ТЕМА 4. Производная и дифференциал

Литература: [1. Гл. II]; [2. Гл. V]; [6. Гл. I, II]; [9. Гл. IX-XII];

[10, Ч. 2. Гл. II]

 

Вопросы для самопроверки

 

1. Определение производной.

2. Геометрический и механический смысл производной.

3. Правила дифференцирования функций и формулы дифференцирования основных элементарных функций.

4. Производные высших порядков.

5. Что называется дифференциалом функции?

6. Геометрический смысл дифференциала функции.

 

Основные свойства производной для функций

 

1.

2.

3.

4. .

5.

6.

7.

8.

9.

 

Таблица элементарных производных

 

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

 

 

ЗАДАЧИ

Найти производные заданных функций.

a) ,

.

b)

.

c)

.

d) .

– производная параметрической функции.

e)

,

– производная неявной функции.

 

 

ТЕМА 5. Приложения производной

Для исследования функций

Литература: [1. Гл. III,IV]; [7. Гл. IV]; [2. Гл. VII]; [6. Гл. IV]

 

Вопросы для самопроверки

 

1. Каковы признаки возрастания и убывания функции?

2. Что называется экстремумом функции? Как найти максимумы и минимумы функции?

3. Как находятся интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба графика функции?

4. Что называется асимптотой к кривой?

5. Как находятся вертикальные и наклонные асимптоты графика функции?

6. Общая схема исследования функции и построения ее графика.

 

Схема исследования функции и построения графика.

1. Находим область определения функции и определяем, не ли у нее точек разрывов. Для каждого бесконечного разрыва учесть знак функции справа и слева. Получим вертикальные асимптоты.

2. Находим точки пересечения графика функции с осями координат.

3. Исследуем функцию на четность f(-x) = f(x) (график функции симметричен относительно оси ОУ) и нечетность f(-x) = -f(x) (график функции симметричен относительно начала координат)

4. Исследуем функцию на экстремум. Находим интервалы возрастания и убывания функции.

5. Исследуем функцию на точки перегиба. Находим интервалы выпуклости и вогнутости.

6. Определяем асимптоты.

7. Берем дополнительные точки (по необходимости).

8. Строим график.

 

ЗАДАЧА

1. Исследовать средствами дифференциального исчисления функцию и построить ее график.

Решение

1. Область определения функции (-¥; +¥), то есть функция определена на всей числовой оси.

2. Исследуем на четность f(-x) = f(x) или

.

Функция ни четная, ни нечетная. Это значит, что график не симметричен относительно осей координат.

3. Исследуем на экстремум:

– это точки, подозрительные на экстремум. Исследуем в таблице:

 

х					(2;+¥)
y '	+		–		+
y

 

Итак, точка максимума и точка минимума .

4. Исследуем на точки перегиба:

 

x
y "	–		+
y

 

Итак, точка – точка перегиба.

Найдем точки пересечения с осями.

С осью OY: x = 0;

Исследуем на асимптоты: данная функция вертикальных асимптот не имеет, так как она определена на всей числовой оси. Попытаемся найти наклонную асимптоту y = kx + b, где

Следовательно, наклонных асимптот функция не имеет.

Построим график. График функции показан на рис. 2.

 

Рисунок 2

 

ТЕМА 6. Неопределенный интеграл

Литература: [1. Гл. V]; [2. Гл. VIII]; [6. Гл. X]

 

Вопросы для самопроверки

 

1. Какая функция называется первообразной?

2. Что называется неопределенным интегралом? Каков его геометрический смысл?

3. Свойства неопределенного интеграла.

4. Формула интегрирования по частям.

5. Свойства дифференциала функции.

4. Методы интегрирования.

 

Таблица основных интегралов:

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

11. 12.

13. 14.

15. 16.

17.

Формула интегрирования по частям:

Свойства дифференциала функции : 1) ;

2) – внесение производной под знак дифференциала;

3) ; 4) ; 5)

 

ЗАДАЧИ

Найти неопределенные интегралы. Результат проверить дифференцированием.

1)

.

Проверка:

.

2) .

Применим формулу интегрирования по частям: .

.

Проверка:

.

3) .

Приравняем знаменатель нулю: . Найдем корни квадратного уравнения:

.

Корни не равны. Интеграл находится по методу неопределенных коэффициентов:

,

вторая и четвертая дроби равны, равны знаменатели, следовательно равны числители: . Пусть Тогда Пусть Тогда

.

Проверка:

.

4) .

Приравняем знаменатель нулю: . Найдем корни квадратного уравнения: Корни равны . Интеграл находится по методу разложения: ,

Проверка: .

5) .

Приравняем знаменатель нулю: . Вещественных корней нет. Интеграл находится по методу выделения полного квадрата в знаменателе:

.

,

,

.

Проверка:

.