для различных видов правых частей

Таблица 3.1

№	Правая часть диф. уравнения	Корни характеристического уравнения	Виды частного решения
		1. Число 0 не является корнем характеристического уравнения
2. Число 0 является корнем характеристического уравнения кратности
		1. Число не является корнем характеристического уравнения
2. Число является корнем характеристического уравнения кратности
		1. Числа не являются корнями характеристического уравнения
2. Числа являются корнями характеристического уравнения кратности
		1. Числа не являются корнями характеристического уравнения
2. Числа являются корнями характеристического уравнения кратности

Здесь - многочлены от -й степени общего вида с неопределенными коэффициентами.

Пример 3.15. Найти общее решение уравнение .

Решение. Общее решение неоднородного линейного уравнения: . Соответствующее однородное уравнение имеет вид: . Составим характеристическое уравнение . Его корни , . В силу формулы (3.16) . Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде (см. таблицу 3.1). Находим производные и подставляем в заданное уравнение:

, ,

, .

Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях в левой и правой части:

,

откуда , , .

Общее решение исходного уравнения будет .

 

Пример 3.15. Найти общее решение системы дифференциальных уравнений

.

Решение. Дифференцируя одно из уравнений системы по (например, первое уравнение) и исключая функцию , сведем уравнение системы к решению уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Решая это уравнение, найдем функцию , а затем из первого уравнения найдем и функцию .

Итак,

.

(3.19)

Из второго уравнения находим и подставим в уравнение (3.19):

; .

Наконец, найдем из первого уравнения систем:

,

(3.20)

.

После преобразования получаем однородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами:

.

Решая характеристическое уравнение , получим , откуда

.

Функцию находим, подставляя и в формулу (3.20), после преобразований получим

.

Контрольная работа №4.

«Интегральное исчисление функции одной независимой переменной»

Задача 1. Вычислить неопределенные интегралы

1.1	1.	2.	3.	4.
1.2	1.	2.	3.	4.
1.3	1.	2.	3.	4.
1.4	1.	2.	3.	4.
1.5	1.	2.	3.	4.
1.6	1.	2.	3.	4.
1.7	1.	2.	3.	4.
1.8	1.	2.	3.	4.
1.9	1.	2.	3.	4.
1.10.	1.	2.	3.	4.
1.11.	1.	2.	3.	4.
1.12.	1.	2.	3.	4.
1.13.	1.	2.	3.	4.
1.14.	1.	2.	3.	4.
1.15.	1.	2.	3.	4.
1.16.	1.	2.	3.	4.
1.17.	1.	2.	3.	4.
1.18.	1.	2.	3.	4.
1.19.	1.	2.	3.	4.
1.20.	1.	2.	3.	4.
1.21.	1.	2.	3.	4.
1.22.	1.	2.	3.	4.
1.23.	1.	2.	3.	4.
1.24.	1.	2.	3.	4.
1.25.	1.	2.	3.	4.
1.26.	1.	2.	3.	4.
1.27.	1.	2.	3.	4.
1.28.	1.	2.	3.	4.
1.29.	1.	2.	3.	4.
1.30.	1.	2.	3.	4.

Задача 2. Вычислить неопределенные интегралы

2.1.	1.	2.
2.2.	1.	2.
2.3.	1.	2.
2.4.	1.	2.
2.5.	1.	2.
2.6.	1.	2.
2.7.	1.	2.
2.8.	1.	2.
2.9.	1.	2.
2.10.	1.	2.
2.11.	1.	2.
2.12.	1.	2.
2.13.	1.	2.
2.14.	1.	2.
2.15.	1.	2.
2.16.	1.	2.
2.17.	1.	2.
2.18.	1.	2.
2.19.	1.	2.
2.20.	1.	2.
2.21.	1.	2.
2.22.	1.	2.
2.23.	1.	2.
2.24.	1.	2.
2.25.	1.	2.
2.26.	1.	2.
2.27.	1.	2.
2.28.	1.	2.
2.29.	1.	2.
2.30.	1.	2.

Задача 3. Вычислить площадь фигур, ограниченных графиками функций

3.1.	3.2.
3.3.	3.4.
3.5.	3.6.
3.7.	3.8.
3.9.	3.10.
3.11.	3.12.
3.13.	3.14.
3.15.	3.16.
3.17.	3.18.
3.19.	3.20.
3.21.	3.22.
3.23.	3.24.
3.25.	3.26.
3.27.	3.28.
3.29.	3.30.

Задача 4. Вычислить длину дуги кривой, заданной параметрическими уравнениями (для 1-14 вариантов)

4.1. .	4.2. .
4.3. .	4.4. .
4.5. .	4.6. .
4.7. .	4.8. .
4.9. .	3.10. , .
4.11. , .	4.12. .
4.13. .	4.14. .

 

 

Вычислить длину дуги кривой, заданной уравнением в полярных координатах (для 15-30 вариантов)

4.15. , .	4.16. , .
4.17. , .	4.18. , .
4.19. , .	4.20. , .
4.21. , .	4.22. , .
4.23. , .	4.24. , .
4.25. , .	4.26. , .
4.27. , .	4.28. , .
4.29. , .	4.30. , .

 

 

Контрольная работа №5.

«Дифференциальное исчисление функций многих переменных»

Задача 1. Найти область определения указанных функций.

1.1.	1.2.
1.3.	1.4.
1.5.	1.6.
1.7.	1.8.
1.9.	1.10.
1.11.	1.12.
1.13.	1.14.
1.15.	1.16.
1.17.	1.18.
1.19.	1.20.
1.21.	1.22.
1.23.	1.24.
1.25.	1.26.
1.27.	1.28.
1.29.	1.30.

 

 

Задача 2. Найти частные производные первого порядка функции .

2.1.	2.2.
2.3.	2.4.
2.5.	2.6.
2.7.	2.8.
2.9.	2.10.
2.11.	2.12.
2.13.	2.14.
2.15.	2.16.
2.17.	2.18.
2.19.	2.20.
2.21.	2.22.
2.23.	2.24.
2.25.	2.26.
2.27.	2.28.
2.29.	2.30.

 

Задача 3. Найти градиент функции в точке . Вычислить производную по направлению вектора от функции в точке .

3.1.	.
3.2.	.
3.3.	.
3.4.	.
3.5.	.
3.6.	.
3.7.	.
3.8.	.
3.9.	.
3.10.	.
3.11.	.
3.12.	.
3.13.	.
3.14.	.
3.15.	.
3.16.
3.17.	.
3.18.
3.19.	.
3.20.	.
3.21.	.
3.22.	.
3.23.	.
3.24.	.
3.25.	.
3.26.	.
Ё3.27.	.
3.28.	.
3.29.
3.30.

Задача 4. Найти частные производные второго порядка функции . Убедиться, что .

4.1.	4.2.
4.3.	4.4.
4.5.	4.6.
4.7.	4.8.
4.9.	4.10.
4.11.	4.12.
4.13.	4.14.
4.15.	4.16.
4.17.	4.18.
4.19.	4.20.
4.21.	4.22.
4.23.	4.24.
4.25.	4.26.
4.27.	4.28.
4.29.	4.30.

Задача 5. Проверить, удовлетворяет ли указанному уравнению данная функция .

5.1.	.
5.2.	.
5.3.	.
5.4.	.
5.5.	.
5.6.
5.7.
5.8.	.
5.9.
5.10.	.
5.11.	.
5.12.	.
5.13.
5.14.
5.15.	.
5.16.	.
5.17.
5.18.	.
5.19.	.
5.20.	.
5.21.	.
5.22.	.
5.23.	.
5.24.	.
5.25.	.
5.26.	.
5.27.	.
5.28.	.
5.29.	.
5.30.	.

Задача 6. Найти экстремум функции .

6.1.	6.2.
6.3.	6.4.
6.5.	6.6.
6.7.	6.8.
6.9.	6.10.
6.11.	6.12.
6.13.	6.14.
6.15.	6.16.
6.17.