Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке



Мы поможем в написании ваших работ!


Мы поможем в написании ваших работ!



Мы поможем в написании ваших работ!


ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке



Пусть функция y = f(x) определена на отрезке [a;b].

Определение 10. Число f(c) называется наибольшим (наименьшим) значением функции y = f(x) на отрезке [a;b] и обозначается ( ), если для любого x Î [a;b] выполняется неравенство:

f(x) £ f(c) (f(x) ³ f(c)) .

Если функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a;b], то по свойству непрерывной на отрезке функции она достигает своих наибольшего и наименьшего значений.

Схема нахождения этих значений следующая:

1) Найти все точки, в которых f '(x) = 0 (или не существует). Причём выбрать те точки из полученных, которые попадают на отрезок [a;b].

2) Вычислить значения функции в полученных точках в п.1.

3) Вычислить значения функции в граничных точках отрезка [a;b]: f(a) и f(b).

4) Из значений п.2 и п.3 найти наибольшее число M и наименьшее m.

Тогда

Функции нескольких переменных.

Основные понятия.

Определение. Если каждой паре (x,y) значений двух независимых друг от друга, переменных величин x и y, из некоторой области их изменения D, соответствует определенное значение величины z, то говорят, что z функция двух независимых переменных x и y, определенная в области D.

Для функции трех переменных областью определения является упорядоченная тройка чисел (x,y,z), т.е. некоторая совокупность точек пространства. Функции двух переменных допускают графическую иллюстрацию. Графиком функции z=f(x,y), заданной на некотором множестве D точек плоскости ХОУ, называется множество точек (x,y,z) пространства, у которых (x,y) принадлежит D, а z=f(x,y). В наиболее простых случаях такой график представляет собой некоторую поверхность.

Частные производные.

Определение. Частной производной по x от функции z=f(x,y) называется предел отношения частного приращения по x к приращению при стремлении к нулю, т.е.

Частная производная обозначается одним из символов .

Аналогично определяется частная производная по y:

.

Таким образом, частные производные функции двух переменных вычисляются по тем же правилам, что и производные функции одного переменного.

Частные производные функции любого числа переменных определяют3. Геометрическая интерпретация частных производных функции двух

Переменных

Частная производная численно равна тангенсу угла наклона касательной к кривой, получающейся в сечении поверхности z=f(x,y) плоскостью x=const.

Аналогично, частная производная численно равна тангенсу угла наклона касательной к кривой, получающейся сечении поверхности z=f(x,y)

плоскостью x=const.

 

13. Полный дифференциал функции нескольких переменных, его применение в приближённых вычислениях, достаточное условие дифференцируемости.

Формула полного дифференциала функции нескольких переменных:

или dz=z’x*dx+ z’y*dy или du=u’x*dx+ u’y*dy+ u’z*dz

d2z=z’xx*d2x+ z’yy*d2y

Формула приближенного вычисления:

z=z(x, y); Dz = dz; dx=Dx; dy=Dy

z (x, y)»z(M0)+z’x(M0)*Dx+ z’y(M0)*Dy

Достаточное условие дифференцируемости:

Если функция z=(x;у) имеет непрерывные частные производные и в точке М(х;у), то она дифференцируема в этой точке.

14. Уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности. Дифференцирование сложных и неявных функций.

(неявная функция) (явная функция)

Уравнение касательной:

F’x(M0)*(x-x0)+ F’y(M0)*(y-y0)+ F’z(M0)*(z-z0)=0 z’x(M0)*(x-x0)+ z’y(M0)*(y-y0)=(z-z0)

Уравнение нормали:

N̅={F’x; F’y; F’z} N̅={z’x; z’y -1}

(x-x0)/ F’x(M0)= (y-y0)/ F’y(M0)= (z-z0)/ F’z(M0) (x-x0)/ z’x(M0)= (y-y0)/ z’y(M0)= (z-z0)/ (-1)

Дифференцирование:

(сложные функции) (неявной функции F(x, y, z)=0)

1. z=z(x, y), x=x(t) => z=z(t) ) z’x= -(F’x/F’z)

y=y(t) z’y= -(F’y/F’z)

dz/dt=z’x*x’t+ z’y*y’t

2. z=z(x, y), y=y(x) => z=z(x)

dz/dx=z’x+ z’y*y’x

3. z=z(x, y), x=x(u, v) => z=z(u, v)

y=y(u, v)

∂z/∂u= z’u= z’x*x’u+ z’y*y’u

∂z/∂v= z’v= z’x*x’v+ z’y*y’v

15. Производные высших порядков функции нескольких переменных.

z=z(x, y)

z’x, z’y – первого порядка

z’xx, z’yy , z’xy, z’yx – второго порядка

z’xy= z’yx

16. Экстремум функции нескольких переменных. Необходимое и достаточное условия экстремума.

1. Найти частные производные z’x и z’y. Составить и решить систему уравнений

z’x=0

z’y=0

Точки, координаты которых удовлетворяют указанной системе, называют стационарными.

2. Найти А=z’xx, С=z’yy , В=z’xy и вычислить значение Δ=А*С-В2 в каждой стационарной точке. После этого использовать следующую схему:

· Если Δ>0 и А>0 , то в исследуемая точка есть точкой минимума.

· Если Δ>0 и А<0 , то в исследуемая точка есть точкой максимума.

· Если Δ<0, то в рассматриваемой стационарной точке экстремума нет.

· Если Δ=0, то ничего определённого про наличие экстремума сказать нельзя; требуется дополнительное исследование.



Последнее изменение этой страницы: 2016-04-18; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.80.6.131 (0.017 с.)