Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

Пусть каждой упорядоченной паре чисел из некоторой области соответствует определенной число . Тогда называется функцией двух переменных и , - независимыми переменными или аргументами, - областью определения функции, а множество всех значений функции - областью ее значений и обозначают .

Геометрически область определения функции обычно представляет собой некоторую часть плоскости , ограниченную линиями, которые могут принадлежать или не принадлежать этой области.

Пример 2.1. Найти область определения функции .

Решение.Данная функция определена в тех точках плоскости , в которых , или . Точки плоскости, для которых , образуют границу области . Уравнение задает параболу (рис. 2.1; поскольку парабола не принадлежит области , то она изображена пунктирной линией). Далее, легко проверить непосредственно, что точки, для которых , расположены выше параболы. Область является открытой и ее можно задать с помощью системы неравенств: .

рис. 2.1

Если переменной дать некоторое приращение , а оставить постоянной, то функция получит приращение , называемое частным приращением функции по переменной :

Аналогично, если переменная получает приращение , а остается постоянной, то функция получит приращение , называемое частным приращением функции по переменной :

.

Если существуют пределы:

,

,

они называются частными производными функции по переменным и соответственно.

Замечание 2.1. Аналогично определяются частные производные функций любого числе независимых переменных.

Замечание 2.2. Так как частная производная по любой переменной является производной по этой переменной при условии, что остальные переменные – постоянны, то все правила дифференцирования функций одной переменной применимы для нахождения частных производных функций любого числа переменных.

Пример 2.2. Найти частные производные функции .

Решение. Находим:

,

.

Пример 2.3. Найти частные производные функции .

Решение. Находим:

,

,

.

 

Полным приращением функции называется разность

.

Главная часть полного приращения функции , линейно зависящая от приращений независимых переменных и , называется полным дифференциалом функции и обозначается . Если функция имеет непрерывные частные производные, то полный дифференциал существует и равен

,

где , - произвольные приращения независимых переменных, называемые их дифференциалами.

Аналогично для функции трех переменных полный дифференциал определяется выражением

.

Пусть функция имеет в точке частные производные первого порядка по всем переменным. Тогда вектор называется градиентом функции в точке и обозначается или .

Замечание 2.3. Символ «» называется оператором Гамильтона и произносится «намбла».

Пример 2.4. Найти градиент функции в точке .

Решение. Найдем частные производные:

, ,

и вычислим их значения в точке :

, , .

Следовательно, .

 

Производной функции в точке по направлению вектора называют предел отношения при :

, где .

Если функция дифференцируема, то производная в данном направлении вычисляется по формуле

,

где , - углы, который вектор образует с осями и соответственно.

В случае функции трех переменных производная по направлению определяется аналогично. Соответствующая формула имеет вид

,

(2.1)

 

где - направляющие косинусы вектора .

Пример 2.5. Найти производную функции в точке в направлении вектора , где .

Решение. Найдем вектор и его направляющие косинусы:

, , , .

Вычислим значения частных производных в точке :

, , ; , , .

Подставляя в (2.1), получаем

.

 

Частными производными второго порядка называют частные производные, взятые от частных производных первого порядка:

,

,

,

Частные производные , называются смешанными. Значения смешанных производных равны в тех точках, в которых эти производные непрерывны.

Пример 2.6. Найти частные производные второго порядка функции .

Решение. Вычислим предварительно частные производные первого порядка:

, .

Продифференцировав их еще раз, получим:

, ,

, .

Сравнивая последние выражения, видим, что .

Пример 2.7. Доказать, что функция удовлетворяет уравнению Лапласа

.

Решение. Находим:

, .

, .

Тогда

.

 

Точка называется точкой локального максимума (минимума) функции , если для всех точек , отличных от и принадлежащих достаточно малой ее окрестности, выполняется неравенство

().

Максимум или минимум функции называется ее экстремумом. Точка, в которой достигается экстремум функции, называется точкой экстремума функции.

Теорема 2.1 (Необходимые условия экстремума). Если точка является точкой экстремум функции , то или хотя бы одна из этих производных не существует.

Точки, для которых эти условия выполнены, называются стационарными, или критическими. Точки экстремума всегда являются стационарными, но стационарная точка может и не быть точкой экстремума. Чтобы стационарная точка была точкой экстремума, должны выполняться достаточные условия экстремума.

Введем предварительно следующие обозначения:

, , , .

Теорема 2.2 (Достаточные условия экстремума). Пусть функция дважды дифференцируема в окрестности точки и точка является стационарной для функции . Тогда:

1. Если , то точка является экстремумом функции, причем будет точкой максимума при () и точкой минимума при ().

2. Если , то в точке экстремума нет.

3. Если , то экстремум может быть, а может и не быть.

Пример 2.8. Исследовать на экстремум функцию .

Решение. Так как в данном случае частные производные первого порядка всегда существуют, то для нахождения стационарных (критических) точек решим систему:

, ,

откуда , , , . Таким образом, получили две стационарные точки: , .

Находим:

, , .

Для точки получаем: , то есть в этой точке экстремума нет. Для точки получаем: и , следовательно, в этой точке данная функция достигает локального минимума: .

Дифференциальные уравнения

Рассмотрим основные виды дифференциальных уравнений первого порядка.