ТЕМА 7. Определенный интеграл

Литература: [1. Гл. VI, §1-5,6 (п. 1)]; [2. Гл. IX]; [6. Гл. XI, XII]

 

Вопросы для самопроверки

 

1. Что называется определенным интегралом?

2. Связь определенного и неопределенного интегралов.

3. Свойства определенного интеграла.

Определенный интеграл это число , где F (x) это первообразная для f (x): ; a, b – нижний и верхний пределы интегрирования. Связь определенного и неопределенного интегралов: , то есть, по сути, вычисление определенного интеграла сводится к вычислению неопределенного интеграла.

 

ЗАДАЧИ

Вычислить определенные интегралы.

1)

.

2)

.

 

 

ТЕМА 8. Функции нескольких переменных

Литература: [1. Гл. X, Дополнение III]; [7. Гл. VII]; [2. Гл. XI];

[6. Гл. VIII]

 

Вопросы для самопроверки

 

1. Определение функции двух переменных.

2. Частное и полное приращения функции двух переменных.

3. Частные производные функций двух переменных.

4. Необходимое условие экстремума функций двух переменных.

5. Достаточное условие экстремума функций двух переменных.

 

Необходимое условие экстремума функций двух переменных в критической точке :

Достаточное условие экстремума функций двух переменных в критической точке :

Если

1) – точка минимума;

2) – точка максимума;

3) экстремума нет;

4) неопределенность.

 

ЗАДАЧА

Найти экстремум функции и точки экстремума функции z = z (x; y). Определить вид экстремума (минимум или максимум).

Решение.

1) Необходимое условие экстремума функции:

Получили критическую точку .

2) Достаточное условие экстремума функций двух переменных в критической точке .

Так как , то точка является точкой минимума. Экстремум функции – это минимум функции и он равен .

Ответ: точка минимума . Минимум функции равен .

 

ТЕМА 9. Дифференциальные уравнения

Литература: [1. Гл. XI]; [2. Гл. XII]; [6. Гл. XII]

 

Вопросы для самопроверки

 

1. Какое уравнение называется дифференциальным?

2. Что называется порядком дифференциального уравнения?

3. Что называется решением дифференциального уравнения?

4. Какое решение дифференциального уравнения называется общим и какое – частным? Каков их геометрический смысл?

5. Какое дифференциальное уравнение первого порядка называется уравнением с разделяющимися переменными, уравнением с разделенными переменными и как оно решается?

6. Какое дифференциальное уравнение 1-го порядка называется линейным неоднородным уравнением?

7. Метод Бернулли решения линейного неоднородного уравнения 1-го порядка.

 

ЗАДАЧИ

1. Решить уравнение: .

Решение. Это уравнение с разделяющимися переменными. Путем разделения переменных приведем его к виду уравнения с разделенными переменными: После интегрирования получим:

Ответ: Общее решение в неявном виде

.

2. Решить уравнение .

Решение. Преобразуем это уравнение к виду . Это линейное

неоднородное дифференциальное уравнение 1-го порядка вида . Оно решается методом Бернулли.

, – новые неизвестные функции.

. Вынесем слева за скобки: . Так как неизвестных две, а уравнение одно, то еще одно условие можно выбрать произвольно. Потребуем, чтобы выражение в скобке равнялась нулю. 4) Получим уравнение с разделяющимися переменными,

Общее решение исходного уравнения 1-го порядка содержит одну произвольную постоянную, поэтому зафиксируем , например, Следовательно, . 5) В уравнение подставим , место квадратной скобки подставим 0. Получим уравнение с разделяющимися переменными

6)

Ответ: Общее решение в явном виде:

 

 

ТЕМА 10. Двойной интеграл

Литература: [1. Гл. XII]; [2. Гл. XIII]; [6. Гл. XIV]

 

Вопросы для самопроверки

 

1. Стандартная область 1-го типа в плоскости .

2. Правило вычисления двойного интеграла по стандартной области 1-го типа.

3. Стандартная область 2-го типа в плоскости .

4. Правило вычисления двойного интеграла по стандартной области 2-го типа.

5. Цилиндроид.

6. Связь двойного интеграла и объема цилиндроида.

7. Связь двойного интеграла и площади области .

 

Область называется стандартной 1-го типа в плоскости , если она имеет вид, показанный на рис. 3:

Рисунок 3

 

Аналитически область D задается с помощью метода сечений:

.

Правило вычисления двойного интеграла от функции по стандартной области D 1-го типа в плоскости :

(1)

где слева в (1) стоит двойной кратный интеграл, а справа – двойной повторный интеграл. В двойном повторном интеграле сначала вычисляется внутренний интеграл по y при фиксированном x, а потом – внешний по x. Аналогичным образом определяется стандартная область 2-го типа в плоскости , только ось для нее направлена вверх, а ось направлена вправо.

 

ЗАДАЧА

Вычислить двойной интеграл, если область D ограничена указанными линиями.

, D: .

Решение. Область является стандартной 1-го типа в плоскости . Аналитически область D задается с помощью метода сечений: . По правилу вычисления двойного интеграла по стандартной области D 1-го типа в плоскости выражаем кратный интеграл через повторный:

Ответ: .

 

 

ТЕМА 11. Ряды

Литература: [1. Гл. XIII]; [2. Гл. XIV]; [6. Гл. XVI]

 

Вопросы для самопроверки

 

1. Что называется рядом? В каком случае ряд называется сходящимся, а в каком – расходящимся? Что называется суммой ряда?

2. Почему при исследовании сходимости ряда можно отбрасывать любое конечное число начальных членов?

3. Необходимый признак сходимости рядов.

4. Достаточные признаки сходимости рядов: признак Даламбера; Коши, интегральный, 2-й признак сравнения.

5. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.

6. Степенной ряд. Область сходимости и радиус сходимости степенного ряда .

Числовым рядом называется бесконечная сумма: , где – общий член ряда. Если бесконечная сумма существует и конечна, то говорят, что числовой ряд сходится, в противном случае – расходится.

Необходимый признак сходимости ряда. Если:

1) при , то ряд может сходиться или расходиться;

2) при , то числовой ряд расходится.

Признак Даламбера. Если для существует предел:

при , то при ряд сходится; при ряд расходится, при имеется неопределенность.

Признак Коши. Если для существует предел:

при , то при ряд сходится; при ряд расходится, при имеется неопределенность.

Интегральный признак. Числовой ряд сходится или расходится одновременно с несобственным интегралом , где , число выбирается произвольно, лишь бы под интегралом не было деления на 0.

2-й признак сравнения. Если для рядов и существует предел при , , то ряды сходятся или расходятся одновременно.

Ряд используется в качестве эталона сравнения. Часто используемые эталоны: 1) гармонический ряд расходится; 2) обобщенный гармонический ряд сходится при , расходится при ; 3) – бесконечная геометрическая прогрессия, при ряд сходится, при ряд расходится.

Знакочередующий ряд:

Признак Лейбница сходимости знакочередующего ряда. Если:

1) ; 2) монотонно убывают, то есть ; 3) при , то знакочередующий ряд сходится.

Степенной ряд , где – коэффициенты степенного ряда.

Интервал сходимости степенного ряда , где R – радиус сходимости степенного ряда можно находить по формуле Даламбера или по формуле Коши при .

ЗАДАЧИ

1) Исследовать сходимость числового ряда .

Решение. Так как содержит «n факториал» – произведение всех чисел от одного до n: , то сходимость ряда исследуется по признаку Даламбера. Заметим, что . Найдем . По признаку Даламбера надо вычислить предел

, так как по 2-му замечательному пределу . Так как , то ряд расходится.

2) Исследовать сходимость числового ряда .

Решение. Так как содержит только степени, то сходимость ряда исследуется по признаку Коши:

. Так как , то ряд сходится.

3) Исследовать сходимость числового ряда .

Решение. Исследуем ряд по интегральному признаку. Так как , то . Числовой ряд сходится или расходится одновременно с несобственным интегралом . Вычислим несобственный интеграл

– несобственный интеграл расходится. Следовательно, исходный числовой ряд расходится.

4) Исследовать сходимость числового ряда .

Решение. Исследуем ряд по 2-му признаку сравнения. В качестве эталона рассмотрим похожий ряд – бесконечная геометрическая прогрессия, расходится. По 2-му признаку сравнения надо найти предел

, следовательно, ряды ведут себя одинаково. Так как эталонный ряд расходится, то исходный ряд тоже расходится.

5) Найти область сходимости степенного ряда.

Решение. Найдем параметры степенного ряда: , . Радиус сходимости ряда вычислим по формуле Даламбера

Интервал сходимости степенного ряда равен 9, 11+9)=(2,20). Исследуем сходимость ряда в каждой граничной точке и .

1) Подставим в степенной ряд :

– гармонический ряд, расходится, .

2) Подставим в степенной ряд :

– знакочередующий ряд, . По признаку Лейбница: а) . б) Проверим . Сначала формально выпишем неравенство: . Затем с помощью арифметических операций преобразуем неравенство к очевидному: – очевидно верное, значит, исходное неравенство верное. 3) . Все три условия признака Лейбница выполняются, следовательно, знакочередующий ряд сходится, .

Ответ: область сходимости степенного ряда равна D =[2,20).