Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

Пусть функция y = f (x) определена на отрезке [ a; b ].

Определение 10. Число f (c) называется наибольшим (наименьшим) значением функции y = f (x) на отрезке [ a; b ] и обозначается (), если для любого x Î [ a; b ] выполняется неравенство:

f (x) £ f (c) (f (x) ³ f (c)).

Если функция y = f (x) непрерывна на отрезке [ a; b ], то по свойству непрерывной на отрезке функции она достигает своих наибольшего и наименьшего значений.

Схема нахождения этих значений следующая:

1) Найти все точки, в которых f '(x) = 0 (или не существует). Причём выбрать те точки из полученных, которые попадают на отрезок [ a; b ].

2) Вычислить значения функции в полученных точках в п.1.

3) Вычислить значения функции в граничных точках отрезка [ a; b ]: f (a) и f (b).

4) Из значений п.2 и п.3 найти наибольшее число M и наименьшее m.

Тогда

Функции нескольких переменных.

Основные понятия.

Определение. Если каждой паре (x,y) значений двух независимых друг от друга, переменных величин x и y, из некоторой области их изменения D, соответствует определенное значение величины z, то говорят, что z функция двух независимых переменных x и y, определенная в области D.

Для функции трех переменных областью определения является упорядоченная тройка чисел (x,y,z), т.е. некоторая совокупность точек пространства. Функции двух переменных допускают графическую иллюстрацию. Графиком функции z = f(x,y), заданной на некотором множестве D точек плоскости ХОУ, называется множество точек (x,y,z) пространства, у которых (x,y) принадлежит D, а z = f (x,y). В наиболее простых случаях такой график представляет собой некоторую поверхность.

Частные производные.

Определение. Частной производной по x от функции z=f(x,y) называется предел отношения частного приращения по x к приращению при стремлении к нулю, т.е.

Частная производная обозначается одним из символов .

Аналогично определяется частная производная по y:

.

Таким образом, частные производные функции двух переменных вычисляются по тем же правилам, что и производные функции одного переменного.

Частные производные функции любого числа переменных определяют 3. Геометрическая интерпретация частных производных функции двух

Переменных

Частная производная численно равна тангенсу угла наклона касательной к кривой, получающейся в сечении поверхности z=f(x,y) плоскостью x=const.

Аналогично, частная производная численно равна тангенсу угла наклона касательной к кривой, получающейся сечении поверхности z=f(x,y)

плоскостью x=const.

 

13. Полный дифференциал функции нескольких переменных, его применение в приближённых вычислениях, достаточное условие дифференцируемости.

Формула полного дифференциала функции нескольких переменных:

или dz=z’_x*dx+ z’_y*dy или du=u’_x*dx+ u’_y*dy+ u’_z*dz

d²z=z’_x’_x*d²x+ z’_y’_y*d²y

Формула приближенного вычисления:

z=z(x, y); Dz = dz; dx=Dx; dy=Dy

z (x, y)»z(M₀)+z’_x(M₀)*Dx+ z’_y(M₀)*Dy

Достаточное условие дифференцируемости:

Если функция z=(x; у) имеет непрерывные частные производные и в точке М(х;у), то она дифференцируема в этой точке.

14. Уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности. Дифференцирование сложных и неявных функций.

(неявная функция) (явная функция)

Уравнение касательной:

F’_x(M₀)*(x-x₀)+ F’_y(M₀)*(y-y₀)+ F’_z(M₀)*(z-z₀)=0 z’_x(M₀)*(x-x₀)+ z’_y(M₀)*(y-y₀)=(z-z₀)

Уравнение нормали:

N̅={F’_x; F’_y; F’_z} N̅={z’_x; z’_y -1}

(x-x₀)/ F’_x(M₀)= (y-y₀)/ F’_y(M₀)= (z-z₀)/ F’_z(M₀) (x-x₀)/ z’_x(M₀)= (y-y₀)/ z’_y(M₀)= (z-z₀)/ (-1)

Дифференцирование:

(сложные функции) (неявной функции F(x, y, z)=0)

1. z=z(x, y), x=x(t) => z=z(t)) z’_x= -(F’_x/F’_z)

y=y(t) z’_y= -(F’_y/F’_z)

dz/dt=z’_x*x’_t+ z’_y*y’_t

2. z=z(x, y), y=y(x) => z=z(x)

dz/dx=z’_x+ z’_y*y’_x

3. z=z(x, y), x=x(u, v) => z=z(u, v)

y=y(u, v)

∂z/∂u= z’_u= z’_x*x’_u+ z’_y*y’_u

∂z/∂v= z’_v= z’_x*x’_v+ z’_y*y’_v

15. Производные высших порядков функции нескольких переменных.

z=z(x, y)

z’_x, z’_y – первого порядка

z’_x’_x, z’_y’_y, z’_x’_y, z’_y’_x – второго порядка

z’_x’_y= z’_y’_x

16. Экстремум функции нескольких переменных. Необходимое и достаточное условия экстремума.

1. Найти частные производные z’_x и z’_y. Составить и решить систему уравнений

z’_x=0

z’_y=0

Точки, координаты которых удовлетворяют указанной системе, называют стационарными.

2. Найти А=z’_x’_x, С=z’_y’_y, В=z’_x’_y и вычислить значение Δ=А*С-В² в каждой стационарной точке. После этого использовать следующую схему:

· Если Δ>0 и А>0, то в исследуемая точка есть точкой минимума.

· Если Δ>0 и А<0, то в исследуемая точка есть точкой максимума.

· Если Δ<0, то в рассматриваемой стационарной точке экстремума нет.

· Если Δ=0, то ничего определённого про наличие экстремума сказать нельзя; требуется дополнительное исследование.