Интегрирование тригонометрических функций.

Интегралы вида , где - рациональная функция. Интегралы указанного вида приводят к интегралам от рациональных функций с помощью так называемой универсальной тригонометрической подстановки . В результате этой подстановки имеем:

, , , .

Пример 1.18. Вычислить .

Решение. Подынтегральная функция является рациональной относительно и . Воспользуемся подстановкой , тогда , , , откуда

Замечание 1.3. Универсальная подстановка во многих случаях приводит к сложным вычислениям.

В некоторых частных случаях нахождение интегралов вида можно упростить.

1. Если - нечетная относительно , то есть, если , то интеграл рационализируется подстановкой .

2. Если - нечетная относительно , то есть, если , то интеграл рационализируется подстановкой .

3. Если - четная относительно и , то есть , то интеграл рационализируется подстановкой (или ).

Пример 1.19. Вычислить .

Решение. Подынтегральная функция четна относительно синуса и косинуса. Полагаем , тогда , , , . Отсюда получаем

.

Далее имеем

.

Заметим, что нахождение интеграла можно упростить, если в исходном интеграле разделить числитель и знаменатель на :

.

 

Интегралы вида . Выделим здесь два случая.

Случай 1. По крайней мере один из показателей или - нечетное положительное число.

Если - нечетное положительное число, то применяют подстановку ; если же - нечетное положительное число, то применяют подстановку .

Пример 1.20. Вычислить .

Решение. Полагая , , получим

 

.

 

Случай 2. Оба показателя или - четные положительные числа. Здесь следует преобразовать подынтегральную функцию с помощью формул

,	(1.4)
,	(1.5)

 

Пример 1.21. Вычислить .

Решение. Из формулы (1.4) следует, что

.

Применив теперь формулу (1.5), получим

.

Итак,

.

 

Интегрирование иррациональных функций.

Интегралы вида , где - рациональная функция; - целые числа. С помощью подстановки , где - наименьшее общее кратное чисел , заданный интеграл преобразуется в интеграл от рациональной функции.

Пример 1.22. Вычислить .

Решение. Здесь поэтому . Воспользуемся подстановкой , тогда , и, следовательно,

.

Интегралы вида , , приводят к интегралам от , функции с помощью соответствующей замены: для первого интеграла (или ), для второго (или ) и для третьего (или ).

Пример 1.23. Вычислить .

Решение. Положим , , . Подставляя в исходный интеграл, получим

.

Выразим , если ,

.

Окончательно получаем

.

Определенный интеграл

Основные свойства определенного интеграла

1. .

2. .

3. .

4. .

5. , где - постоянная.

Правила вычисления определенных интегралов

1. Формула Ньютона-Лейбница:

,

где непрерывна на отрезке , - первообразная для .

2. Интегрирование по частям:

,

где , - непрерывно дифференцируемые функции на отрезке .

3. Замена переменной:

,

где - непрерывная вместе со своей производной на отрезке , , , - функция, непрерывная на .

3. Если - нечетная функция, то есть , то

.

4. Если - четная функция, то есть , то

.

Пример 1.24. Вычислить .

Решение. По формуле Ньютона-Лейбница имеем

.

 

Пример 1.25. Вычислить .

Решение. Воспользуемся методом интегрирования по частям. Положим , , откуда , . Тогда получим

.

 

Пример 1.26. Вычислить .

Решение. Положим , тогда ; если , то ; если , тогда . Следовательно,

.

 

Приложение определенного интеграла

Приведем некоторые приложения определенного интеграла.

Вычисление площади плоской фигуры

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой (где ), прямыми , и отрезком оси , вычисляется по формуле

.

Площадь фигуры, ограниченной кривыми и (где ),прямыми и , вычисляется по формуле

.

(1.6)

Если кривая задана параметрическими уравнениями , то площадь криволинейной трапеции, ограниченной этой кривой, прямыми , и отрезком оси , вычисляется по формуле

,

где и определяются из уравнений , , а при .

Площадь криволинейного сектора, ограниченного кривой, заданной в полярных координатах уравнением и двумя полярными радиусами , (), находится по формуле

.

 

Пример 1.27. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой и прямой (рис 1.1).

	Решение.Найдем точки пересечения прямой и параболы. Для этого решим уравнение , . Откуда , . Тогда по формуле (1.6) имеем . .
рис. 1.1