ТЕМА 1. Определители и системы

МАТЕМАТИКА

 

Для студентов заочной формы обучения бакалавриата 1 курса

Владивосток

УДК 378.147

ББК 22.11

М34

 

Печатается по решению кафедры алгебры, геометрии и анализа

Школы естественных наук ДВФУ

 

Составители: Н.И. Головко, О.В. Бондрова, Д.С. Крылова

 

Математика: метод. указ. по выполнению контр. работ по дисциплине: для студентов заочной формы обучения 1 курса направлений бакалавриата / Дальневост. федерал. университет; [сост. Н.И. Головко, О.В. Бондрова, Д.С. Крылова]. – Владивосток: Дальневост. федерал. ун-т, 2013. – 40 с.

 

В методические указания включены задачи по высшей математике с теоретическими пояснениями их решения. Цель данных методических указаний – помочь студентам-заочникам выполнить контрольные работы по высшей математике.

Методические указания предназначены для студентов 1 курса ДВФУ заочной формы обучения направлений бакалавриата Школы экономики и менеджмента (080100.62 «Экономика», 080200.62 «Менеджмент», 080400.62 «Управление персоналом», 081100.62 «Государственное и муниципальное управление», 100400.62 «Туризм», 100700.62 «Торговое дело», 100800.62, «Товароведение и экспертиза товаров», 101100.62 «Гостиничное дело»), Школы биомедицины (240700.62 «Биотехнология», 260800.62 «Технология общественного питания»), Инженерной школы(140100.62 «Теплоэнергетика и теплотехника», 130400.65 «Горное дело», 250400.62 «Технология лесозаготовительных и деревообрабатывающих производств»).

 

 

Ó Головко Н.И., Бондрова О.В.,

Крылова Д.С., 2013

ВВЕДЕНИЕ

 

Настоящие методические указания составлены с целью помочь студенту овладеть основными приемами и методами решения задач по высшей математике.

Прежде чем приступить к решению задач по определенной теме, студент должен изучить соответствующий теоретический материал по любому учебнику, указанному ниже (см. список литературы на стр. 5). В начале каждой темы даны основные вопросы и формулы, знание которых необходимо для решения задач. Кроме того, в каждой теме дается решение нескольких заданий, аналогичных тем заданиям, которые предлагаются для самостоятельной работы.

 

ПРАВИЛА ВЫПОЛНЕНИЯ И ОФОРМЛЕНИЯ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ

 

При выполнении контрольных работ надо строго придерживаться указанных ниже правил. Работы, выполненные без соблюдения этих правил, не рецензируются и возвращаются студенту для переработки.

1. Контрольную работу следует выполнять в рукописном виде в тетради, отдельной для каждой работы, чернилами любого цвета, кроме красного, оставляя поля для замечаний рецензента.

2. В заголовке работы на обложке тетради должны быть ясно написаны фамилия студента, его инициалы, номер зачетной книжки (шифр), школа ДВФУ, направление и профиль бакалавриата, название дисциплины; номер контрольной работы, здесь же следует указать дату отсылки работы в ДВФУ и адрес студента. В конце работы следует поставить дату ее выполнения и расписаться.

3. В работу должны быть включены все задачи, указанные в задании. Контрольные работы, содержащие не все задачи задания, а также задачи не своего варианта, не рецензируются.

4. Решение задач надо располагать в порядке номеров, указанных в заданиях, сохраняя номера задач.

5. Перед решением каждой задачи надо выписать полностью ее условие. В том случае если несколько задач, из которых студент выбирает задачи своего варианта, имеют общую формулировку, следует, переписывая условия задачи, заменить общие данные конкретными из соответствующего номера. Например, условие задачи 1 должно быть переписано так:

Даны вершины А(3;2), В(4;1), С(-1;5) треугольника. Найти: 1) длину стороны ВС и т.д.

6. Решения задач следует излагать подробно и аккуратно, объясняя и мотивируя все действия по ходу решения и делая необходимые чертежи.

7. После получения прорецензированной работы, как не зачтенной, так и зачтенной, студент должен исправить все отмеченные рецензентом ошибки и недочеты и выполнить все рекомендации рецензента.

Если рецензент предлагает внести в решения задач те или иные исправления или дополнения и прислать их для повторной проверки, то это следует сделать в короткий срок в той же тетради.

В случае не зачета работы и отсутствия прямого указания рецензента на то, что студент может ограничиться представлением исправленных решений отдельных задач, вся работа должна быть выполнена заново.

При высылаемых исправлениях должна обязательно находиться прорецензированная работа и рецензия на нее. В связи с этим рекомендуется при выполнении контрольной работы оставлять в конце тетради несколько чистых листов для всех дополнений и исправлений в соответствии с указаниями рецензента. Вносить исправления в сам текст работы после ее рецензирования запрещается.

 

Варианты задач для студентов заочной формы обучения

 

Номер варианта определяется последней цифрой номера зачетной книжки (шифром) согласно следующей таблице.

 

Вариант	Номера задач для контрольных заданий
Контрольная работа № 1	Контрольная работа № 2
	1.01, 2.01, 3.01, 4.01, 5.01	6.01, 7.01, 8.01, 9.01, 10.01, 11.01
	1.02, 2.02, 3.02, 4.02, 5.02	6.02, 7.02, 8.02, 9.02, 10.02, 11.02
	1.03, 2.03, 3.03, 4.03, 5.03	6.03, 7.03, 8.03, 9.03, 10.03, 11.03
	1.04, 2.04, 3.04, 4.04, 5.04	6.04, 7.04, 8.04, 9.04, 10.04, 11.04
	1.05, 2.05, 3.05, 4.05, 5.05	6.05, 7.05, 8.05, 9.05, 10.05, 11.05
	1.06, 2.06, 3.06, 4.06, 5.06	6.06, 7.06, 8.06, 9.06, 10.06, 11.06
	1.07, 2.07, 3.07, 4.07, 5.07	6.07, 7.07, 8.07, 9.07, 10.07, 11.07
	1.08, 2.08, 3.08, 4.08, 5.08	6.08, 7.08, 8.08, 9.08, 10.08, 11.08
	1.09, 2.09, 3.09, 4.09, 5.09	6.09, 7.09, 8.09, 9.09, 10.09, 11.09
	1.10, 2.10, 3.10, 4.10, 5.10	6.10, 7.10, 8.10, 9.10, 10.10, 11.10

 

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

 

1. Натансон И. П. Краткий курс высшей математики. М.: Физматгиз, 1963; М.: Наука, 1986; 3-е изд. СПб, 1997.

2. Минорский В. П. Сборник задач по высшей математике. М.: Гостехиздат, 1955–1957; М.: Физматгиз, 1959–1962; М.: Наука, 1964–2006.

3. Ефимов Н. В. Краткий курс аналитической геометрии. М: Физматгиз, 1962–1963; М.: Наука, 1965–1996, 2005.

4. Клетеник Д. В. Сборник задач по аналитической геометрии. М.: Наука, 1965–1980; М.: Гостехиздат, 1954–1956; М.: Физматгиз, 1958–1998.

5. Ефимов Н. В. Квадратичные формы и матрицы. М.: Физматгиз, 1962–163ж. М.: Наука, 1964–1975.

6. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление для втузов. Т. 1, 2. М.: Наука, 1970–1978; 1980; 1985; 1996.

7. Бермант А.Ф., Араманович И. Г. Краткий курс математического анализа. М.: Наука, 1966–1973; 2001; 2005.

8. Норкин С.В. и др. Элементы вычислительной математики. М.: Высшая школа, 1963–1966.

9. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Курс высшей математики. М.: Наука, 1986–2011.

10. Солодовников А.С., Бабайцев В.А., Браилов А.В. Математика в экономике. В 2 ч. М.: Финансы и статистика, 2001; 2011.

11. Кремер Н.Ш. Высшая математика для экономистов. М.: Наука, 2007.

12. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая Математика. М.: Наука, 2004.

 

 

Далее для краткости названия книг обозначаются только их номером в приведенном здесь списке.

 

ТЕМА 1. Определители и системы

Линейных уравнений. Матрицы

 

Литература: [1. Гл. VII]; [2. Гл. IV]; [4. Прил., § 1-6]; [9. Гл. XVII],

[10. Ч. 1, Гл. II].

 

Вопросы для самопроверки

 

1. Что называется матрицей?

2. Что называется матрицей и расширенной матрицей линейных уравнений?

3. Что называется определителем и каковы его основные свойства?

4. Как вычисляются определитель 2-го и 3-го порядков?

5. Формулы Крамера. Когда они применимы?

6. В чем состоит сущность метода Гаусса?

7. Матрица и действия над матрицами.

 

ЗАДАЧА.

Решить систему уравнений:

а) по методу Крамера, b) по методу Гаусса.

Решение. а) Метод Крамера: , где D – главный определитель системы; D х_i вспомогательные определители.

Определитель 3-го порядка можно вычислить по правилу Саррюса:

 

Определитель 3-го порядка равен сумме произведений элементов вдоль ломанных на схеме с указанным знаком: плюс или минус.

 

 

 

Найдем определитель матрицы системы:

Вычислим вспомогательные определители:

 

 

Тогда

Проверка:

– верно.

Ответ:

б) Метод Гаусса. 1 этап.

1 шаг. Исключим неизвестное из всех уравнений системы, начиная со второго. Чтобы исключить неизвестное из 2-го уравнения, умножим 2-е уравнение на 3 и отнимем от полученного уравнения первое уравнение, умноженное на 1. Чтобы исключить неизвестное из 3-го уравнения, умножим 3-е уравнение на 3 и отнимем 1-е уравнение, умноженное на 2.

Получим систему

или

2 шаг. Чтобы исключить неизвестное из 3-го уравнения, умножим 3-е уравнение на 7 и отнимем от полученного уравнения 2-е уравнение, умноженное на (-1).

Получим систему

или

2 этап.

Из 3-го уравнения находим . Из 2-го уравнения находим : . Из 1-го уравнения находим : .

Ответ:

 

 

Векторы

 

Литература: [1. Гл. I, VIII]; [2. Гл. I, II]; [3. Гл. I-X]; [4. Гл. I-IV, VI, VII],

[9. Гл. I-V, XVIII]

 

Вопросы для самопроверки

 

1. Расстояние между двумя точками и расстояние от точки до прямой.

2. Уравнения прямой линии.

3. Угол между двумя прямыми.

4. Условия параллельности и перпендикулярности прямых.

5. Угловой коэффициент прямой.

6. Что называется координатами вектора?

7. Действия над векторами.

8. Скалярное произведения двух векторов.

9. Векторное произведение двух векторов.

 

ЗАДАЧА

Даны вершины А (2; 5) В (-3; 1); С (0; 2) треугольника. Найти: 1) длину стороны ВС; 2) площадь треугольника (через векторы); 3) уравнение стороны ВС; 4) уравнение высоты, проведенной из вершины А; 5) длину высоты, проведенной из вершины А; 6) угол В в радианах с точностью до 0,01 (через векторы); 7) систему неравенств, определяющих треугольник АВС (рис. 1).

Сделать чертеж.

 

Рисунок 1

 

Решение.

1) Определим длину стороны ВС по формуле

.

2) Найдем площадь треугольника АВС, где A (2; 5) В (-3; 1); С (0; 2). В трехмерном пространстве эти точки имеют координаты: A (2; 5; 0), В (-3; 1; 0); С (0; 2; 0). Найдем координаты векторов и

в трехмерном пространстве:

,

Векторное произведение векторов и равно

,

где определитель вычислен по правилу Саррюса. Длина векторного произведения равна . Площадь треугольника равна .

3) Уравнение стороны ВС, проходящей через точки B (x ₁, y ₁), С (x ₂, y ₂), определим по формуле:

, где x и y –координаты точки (x,y) на [ В,С ].

3 у – 3 = х +3, отсюда х -3 у + 6 = 0– общее уравнение стороны ВС.

4) Уравнение высоты AD составим по формуле у – у ₁ = k (x – x ₁), где (x ₁, y ₁) – координаты точки А, k – угловой коэффициент высоты. Координаты точки А известны: А(2;5). Найдем k из условия перпендикулярности прямых . Сначала найдем k_BC. Уравнение ВС: х -3 у + 6 = 0 приведем к виду BC: , откуда . Тогда .

Получили уравнение высоты или 3 x + y – 11 = 0.

5) Длину высоты AD определим по следующей формуле:

, где (x ₀, y ₀) – координаты точки А; – коэффициенты прямой ВС, расстояние до которой мы определяем.

.

6) Найдем угол В в радианах с точностью до 0,01. На плоскости векторы имеют координаты: (3; 1), (5; 4): , таким образом,

, отсюда ÐB = 0,93 радиан;

7) Чтобы найти систему неравенств, определяющую треугольник АВС, необходимо составить уравнения всех трех сторон. Уравнение стороны ВС уже составлено: х -3 у + 6 = 0. Составим уравнения прямых АВ и АС:

– уравнение стороны АВ.

– уравнение стороны АС.

Так как решением одного неравенства является полуплоскость (геометрически), то возьмем одну из точек этой полуплоскости и подставим в уравнение прямой, этим самым мы определим знак неравенства:

Уравнение ВС: х -3 у + 6 = 0, для точки А (2; 5), 2-3×5 + 6 < 0;

Уравнение АВ: , для точки С (0; 2), -5×1 + 17 > 0;

Уравнение АС: , для точки В (-3; 1), -3×3 - 2×1 + 4 < 0.

Значит, решением неравенства х -3 у + 6 < 0 является та полуплоскость, в которой находится точка А; решением неравенства является та полуплоскость, в которой находится точка С, и, наконец, решением неравенства является та полуплоскость, в которой находится точка В, а пересечение всех этих полуплоскостей и определяет треугольник АВС.

Итак, имеем

 

 

ТЕМА 3. Введение в анализ

Литература: [1. Гл. II]; [2. Гл. V]; [6. Гл. I, II]; [9. Гл. VI-VIII];

[10, Ч. 2. Гл. I];

 

Вопросы для самопроверки

 

1. Функция. Область определения функции.

2. Предел переменной величины, предел функции.

3. Неопределенности видов , , 1^¥ и их раскрытие

4. Как связано понятие предела функции с понятиями пределов слева и справа?

5. Непрерывность функции в точке и на отрезке.

При вычислении пределов надо в первую очередь определить вид неопределенности. Для этого применяется метод подстановки: надо в функцию подставить число , к которому стремится переменная х:

.

Если в числителе и знаменателе стоят многочлены, и получится неопределенность вида , то она раскрывается путем деления числителя и знаменателя дроби на максимальную в многочленах степень переменной x, при этом надо учесть, что в пределе где .

Если в числителе и знаменателе стоят многочлены, и получится неопределенность вида , то она раскрывается путем деления числителя и знаменателя дроби на минимальную в многочленах степень переменной x.

Если , получится неопределенность вида , в числителе и знаменателе стоят квадратные трехчлены вида , то квадратные трехчлены разлагаются на множители с помощью формулы , где – корни квадратного уравнения : .

Если получится неопределенность вида , то необходимо применить формулу 2-го замечательного предела: или , где е» 2,71.

В последнем задании рекомендуется использовать 1-й замечательный предел: и четыре дополнительных предела: , , , .

 

ЗАДАЧИ

Найти пределы функций.

1. так как .

2. .

3.

4.

.

5. .

 

 

Таблица элементарных производных

 

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

 

 

ЗАДАЧИ

Найти производные заданных функций.

a) ,

.

b)

.

c)

.

d) .

– производная параметрической функции.

e)

,

– производная неявной функции.

 

 

Для исследования функций

Литература: [1. Гл. III,IV]; [7. Гл. IV]; [2. Гл. VII]; [6. Гл. IV]

 

Вопросы для самопроверки

 

1. Каковы признаки возрастания и убывания функции?

2. Что называется экстремумом функции? Как найти максимумы и минимумы функции?

3. Как находятся интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба графика функции?

4. Что называется асимптотой к кривой?

5. Как находятся вертикальные и наклонные асимптоты графика функции?

6. Общая схема исследования функции и построения ее графика.

 

Схема исследования функции и построения графика.

1. Находим область определения функции и определяем, не ли у нее точек разрывов. Для каждого бесконечного разрыва учесть знак функции справа и слева. Получим вертикальные асимптоты.

2. Находим точки пересечения графика функции с осями координат.

3. Исследуем функцию на четность f(-x) = f(x) (график функции симметричен относительно оси ОУ) и нечетность f(-x) = -f(x) (график функции симметричен относительно начала координат)

4. Исследуем функцию на экстремум. Находим интервалы возрастания и убывания функции.

5. Исследуем функцию на точки перегиба. Находим интервалы выпуклости и вогнутости.

6. Определяем асимптоты.

7. Берем дополнительные точки (по необходимости).

8. Строим график.

 

ЗАДАЧА

1. Исследовать средствами дифференциального исчисления функцию и построить ее график.

Решение

1. Область определения функции (-¥; +¥), то есть функция определена на всей числовой оси.

2. Исследуем на четность f(-x) = f(x) или

.

Функция ни четная, ни нечетная. Это значит, что график не симметричен относительно осей координат.

3. Исследуем на экстремум:

– это точки, подозрительные на экстремум. Исследуем в таблице:

 

х					(2;+¥)
y '	+		–		+
y

 

Итак, точка максимума и точка минимума .

4. Исследуем на точки перегиба:

 

x
y "	–		+
y

 

Итак, точка – точка перегиба.

Найдем точки пересечения с осями.

С осью OY: x = 0;

Исследуем на асимптоты: данная функция вертикальных асимптот не имеет, так как она определена на всей числовой оси. Попытаемся найти наклонную асимптоту y = kx + b, где

Следовательно, наклонных асимптот функция не имеет.

Построим график. График функции показан на рис. 2.

 

Рисунок 2

 

ТЕМА 10. Двойной интеграл

Литература: [1. Гл. XII]; [2. Гл. XIII]; [6. Гл. XIV]

 

Вопросы для самопроверки

 

1. Стандартная область 1-го типа в плоскости .

2. Правило вычисления двойного интеграла по стандартной области 1-го типа.

3. Стандартная область 2-го типа в плоскости .

4. Правило вычисления двойного интеграла по стандартной области 2-го типа.

5. Цилиндроид.

6. Связь двойного интеграла и объема цилиндроида.

7. Связь двойного интеграла и площади области .

 

Область называется стандартной 1-го типа в плоскости , если она имеет вид, показанный на рис. 3:

Рисунок 3

 

Аналитически область D задается с помощью метода сечений:

.

Правило вычисления двойного интеграла от функции по стандартной области D 1-го типа в плоскости :

(1)

где слева в (1) стоит двойной кратный интеграл, а справа – двойной повторный интеграл. В двойном повторном интеграле сначала вычисляется внутренний интеграл по y при фиксированном x, а потом – внешний по x. Аналогичным образом определяется стандартная область 2-го типа в плоскости , только ось для нее направлена вверх, а ось направлена вправо.

 

ЗАДАЧА

Вычислить двойной интеграл, если область D ограничена указанными линиями.

, D: .

Решение. Область является стандартной 1-го типа в плоскости . Аналитически область D задается с помощью метода сечений: . По правилу вычисления двойного интеграла по стандартной области D 1-го типа в плоскости выражаем кратный интеграл через повторный:

Ответ: .

 

 

ТЕМА 11. Ряды

Литература: [1. Гл. XIII]; [2. Гл. XIV]; [6. Гл. XVI]

 

Вопросы для самопроверки

 

1. Что называется рядом? В каком случае ряд называется сходящимся, а в каком – расходящимся? Что называется суммой ряда?

2. Почему при исследовании сходимости ряда можно отбрасывать любое конечное число начальных членов?

3. Необходимый признак сходимости рядов.

4. Достаточные признаки сходимости рядов: признак Даламбера; Коши, интегральный, 2-й признак сравнения.

5. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.

6. Степенной ряд. Область сходимости и радиус сходимости степенного ряда .

Числовым рядом называется бесконечная сумма: , где – общий член ряда. Если бесконечная сумма существует и конечна, то говорят, что числовой ряд сходится, в противном случае – расходится.

Необходимый признак сходимости ряда. Если:

1) при , то ряд может сходиться или расходиться;

2) при , то числовой ряд расходится.

Признак Даламбера. Если для существует предел:

при , то при ряд сходится; при ряд расходится, при имеется неопределенность.

Признак Коши. Если для существует предел:

при , то при ряд сходится; при ряд расходится, при имеется неопределенность.

Интегральный признак. Числовой ряд сходится или расходится одновременно с несобственным интегралом , где , число выбирается произвольно, лишь бы под интегралом не было деления на 0.

2-й признак сравнения. Если для рядов и существует предел при , , то ряды сходятся или расходятся одновременно.

Ряд используется в качестве эталона сравнения. Часто используемые эталоны: 1) гармонический ряд расходится; 2) обобщенный гармонический ряд сходится при , расходится при ; 3) – бесконечная геометрическая прогрессия, при ряд сходится, при ряд расходится.

Знакочередующий ряд:

Признак Лейбница сходимости знакочередующего ряда. Если:

1) ; 2) монотонно убывают, то есть ; 3) при , то знакочередующий ряд сходится.

Степенной ряд , где – коэффициенты степенного ряда.

Интервал сходимости степенного ряда , где R – радиус сходимости степенного ряда можно находить по формуле Даламбера или по формуле Коши при .

ЗАДАЧИ

1) Исследовать сходимость числового ряда .

Решение. Так как содержит «n факториал» – произведение всех чисел от одного до n: , то сходимость ряда исследуется по признаку Даламбера. Заметим, что . Найдем . По признаку Даламбера надо вычислить предел

, так как по 2-му замечательному пределу . Так как , то ряд расходится.

2) Исследовать сходимость числового ряда .

Решение. Так как содержит только степени, то сходимость ряда исследуется по признаку Коши:

. Так как , то ряд сходится.

3) Исследовать сходимость числового ряда .

Решение. Исследуем ряд по интегральному признаку. Так как , то . Числовой ряд сходится или расходится одновременно с несобственным интегралом . Вычислим несобственный интеграл

– несобственный интеграл расходится. Следовательно, исходный числовой ряд расходится.

4) Исследовать сходимость числового ряда .

Решение. Исследуем ряд по 2-му признаку сравнения. В качестве эталона рассмотрим похожий ряд – бесконечная геометрическая прогрессия, расходится. По 2-му признаку сравнения надо найти предел

, следовательно, ряды ведут себя одинаково. Так как эталонный ряд расходится, то исходный ряд тоже расходится.

5) Найти область сходимости степенного ряда.

Решение. Найдем параметры степенного ряда: , . Радиус сходимости ряда вычислим по формуле Даламбера