Определение функции одной переменной

Определение функции одной переменной

Определение. Пусть даны два множества X и Y. Если каждому элементу x из множества X по некоторому правилу f соответствует единственный элемент y из множества Y, то говорят, что на множестве X определена функция y = f(x) с областью определения X = D(f) и областью значения Y = E(f). При этом x считают независимой переменной, или аргументом функции, а y – зависимой переменной или функцией.

Частным значением функции y = f(x) при фиксированном значении аргумента x = x₀ называют y₀ = f(x₀).

Графиком функции y = f(x) называют геометрическое место точек M(x;f(x)) на плоскости Oxy, где x Î D(f) и f(x) Î E(f).

ОпределениеПусть функция y = f(U) определена на множестве D(f), а функция U = g(x) определена на D(g), причём E(g) D(f).

Тогда функция y = F(x) = f(g(x)) называется сложной функцией (или функцией от функции, или суперпозицией функций f и g ).

ОпределениеПусть задана функция y = f(x) взаимно однозначно отображающая множество X = D(f) на множество Y = E(f).

Тогда функция x = g(y) называется обратной к функции y = f(x), т. е. любому y E(f) соответствует единственное значение x D(f), при котором верно равенство y = f(x).

Предел функции в точке.

Определение: Число b называется пределом функции в точке при x → x₀ , если для любой последовательности точек {x_n}^∞_n=1 ϵ D и стремится к точке x₀, последовательность соответствующих значений функции {y_n} будет стремиться к числу b.

Геометрическая интерпретация.

Предел функции в точке существует и равен , если для любой -окрестности точки можно указать такую -окрестность точки , что для любого из этой -окрестности значение будет находится в -окрестности точки .

Односторонние пределы

ОпределениеЧисло А называется правым (левым) пределом функции y = f(x) в точке x₀, если для любого малого числа ε > 0 найдётся другое малое число – такое, что для всех и лежащих в правой (левой) окрестности точки x₀, т.е. , справедливо неравенство: .

При этом используют следующие обозначения:

– для правого предела.

– для левого предела.

Бесконечно малые и их основные свойства. Бесконечно большие функции. Ограниченные функции. Связь между бесконечно малыми и бесконечно большими функциями. Разложение функции, имеющей предел, на постоянную и бесконечно малую. Теоремы о пределах.

Бесконечно малые и бесконечно большие функции

Определение. Функция a(x) называется бесконечно малой при x ® x₀или в точке,если пределa(x)при x®равен нулю: .

Определение. Функция f(x) называется бесконечно большой в точке , если предел f(x) при x ® x₀равен ∞. Это значит, что для любого сколь угодно большого числа M > 0 существует малое число δ = δ(M) > 0 такое, что для любого удовлетворяющего неравенству , выполняется неравенство |f(x)| > M.

Определение. Функция f(x) называется ограниченной на некотором множестве X Ì D(f), если существует такое число M > 0, что для любого x Î X выполняется неравенство |f(x)| < M.

2. Теорема (о связи между бесконечно малой функцией в точке x₀ и бесконечно большой функцией в точке x₀)

Если функция f(x)является бесконечно большой в точке ,то функция является бесконечно малой в точке .(Верно и обратное утверждение)

Теорема о разложении функции, имеющей предел на постоянную и бесконечно малую функцию.

Теорема. Если функция ƒ(х) имеем предел, равный А, то ее можно представить как сумму числа А и бесконечно малой функции α(х), т. е. если limƒ(х)=А, при Х→Хо то ƒ(х)=А+а(х). т. е. |ƒ(х)-А-0|<ε. Это означает, что функция ƒ(х)-А имеет предел, равный нулю, т. е. является б.м.ф., которую обозначим через α(х): ƒ(х)-А=α(х). Отсюда ƒ(х)=А+α(х).

Теоремы о пределах.

1)

2)

3) , если g(x)≠0 в δ(x₀)

4) ;

5)

 

Первый и второй замечательные пределы. Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные функции.

Первый замечательный предел:

Предел функции в точке существует и равен 1, т.е. .

Второй замечательный предел:

Предел функции при x существует и равен числу e, т.е.

.

Сравнение бесконечно малых функций:

α(x) , β(x) - бесконечно малые функции

Эквивалентные функции:

Эквивалентность α(x)→0; x→a
sin α ~ α	tg α ~ α	ctg α →	1-cos α ~	arcsin α ~ α
arctg α ~ α	arcctg α ~ - α	arccos α ~ - α	-1 ~ α	-1 ~ α lna
ln(1+α) ~ α	~	(1+α)^n-1 ~ nα	-1 ~	-1 ~

Непрерывность функции в точке и на отрезке. Точки разрыва, их классификация. Теоремы о непрерывных функциях.

Функций

( c u )’ = c u’ , d ( c u ) = c du , ( c – const );

( u ± v )’ = u’ ± v’ , d ( u ± v ) = du ± dv ;

( u v )’ = u’ v + u v’ , d ( u v ) = v du + u dv ;

Таблица производных основных элементарных функций

1. (c)' = 0

2. (x^a)' = a×x^{a – 1}

3. (a^x)' = a^x×ln a, (a > 0, a ≠ 1)

4. (e^x)' = e^x

5. (log_a x)' = , (a > 0; a ≠ 1)

6. (ln x)' =

7. (sin x)' =cos x

8. (cos x)' = – sin x

9. (tg x)' =

10. (ctg x)' = –

11. (arcsin x)' =

12. (arccos x)' = –

13. (arctg x)' =

(arcctg x)' =

Теорема Ролля

Теорема 4 (теорема Ролля). Если функция f(x) определена на отрезке [a;b] и выполнены следующие условия:

· f(x) непрерывна на отрезке [a;b];

· f(x) дифференцируема на интервале (a;b);

· f(a) = f(b),

то внутри этого отрезка [a;b] найдется хотя бы одна точка х₀, в которой выполняется равенство:

f '(х₀) = 0.

Теорема Лагранжа

Теорема 5 (теорема Лагранжа). Если функция f(x) определена на отрезке [a;b] и выполнены следующие условия:

· f(x) непрерывна на отрезке [a;b],

· f(x) дифференцируема на интервале (a;b),

то внутри этого отрезка существует хотя бы одна точка х₀, в которой выполняется равенство:

f ' (х₀) = .

 

Теорема Коши

Теорема 6 (теорема Коши). Если функции f(x) и g(x) определены на отрезке [a;b] и удовлетворяют условиям:

· f(x) и g(x) непрерывны на отрезке [a;b];

· f(x) и g(x) дифференцируемы на интервале (a;b);

· g '(x) ¹ 0 при любом x Î (a;b),

то внутри отрезка [a;b] найдётся хотя бы одна точка х₀, в которой выполняется равенство:

.

Правило Лопиталя

Теорема 7 (правило Лопиталя). Если функции f(x) и g(x) определены в некоторой окрестности точки х₀ и в этой окрестности они удовлетворяют условиям:

· f(x) и g(x) дифференцируемы в каждой точке за исключением может быть самой точки х₀;

· g '(x) ¹ 0 для любого x из этой окрестности;

· или ,

тогда, если существует конечный или бесконечный, то выполняется равенство:

= .

Замечание 1.Правило Лопиталя используется для раскрытия неопределённостей типа или , возникающих при вычислении пределов. Если под знаком предела оказывается неопределённость другого типа: 0×∞, , 1⁰, 0⁰ или ∞⁰, то с помощью тождественных алгебраических преобразований такая неопределённость приводится к или и тогда можно применить правило Лопиталя.

Замечание 2.Если к условиям теоремы 7 добавить дифференцируемость функций f '(x) и g'(x) в окрестности точки х₀, то при выполнении остальных требований для f '(x) и g'(x) правило Лопиталя можно применить повторно.

Асимптоты плоской кривой

Определение 1. Если точка M(x; y) перемещается по кривой y = f(x) так, что хотя бы одна из координат точки стремится к ¥ и при этом расстояние от этой точки до некоторой прямой стремится к 0, то эта прямая называется асимптотой кривой y = f(x).

Асимптоты бывают двух видов: вертикальные и наклонные.

Определение 2. Прямая x = a называется вертикальной асимптотой кривой y = f(x), если хотя бы один из односторонних пределов или равен +¥ или – ¥.

Замечание. Если прямая x = a является вертикальной асимптотой кривой y = f(x), то в точке x = a функция f(x) имеет разрыв второго рода. Наоборот, если в точке x = a функция f(x) имеет разрыв второго рода, то прямая x = a является вертикальной асимптотой кривой y = f(x).

Определение 3. Прямая называется наклонной асимптотой кривой при (или ), если функцию f(x) можно представить в виде:

,

где (x) – бесконечно малая функция при (или ).

Теорема 1. Для того чтобы кривая y = f(x) имела наклонную асимптоту при (или ) необходимо и достаточно существования двух конечных пределов:

и

Монотонность функции

Определение 4. Функция y = f(x) называется возрастающей (убывающей) на промежутке (a;b), если для любых x₁ и x₂, принадлежащих этому промежутку, из условия x₂ > x₁ следует неравенство:

 

f(x₂) > f(x₁) (f(x₂) < f(x₁)).

 

Определение 5. Функция y = f(x) называется монотонной на промежутке (a;b), если она на этом промежутке является только возрастающей или только убывающей.

Теорема 2 (достаточные условия монотонности). Если функция y = f(x) дифференцируема на промежутке (a;b) и f’(x) > 0 (f’(x) < 0) для любых x Î (a;b), то функция возрастает (убывает) на этом промежутке.

Экстремумы функции

Определение 6. Функция y = f(x) имеет в точке x₀ÎD(f) максимум y_max (минимум y_min), если существует такая окрестность точки x₀, в которой для всех x выполняется неравенство:

 

f(x₀) > f(x) (f(x₀) < f(x)).

Определение 7.Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума функции.

Теорема 3 (необходимое условие экстремума). Если функция y = f(x) имеет экстремум в точке x₀, то в этой точке производная функции равна нулю или не существует.

Теорема 4 (достаточное условие экстремума). Если функция y = f(x) непрерывна в точке x₀, дифференцируема в некоторой её окрестности, за исключением может быть самой этой точки, f’(x₀) = 0 или не существует и при переходе x через точку x₀ производная f '(x) изменяет знак, то точка x₀ является точкой экстремума. Если при этом знак f '(x) меняется

с + на –, то x₀ – точка максимума,

с – на +, то x₀ – точка минимума.

Основные понятия.

Определение. Если каждой паре (x,y) значений двух независимых друг от друга, переменных величин x и y, из некоторой области их изменения D, соответствует определенное значение величины z, то говорят, что z функция двух независимых переменных x и y, определенная в области D.

Для функции трех переменных областью определения является упорядоченная тройка чисел (x,y,z), т.е. некоторая совокупность точек пространства. Функции двух переменных допускают графическую иллюстрацию. Графиком функции z=f(x,y), заданной на некотором множестве D точек плоскости ХОУ, называется множество точек (x,y,z) пространства, у которых (x,y) принадлежит D, а z=f(x,y). В наиболее простых случаях такой график представляет собой некоторую поверхность.

Частные производные.

Определение. Частной производной по x от функции z=f(x,y) называется предел отношения частного приращения по x к приращению при стремлении к нулю, т.е.

Частная производная обозначается одним из символов .

Аналогично определяется частная производная по y:

.

Таким образом, частные производные функции двух переменных вычисляются по тем же правилам, что и производные функции одного переменного.

Частные производные функции любого числа переменных определяют3. Геометрическая интерпретация частных производных функции двух

Переменных

Частная производная численно равна тангенсу угла наклона касательной к кривой, получающейся в сечении поверхности z=f(x,y) плоскостью x=const.

Аналогично, частная производная численно равна тангенсу угла наклона касательной к кривой, получающейся сечении поверхности z=f(x,y)

плоскостью x=const.

 

13. Полный дифференциал функции нескольких переменных, его применение в приближённых вычислениях, достаточное условие дифференцируемости.

Формула полного дифференциала функции нескольких переменных:

или dz=z’_x*dx+ z’_y*dy или du=u’_x*dx+ u’_y*dy+ u’_z*dz

d²z=z’_x’_x*d²x+ z’_y’_y*d²y

Формула приближенного вычисления:

z=z(x, y); Dz = dz; dx=Dx; dy=Dy

z (x, y)»z(M₀)+z’_x(M₀)*Dx+ z’_y(M₀)*Dy

Достаточное условие дифференцируемости:

Если функция z=(x;у) имеет непрерывные частные производные и в точке М(х;у), то она дифференцируема в этой точке.

14. Уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности. Дифференцирование сложных и неявных функций.

(неявная функция) (явная функция)

Уравнение касательной:

F’_x(M₀)*(x-x₀)+ F’_y(M₀)*(y-y₀)+ F’_z(M₀)*(z-z₀)=0 z’_x(M₀)*(x-x₀)+ z’_y(M₀)*(y-y₀)=(z-z₀)

Уравнение нормали:

N̅={F’_x; F’_y; F’_z} N̅={z’_x; z’_y -1}

(x-x₀)/ F’_x(M₀)= (y-y₀)/ F’_y(M₀)= (z-z₀)/ F’_z(M₀) (x-x₀)/ z’_x(M₀)= (y-y₀)/ z’_y(M₀)= (z-z₀)/ (-1)

Дифференцирование:

(сложные функции) (неявной функции F(x, y, z)=0)

1. z=z(x, y), x=x(t) => z=z(t) ) z’_x= -(F’_x/F’_z)

y=y(t) z’_y= -(F’_y/F’_z)

dz/dt=z’_x*x’_t+ z’_y*y’_t

2. z=z(x, y), y=y(x) => z=z(x)

dz/dx=z’_x+ z’_y*y’_x

3. z=z(x, y), x=x(u, v) => z=z(u, v)

y=y(u, v)

∂z/∂u= z’_u= z’_x*x’_u+ z’_y*y’_u

∂z/∂v= z’_v= z’_x*x’_v+ z’_y*y’_v

15. Производные высших порядков функции нескольких переменных.

z=z(x, y)

z’_x, z’_y – первого порядка

z’_x’_x, z’_y’_y , z’_x’_y, z’_y’_x – второго порядка

z’_x’_y= z’_y’_x

16. Экстремум функции нескольких переменных. Необходимое и достаточное условия экстремума.

1. Найти частные производные z’_x и z’_y. Составить и решить систему уравнений

z’_x=0

z’_y=0

Точки, координаты которых удовлетворяют указанной системе, называют стационарными.

2. Найти А=z’_x’_x, С=z’_y’_y , В=z’_x’_y и вычислить значение Δ=А*С-В² в каждой стационарной точке. После этого использовать следующую схему:

· Если Δ>0 и А>0 , то в исследуемая точка есть точкой минимума.

· Если Δ>0 и А<0 , то в исследуемая точка есть точкой максимума.

· Если Δ<0, то в рассматриваемой стационарной точке экстремума нет.

· Если Δ=0, то ничего определённого про наличие экстремума сказать нельзя; требуется дополнительное исследование.

Интегрирование дробей

1. Если степень числителя больше или равна степени знаменателя, то дробь неправильная и нужно поделить уголком, тем самым выделив целую часть:

2. Знаменатель разложить на множители и привести всю дробь к сумме простых дробей:

I . ,

II. ,

III. а) )D < 0

б) D > 0

Разложить знаменатель на множители и решать, используя пределы Ао, Во.

Интегрирование тригонометрии

1. Интегралы вида ∫cos(m*(x))sin(n*(x))dx находят в зависимости от четности степеней m и n следующим образом:

а) если m или n нечетное, то используют замену переменной:

t=sinx, при нечетном m;

t=cosx, при нечетном n,

и формулу sin²x+cos²x=1;

б) если m и n четные, то используют формулы понижения степени:

в) Если m+n=−2k, k∈N т. е. m+n является целым четным отрицательным числом, то удобно использовать подстановки

tgx=t и ctgx=t.

2. Интегралы вида ∫sin(m*(x))cos(n*(x))dx, ∫cos(m*(x))cos(n*(x))dx, ∫sin(m*(x))sin(n*(x))dx

вычисляют с помощью преобразований подынтегральной функции по следующим формулам:

sin(m*(x))cos(n*(x))dx =

sin(m*(x))sin(n*(x))dx = ,

cos(m*(x))cos(n*(x))dx = .

4. Интегралы вида, R(sinx,cosx)dx где R(u,v)− рациональная функция двух переменных, приводят к интегралам от рациональных функций нового аргумента t подстановкой t=tg(x/2). При этом используются формулы

Если под интегралом sinx и cosx содержатся только в четных степенях, то удобнее использовать подстановку tgx=t.

 

Интегрирование иррациональности

Т. о среднем.

Если функция f (x) непрерывна на отрезке [a;b], то на этом отрезке найдётся хотя бы одна точка c, в которой выполняется равенство:

Формула Ньютона–Лейбница

Теорема.Пусть функция f (x) непрерывна на отрезке [a;b] и F(x) – какая-либо её первообразная на отрезке [a;b]. Тогда определённый интеграл от функции f(x) по отрезку [a;b] равен разности значений функции F(x) в точках b и a:

Определение функции одной переменной

Определение. Пусть даны два множества X и Y. Если каждому элементу x из множества X по некоторому правилу f соответствует единственный элемент y из множества Y, то говорят, что на множестве X определена функция y = f(x) с областью определения X = D(f) и областью значения Y = E(f). При этом x считают независимой переменной, или аргументом функции, а y – зависимой переменной или функцией.

Частным значением функции y = f(x) при фиксированном значении аргумента x = x₀ называют y₀ = f(x₀).

Графиком функции y = f(x) называют геометрическое место точек M(x;f(x)) на плоскости Oxy, где x Î D(f) и f(x) Î E(f).

ОпределениеПусть функция y = f(U) определена на множестве D(f), а функция U = g(x) определена на D(g), причём E(g) D(f).

Тогда функция y = F(x) = f(g(x)) называется сложной функцией (или функцией от функции, или суперпозицией функций f и g ).

ОпределениеПусть задана функция y = f(x) взаимно однозначно отображающая множество X = D(f) на множество Y = E(f).

Тогда функция x = g(y) называется обратной к функции y = f(x), т. е. любому y E(f) соответствует единственное значение x D(f), при котором верно равенство y = f(x).

Предел функции в точке.

Определение: Число b называется пределом функции в точке при x → x₀ , если для любой последовательности точек {x_n}^∞_n=1 ϵ D и стремится к точке x₀, последовательность соответствующих значений функции {y_n} будет стремиться к числу b.

Геометрическая интерпретация.

Предел функции в точке существует и равен , если для любой -окрестности точки можно указать такую -окрестность точки , что для любого из этой -окрестности значение будет находится в -окрестности точки .

Односторонние пределы

ОпределениеЧисло А называется правым (левым) пределом функции y = f(x) в точке x₀, если для любого малого числа ε > 0 найдётся другое малое число – такое, что для всех и лежащих в правой (левой) окрестности точки x₀, т.е. , справедливо неравенство: .

При этом используют следующие обозначения:

– для правого предела.

– для левого предела.

Бесконечно малые и их основные свойства. Бесконечно большие функции. Ограниченные функции. Связь между бесконечно малыми и бесконечно большими функциями. Разложение функции, имеющей предел, на постоянную и бесконечно малую. Теоремы о пределах.