Частные производные функции двух переменных

 

Переменная z называется функцией двух независимых переменных х и у на некотором множестве точек , если каждой паре значений из множества соответствует определенное значение величины z.

Пишут:

.

С геометрической точки зрения функция представляет собой поверхность.

Если при отношение частного приращения функции к вызвавшему его приращению аргумента имеет конечный предел, то этот предел называется частной производной функции по независимой переменной х в точке и обозначается , или , или .

Таким образом, по определению

.

Аналогично,

.

Так как вычисляется при неизменном значении переменной у, а – при неизменном значении переменной х, определение частных производных можно сформулировать так: частной производной по х функции называется обычная производная этой функции по х, вычисленная в предположении, что у есть постоянная; частной производной по у функции называется ее производная по у, вычисленная в предположении, что х – постоянная.

 

Пример 1

Найти частные производные функции .

Решение

 

Пример 2

Показать, что функция удовлетворяет уравнению .

Решение

Найдем частные производные

,

.

Подставим найденные выражения в левую часть уравнения:

что и требовалось доказать.

Дифференциал функции двух переменных

 

Частным дифференциалом функции называется произведение частной производной на соответствующее произвольное приращение независимой переменной:

выражение называется частным дифференциалом функции по переменной х;

выражение называется частным дифференциалом функции по переменной у.

 

Пример 1

Найти частные дифференциалы функции

Решение

, .

 

Полный дифференциал функции равен сумме ее частных дифференциалов:

.

 

Пример 2

Найти дифференциал функции .

Решение

Найдем частные производные

,

.

Подставим частные производные в формулу полного дифференциала, получим

.

 

Касательная плоскость и нормаль к поверхности

 

Прямая линия называется касательной к поверхности в некоторой точке , если она является касательной к какой-либо кривой, лежащей на поверхности и проходящей через точку .

Плоскость, в которой расположены все касательные прямые к линиям на поверхности, проходящим через данную точку , называется касательной плоскостью к поверхности в точке .

Если уравнение поверхности задано неявно, т.е. , то уравнение касательной плоскости к поверхности в точке имеет вид

Если уравнение поверхности задано в явном виде, т.е. , то уравнение касательной плоскости к поверхности имеет вид

.

 

Нормалью к поверхности называют прямую, перпендикулярную к касательной плоскости в точке касания.

Если уравнение поверхности задано неявно, т.е. , то уравнение нормали к поверхности в точке имеет вид

.

Если уравнение поверхности задано в явном виде, т.е. , то уравнение нормали имеет вид

.

Пример

Составить уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в точке .

Решение

Найдем частные производные и вычислим их значения в точке :

.

Уравнение касательной плоскости:

или .

Уравнение нормали:

.

 

Производная по направлению и градиент

 

Пусть функция дифференцируема в точке .

Производная функции по направлению вектора находится по формуле

,

где – единичный вектор заданного направления , , – направляющие косинусы вектора, которые находятся по формулам

.

 

Производная по направлению является скоростью изменения функции в точке по направлению .

Абсолютная величина производной по направлению определяет величину скорости, а знак производной – характер изменения функции (возрастание или убывание).

 

Градиентом функции в точке называется вектор, обозначаемый символом и равный

,

т.е. вектор, проекции которого на координатные оси Ох, Оу, Oz равны соответственно частным производным по х, у, z в точке от функции .

Градиент U в данной точке по численному значению и по направлению характеризует наибольшую скорость возрастания величины U.

 

Пример

Для функции в точке найти градиент и производную по направлению .

Решение

Градиент находим по формуле , где

тогда

.

Производная по направлению: ,

где , тогда

 

Краткое содержание (программа) курса

 

Элементы линейной алгебры

Матрицы, операции над ними. Определители и их свойства и вычисление. Ранг матрицы, обратная матрица. Теорема Кронекера-Капелли. Решение систем линейных алгебраических уравнений по формулам Крамера, матричным методом и методом Гаусса. Система m линейных уравнений с n неизвестными.