Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь FAQ Написать работу КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Дифференциальное исчисление функций нескольких переменныхСодержание книги
Похожие статьи вашей тематики
Поиск на нашем сайте
Пусть каждой упорядоченной паре чисел из некоторой области соответствует определенной число . Тогда называется функцией двух переменных и , - независимыми переменными или аргументами, - областью определения функции, а множество всех значений функции - областью ее значений и обозначают . Геометрически область определения функции обычно представляет собой некоторую часть плоскости , ограниченную линиями, которые могут принадлежать или не принадлежать этой области. Пример 2.1. Найти область определения функции .
Если переменной дать некоторое приращение , а оставить постоянной, то функция получит приращение , называемое частным приращением функции по переменной : Аналогично, если переменная получает приращение , а остается постоянной, то функция получит приращение , называемое частным приращением функции по переменной : . Если существуют пределы: , , они называются частными производными функции по переменным и соответственно. Замечание 2.1. Аналогично определяются частные производные функций любого числе независимых переменных. Замечание 2.2. Так как частная производная по любой переменной является производной по этой переменной при условии, что остальные переменные – постоянны, то все правила дифференцирования функций одной переменной применимы для нахождения частных производных функций любого числа переменных. Пример 2.2. Найти частные производные функции . Решение. Находим: , . Пример 2.3. Найти частные производные функции . Решение. Находим: , , .
Полным приращением функции называется разность . Главная часть полного приращения функции , линейно зависящая от приращений независимых переменных и , называется полным дифференциалом функции и обозначается . Если функция имеет непрерывные частные производные, то полный дифференциал существует и равен , где , - произвольные приращения независимых переменных, называемые их дифференциалами. Аналогично для функции трех переменных полный дифференциал определяется выражением . Пусть функция имеет в точке частные производные первого порядка по всем переменным. Тогда вектор называется градиентом функции в точке и обозначается или . Замечание 2.3. Символ «» называется оператором Гамильтона и произносится «намбла». Пример 2.4. Найти градиент функции в точке . Решение. Найдем частные производные: , , и вычислим их значения в точке : , , . Следовательно, .
Производной функции в точке по направлению вектора называют предел отношения при : , где . Если функция дифференцируема, то производная в данном направлении вычисляется по формуле , где , - углы, который вектор образует с осями и соответственно. В случае функции трех переменных производная по направлению определяется аналогично. Соответствующая формула имеет вид
где - направляющие косинусы вектора . Пример 2.5. Найти производную функции в точке в направлении вектора , где . Решение. Найдем вектор и его направляющие косинусы: , , , . Вычислим значения частных производных в точке : , , ; , , . Подставляя в (2.1), получаем .
Частными производными второго порядка называют частные производные, взятые от частных производных первого порядка: , , , Частные производные , называются смешанными. Значения смешанных производных равны в тех точках, в которых эти производные непрерывны. Пример 2.6. Найти частные производные второго порядка функции . Решение. Вычислим предварительно частные производные первого порядка: , . Продифференцировав их еще раз, получим: , , , . Сравнивая последние выражения, видим, что . Пример 2.7. Доказать, что функция удовлетворяет уравнению Лапласа . Решение. Находим: , . , . Тогда .
Точка называется точкой локального максимума (минимума) функции , если для всех точек , отличных от и принадлежащих достаточно малой ее окрестности, выполняется неравенство (). Максимум или минимум функции называется ее экстремумом. Точка, в которой достигается экстремум функции, называется точкой экстремума функции. Теорема 2.1 (Необходимые условия экстремума). Если точка является точкой экстремум функции , то или хотя бы одна из этих производных не существует. Точки, для которых эти условия выполнены, называются стационарными, или критическими. Точки экстремума всегда являются стационарными, но стационарная точка может и не быть точкой экстремума. Чтобы стационарная точка была точкой экстремума, должны выполняться достаточные условия экстремума. Введем предварительно следующие обозначения: , , , . Теорема 2.2 (Достаточные условия экстремума). Пусть функция дважды дифференцируема в окрестности точки и точка является стационарной для функции . Тогда: 1. Если , то точка является экстремумом функции, причем будет точкой максимума при () и точкой минимума при (). 2. Если , то в точке экстремума нет. 3. Если , то экстремум может быть, а может и не быть. Пример 2.8. Исследовать на экстремум функцию . Решение. Так как в данном случае частные производные первого порядка всегда существуют, то для нахождения стационарных (критических) точек решим систему: , , откуда , , , . Таким образом, получили две стационарные точки: , . Находим: , , . Для точки получаем: , то есть в этой точке экстремума нет. Для точки получаем: и , следовательно, в этой точке данная функция достигает локального минимума: . Дифференциальные уравнения Рассмотрим основные виды дифференциальных уравнений первого порядка.
|
|||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2016-04-07; просмотров: 1031; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 13.59.217.1 (0.011 с.) |