Дифференциал функции двух переменных

 

Частным дифференциалом функции называется произведение частной производной на соответствующее произвольное приращение независимой переменной:

выражение называется частным дифференциалом функции по переменной х;

выражение называется частным дифференциалом функции по переменной у.

 

Пример 1

Найти частные дифференциалы функции

Решение

, .

 

Полный дифференциал функции равен сумме ее частных дифференциалов:

.

 

Пример 2

Найти дифференциал функции .

Решение

Найдем частные производные

,

.

Подставим частные производные в формулу полного дифференциала, получим

.

 

Касательная плоскость и нормаль к поверхности

 

Прямая линия называется касательной к поверхности в некоторой точке , если она является касательной к какой-либо кривой, лежащей на поверхности и проходящей через точку .

Плоскость, в которой расположены все касательные прямые к линиям на поверхности, проходящим через данную точку , называется касательной плоскостью к поверхности в точке .

Если уравнение поверхности задано неявно, т.е. , то уравнение касательной плоскости к поверхности в точке имеет вид

Если уравнение поверхности задано в явном виде, т.е. , то уравнение касательной плоскости к поверхности имеет вид

.

 

Нормалью к поверхности называют прямую, перпендикулярную к касательной плоскости в точке касания.

Если уравнение поверхности задано неявно, т.е. , то уравнение нормали к поверхности в точке имеет вид

.

Если уравнение поверхности задано в явном виде, т.е. , то уравнение нормали имеет вид

.

Пример

Составить уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в точке .

Решение

Найдем частные производные и вычислим их значения в точке :

.

Уравнение касательной плоскости:

или .

Уравнение нормали:

.

 

Производная по направлению и градиент

 

Пусть функция дифференцируема в точке .

Производная функции по направлению вектора находится по формуле

,

где – единичный вектор заданного направления , , – направляющие косинусы вектора, которые находятся по формулам

.

 

Производная по направлению является скоростью изменения функции в точке по направлению .

Абсолютная величина производной по направлению определяет величину скорости, а знак производной – характер изменения функции (возрастание или убывание).

 

Градиентом функции в точке называется вектор, обозначаемый символом и равный

,

т.е. вектор, проекции которого на координатные оси Ох, Оу, Oz равны соответственно частным производным по х, у, z в точке от функции .

Градиент U в данной точке по численному значению и по направлению характеризует наибольшую скорость возрастания величины U.

 

Пример

Для функции в точке найти градиент и производную по направлению .

Решение

Градиент находим по формуле , где

тогда

.

Производная по направлению: ,

где , тогда

 

Контрольная работа № 7. Обыкновенные дифференциальные уравнения.

 

7.1. Найти общее решение уравнения .

7.2. Найти общее решение уравнения .

7.3. Найти общее решение уравнения .

7.4. Решить задачу Коши:

7.4.1. .

7.4.2. .

7.5. Решить систему уравнений: , .

 

Краткие теоретические сведения для выполнения контрольной работы № 7 и решение типовых задач

 

ДУ 1-го порядка с разделяющимися переменными

Дифференциальное уравнение (ДУ) вида

 

 

называется уравнением с разделяющимися переменными. В нем коэффициенты при дифференциалах распадаются на множители, зависящие только от х и только от у.

 

Путем деления на выражение оно приводится к уравнению с разделенными переменными:

.

Общий интеграл его запишется в виде:

.

Замечание. Деление на может привести к потере решений или , обращающих это произведение в ноль. Среди этих решений могут быть особые решения.

 

Пример

Найти общее решение уравнения .

Решение

Полагая , запишем уравнение в виде ,

разделим переменные , проинтегрируем

,

или , где - общий интеграл уравнения.

 

Размерно-однородные ДУ 1-го порядка

 

Функция называется однородной функцией k -го измерения относительно переменных х и у, если при любом допустимом t справедливо тождество

.

Пример 1

Рассмотрим функцию . Для этой функции , т.е. данная функция – однородная функция относительно х и у, второго измерения.

 

Пример 2

Рассмотрим функцию . Для этой функции , т.е. – однородная функция нулевого измерения относительно х и у.

 

ДУ 1-го порядка

называется однородным относительно х и у, если функция есть однородная функция нулевого измерения относительно х и у.

Подстановка преобразует это уравнение в уравнение с разделяющимися переменными.

Замечание. ДУ вида будет однородным в том и только в том случае, когда и являются однородными функциями одного и того же измерения.

 

Пример 3

Найти общее решение уравнения .

Решение

Запишем уравнение в виде .

Так как для функции , выполняется условие , то функция - однородная функция нулевого измерения относительно х и у.

Введем подстановку , откуда , тогда уравнение примет вид

,

или

,

откуда получаем

.

Разделяя переменные и интегрируя, находим последовательно:

,

производя обратную замену , находим

,

или

- общий интеграл.

 

Линейные ДУ 1-го порядка

 

Уравнение вида

,

где и – непрерывные функции, называется линейным ДУ 1-го порядка.

Если , то уравнение называется линейным однородным ДУ (ЛОДУ), если , то уравнение называется линейным неоднородным ДУ (ЛНДУ).

Одним из методов решения линейных ДУ 1-го порядка является метод Бернулли, согласно которому решение уравнения ищут в виде произведения двух функций . Одну из функций выбирают произвольно, а другую находят из уравнения в зависимости от первой.

 

Пример

Найти общее решение уравнения .

Решение

Будем искать решение уравнения в виде , тогда . Подставим и в исходное уравнение, получим

.

Сгруппируем члены, содержащие U в первой степени

.

Примем за V какое-либо решение уравнения

,

разделяя в нем переменные, получим

,

проинтегрируем

,

так как достаточно выбрать любое отличное от нуля решение, то постоянную не вводим, считая .

Для нахождения U имеем уравнение

,

разделяя переменные, получим

.

Таким образом, , или - общее решение уравнения.