования подынтегрального выражения, произведем замену переменной:

 

= = = .

 

Задача 16. Найти интеграл .

 

Решение. Чтобы привести данный интеграл к табличному , положим , тогда или . Заметив, что числитель подынтегрального выражения отличается от дифференциала переменной t лишь на постоянный множитель, произведем замену

 

= = = = .

 

Задача 17. Найти интеграл .

 

Решение. Для нахождения данного интеграла применим формулу интегрирования по частям: .

 

Положим , . Тогда , .

Отсюда

.

В интеграле применим подстановку , откуда

, или . Следовательно,

= = = .

Окончательно имеем: .

 

Задача 18. Найти интеграл .

 

Решение. Для нахождения данного интеграла также используем формулу интегрирования по частям. Положим u=x² и dv= sin x×dx. Тогда du=2xdx и . Отсюда

 

= -x ²cos x + = -x² cos x + .

 

Для нахождения опять воспользуемся методом интегрирования по частям, положив u=x, а dv=cosx dx. Тогда d u=dx и v=sinx. Окончательно получим

 

=

 

Вопросы для самопроверки

 

1. Какая функция называется первообразной для данной функции?

2. Дайте определение неопределенного интеграла от данной функции.

3. Сформулируйте основные свойства неопределенного интеграла.

4. В чем сущность интегрирования методом замены переменной?

5. Выведите формулу интегрирования по частям.

 

 

Тема 6. Определенный интеграл и его приложения

Литература: 1. Шипачев В.С. Высшая математика. М. Высшая школа. 2008. Гл. 8.

2. Красс М.С. Математика для экономических специальностей. М. Дело. 2002. Гл. 7.

Методические указания

 

Под определенным интегралом от данной непрерывной функции на данном отрезке [ a; b ] понимается соответствующее приращение ее первообразной, то есть

 

.

 

Числа а и b называются соответственно верхним и нижним пределом интегрирования. Обычно разность обозначают как , в силу чего формулу определенного интеграла обычно записывают так

,

 

причем следует помнить, что сначала подставляется верхний предел интегрирования, а затем нижний.

Определенный интеграл имеет также геометрический смысл, заключающийся в том, что он равен площади криволинейной трапеции, то есть такой трапеции, одна из непараллельных сторон которой представляет собой график функции на интервале [ a; b ].

Вычисление определенных интегралов также представляет собой приведение с помощью различных приемов данного интеграла к табличному

 

Задача 19. Вычислить определенный интеграл

 

.

 

Решение. Данный интеграл приводится к табличному с помощью подстановки t = ln x. Отсюда . Определим пределы интегрирования новой переменной. При х = 1, t = ln1 = 0, при х = е, t = lne = 1. Произведем замену переменной и используем формулу Ньютона–Лейбница.

 

= = = arcsin1 – arcsin0 = .

 

 

Задача 20. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

 

y = x ², , y = 0, x = 2 (x > 0).

 

Решение. Данную фигуру можно разбить на две криволинейные трапеции, площади которых соответственно равны: S₁ и S₂. (Рис. 4).

Тогда S = S₁ + S₂. Найдем абсциссу точки А –точки пересечения двух линий.

 

 

у

 

2,0

 

1,5

 

1,0

0,5 у = 1/ х

 

0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 х

 

Рис. 4

 

Найдем пределы интегрирования, решив систему уравнений

 

Отсюда , или х ⁴ = 1, то есть х ₁ = –1 и х ₂ = 1.

Так как по условию x > 0, то абсцисса точки А равна 1. Следовательно,

 

= , и тогда

 

(кв.ед.).

 

Задача 21. Найти площадь фигуры, ограниченной параболой

и прямой y = x + 2.

Решение. 1. Изобразим данные линии на чертеже и заштрихуем фигуру, площадь которой нужно найти. Графиком функции является парабола.

Найдем производную данной функции и, приравняв ее к нулю, определим критическую точку.

.

Пусть y ′ = 2 – х = 0. Отсюда х = 2. Это – абсцисса вершины параболы. Ордината вершины . Ветви параболы направлены вниз. Найдем точки пересечения параболы с осью О х, положив у = 0. Тогда или . Решив данное квадратное уравнение, получим его корни: х ₁ = -2 и х ₂ = 6. Строим параболу (рис. 5).

2. Графиком функции у = х + 2 является прямая, для ее построения достаточно двух точек. При х = 0, у = 2, при х = 2, у = 4. Строим прямую.

 

3. Площадь фигуры, ограниченной сверху непрерывной кривой , снизу – непрерывной кривой находится по формуле:

,

где a и b – абсциссы точек пересечения кривых.

 

у

 

8

у = х + 2

6

 

 

4

 

2

 

 

–2 0 2 4 6 х

 

Рис. 5

 

Для нахождения точек пересечения данных линий, решим систему уравнений

 

, или .

 

Решая полученное квадратное уравнение, получим х ₁ = –2 и х ₂ = 4, следовательно, а = –2; b = 4. Применяя формулу площади, составим интеграл