Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь FAQ Написать работу КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Интегрирование тригонометрических функций.Содержание книги Поиск на нашем сайте
Интегралы вида , где - рациональная функция. Интегралы указанного вида приводят к интегралам от рациональных функций с помощью так называемой универсальной тригонометрической подстановки . В результате этой подстановки имеем: , , , . Пример 1.18. Вычислить . Решение. Подынтегральная функция является рациональной относительно и . Воспользуемся подстановкой , тогда , , , откуда Замечание 1.3. Универсальная подстановка во многих случаях приводит к сложным вычислениям. В некоторых частных случаях нахождение интегралов вида можно упростить. 1. Если - нечетная относительно , то есть, если , то интеграл рационализируется подстановкой . 2. Если - нечетная относительно , то есть, если , то интеграл рационализируется подстановкой . 3. Если - четная относительно и , то есть , то интеграл рационализируется подстановкой (или ). Пример 1.19. Вычислить . Решение. Подынтегральная функция четна относительно синуса и косинуса. Полагаем , тогда , , , . Отсюда получаем . Далее имеем . Заметим, что нахождение интеграла можно упростить, если в исходном интеграле разделить числитель и знаменатель на : .
Интегралы вида . Выделим здесь два случая. Случай 1. По крайней мере один из показателей или - нечетное положительное число. Если - нечетное положительное число, то применяют подстановку ; если же - нечетное положительное число, то применяют подстановку . Пример 1.20. Вычислить . Решение. Полагая , , получим
.
Случай 2. Оба показателя или - четные положительные числа. Здесь следует преобразовать подынтегральную функцию с помощью формул
Пример 1.21. Вычислить . Решение. Из формулы (1.4) следует, что . Применив теперь формулу (1.5), получим . Итак, .
Интегрирование иррациональных функций. Интегралы вида , где - рациональная функция; - целые числа. С помощью подстановки , где - наименьшее общее кратное чисел , заданный интеграл преобразуется в интеграл от рациональной функции. Пример 1.22. Вычислить . Решение. Здесь поэтому . Воспользуемся подстановкой , тогда , и, следовательно, . Интегралы вида , , приводят к интегралам от , функции с помощью соответствующей замены: для первого интеграла (или ), для второго (или ) и для третьего (или ). Пример 1.23. Вычислить . Решение. Положим , , . Подставляя в исходный интеграл, получим . Выразим , если , . Окончательно получаем . Определенный интеграл Основные свойства определенного интеграла 1. . 2. . 3. . 4. . 5. , где - постоянная. Правила вычисления определенных интегралов 1. Формула Ньютона-Лейбница: , где непрерывна на отрезке , - первообразная для . 2. Интегрирование по частям: , где , - непрерывно дифференцируемые функции на отрезке . 3. Замена переменной: , где - непрерывная вместе со своей производной на отрезке , , , - функция, непрерывная на . 3. Если - нечетная функция, то есть , то . 4. Если - четная функция, то есть , то . Пример 1.24. Вычислить . Решение. По формуле Ньютона-Лейбница имеем .
Пример 1.25. Вычислить . Решение. Воспользуемся методом интегрирования по частям. Положим , , откуда , . Тогда получим .
Пример 1.26. Вычислить . Решение. Положим , тогда ; если , то ; если , тогда . Следовательно, .
Приложение определенного интеграла Приведем некоторые приложения определенного интеграла. Вычисление площади плоской фигуры Площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой (где ), прямыми , и отрезком оси , вычисляется по формуле . Площадь фигуры, ограниченной кривыми и (где ),прямыми и , вычисляется по формуле
Если кривая задана параметрическими уравнениями , то площадь криволинейной трапеции, ограниченной этой кривой, прямыми , и отрезком оси , вычисляется по формуле , где и определяются из уравнений , , а при . Площадь криволинейного сектора, ограниченного кривой, заданной в полярных координатах уравнением и двумя полярными радиусами , (), находится по формуле .
Пример 1.27. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой и прямой (рис 1.1).
|
||||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2016-04-07; просмотров: 506; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 35.171.164.77 (0.008 с.) |