Тема 2. Аналитическая геометрия на плоскости.

Векторы

 

Литература: [1. Гл. I, VIII]; [2. Гл. I, II]; [3. Гл. I-X]; [4. Гл. I-IV, VI, VII],

[9. Гл. I-V, XVIII]

 

Вопросы для самопроверки

 

1. Расстояние между двумя точками и расстояние от точки до прямой.

2. Уравнения прямой линии.

3. Угол между двумя прямыми.

4. Условия параллельности и перпендикулярности прямых.

5. Угловой коэффициент прямой.

6. Что называется координатами вектора?

7. Действия над векторами.

8. Скалярное произведения двух векторов.

9. Векторное произведение двух векторов.

 

ЗАДАЧА

Даны вершины А (2; 5) В (-3; 1); С (0; 2) треугольника. Найти: 1) длину стороны ВС; 2) площадь треугольника (через векторы); 3) уравнение стороны ВС; 4) уравнение высоты, проведенной из вершины А; 5) длину высоты, проведенной из вершины А; 6) угол В в радианах с точностью до 0,01 (через векторы); 7) систему неравенств, определяющих треугольник АВС (рис. 1).

Сделать чертеж.

 

Рисунок 1

 

Решение.

1) Определим длину стороны ВС по формуле

.

2) Найдем площадь треугольника АВС, где A (2; 5) В (-3; 1); С (0; 2). В трехмерном пространстве эти точки имеют координаты: A (2; 5; 0), В (-3; 1; 0); С (0; 2; 0). Найдем координаты векторов и

в трехмерном пространстве:

,

Векторное произведение векторов и равно

,

где определитель вычислен по правилу Саррюса. Длина векторного произведения равна . Площадь треугольника равна .

3) Уравнение стороны ВС, проходящей через точки B (x ₁, y ₁), С (x ₂, y ₂), определим по формуле:

, где x и y –координаты точки (x,y) на [ В,С ].

3 у – 3 = х +3, отсюда х -3 у + 6 = 0– общее уравнение стороны ВС.

4) Уравнение высоты AD составим по формуле у – у ₁ = k (x – x ₁), где (x ₁, y ₁) – координаты точки А, k – угловой коэффициент высоты. Координаты точки А известны: А(2;5). Найдем k из условия перпендикулярности прямых . Сначала найдем k_BC. Уравнение ВС: х -3 у + 6 = 0 приведем к виду BC: , откуда . Тогда .

Получили уравнение высоты или 3 x + y – 11 = 0.

5) Длину высоты AD определим по следующей формуле:

, где (x ₀, y ₀) – координаты точки А; – коэффициенты прямой ВС, расстояние до которой мы определяем.

.

6) Найдем угол В в радианах с точностью до 0,01. На плоскости векторы имеют координаты: (3; 1), (5; 4): , таким образом,

, отсюда ÐB = 0,93 радиан;

7) Чтобы найти систему неравенств, определяющую треугольник АВС, необходимо составить уравнения всех трех сторон. Уравнение стороны ВС уже составлено: х -3 у + 6 = 0. Составим уравнения прямых АВ и АС:

– уравнение стороны АВ.

– уравнение стороны АС.

Так как решением одного неравенства является полуплоскость (геометрически), то возьмем одну из точек этой полуплоскости и подставим в уравнение прямой, этим самым мы определим знак неравенства:

Уравнение ВС: х -3 у + 6 = 0, для точки А (2; 5), 2-3×5 + 6 < 0;

Уравнение АВ: , для точки С (0; 2), -5×1 + 17 > 0;

Уравнение АС: , для точки В (-3; 1), -3×3 - 2×1 + 4 < 0.

Значит, решением неравенства х -3 у + 6 < 0 является та полуплоскость, в которой находится точка А; решением неравенства является та полуплоскость, в которой находится точка С, и, наконец, решением неравенства является та полуплоскость, в которой находится точка В, а пересечение всех этих полуплоскостей и определяет треугольник АВС.

Итак, имеем

 

 

ТЕМА 3. Введение в анализ

Литература: [1. Гл. II]; [2. Гл. V]; [6. Гл. I, II]; [9. Гл. VI-VIII];

[10, Ч. 2. Гл. I];

 

Вопросы для самопроверки

 

1. Функция. Область определения функции.

2. Предел переменной величины, предел функции.

3. Неопределенности видов , , 1^¥ и их раскрытие

4. Как связано понятие предела функции с понятиями пределов слева и справа?

5. Непрерывность функции в точке и на отрезке.

При вычислении пределов надо в первую очередь определить вид неопределенности. Для этого применяется метод подстановки: надо в функцию подставить число , к которому стремится переменная х:

.

Если в числителе и знаменателе стоят многочлены, и получится неопределенность вида , то она раскрывается путем деления числителя и знаменателя дроби на максимальную в многочленах степень переменной x, при этом надо учесть, что в пределе где .

Если в числителе и знаменателе стоят многочлены, и получится неопределенность вида , то она раскрывается путем деления числителя и знаменателя дроби на минимальную в многочленах степень переменной x.

Если , получится неопределенность вида , в числителе и знаменателе стоят квадратные трехчлены вида , то квадратные трехчлены разлагаются на множители с помощью формулы , где – корни квадратного уравнения : .

Если получится неопределенность вида , то необходимо применить формулу 2-го замечательного предела: или , где е» 2,71.

В последнем задании рекомендуется использовать 1-й замечательный предел: и четыре дополнительных предела: , , , .

 

ЗАДАЧИ

Найти пределы функций.

1. так как .

2. .

3.

4.

.

5. .