Механический смысл производной

Пусть материальная точка движется по прямой по закону S = S (t),

тогда D S = S (t+ D t) – S (t) – расстояние, пройденное за время D t и средняя скорость движения:

.

Чтобы найти скорость движения в момент времени t, надо рассмотреть предел при D t ® 0:

V (t) = .

Производная от пути S (t) равна мгновенной скорости точки в момент времени t:

.

Геометрический смысл производной

Точка M ₀(x ₀; y (x ₀)) – фиксированная точка графика . Точка M (x ₀+D x; y (x ₀+D x)) при различных значениях D x – любая точка на графике. Если точка M приближается к точке M ₀ (при этом D x ® 0), то секущая линия M ₀ M стремится к своему предельному положению, называемому касательной к линии y = f(x) в точке M ₀.

 

Рис. 5

Рассмотрим треугольник M ₀ MA: tg j = , j – угол наклона секущей M ₀ M к оси Ox.

Перейдем к пределу при D x ®0:

j = ,

где – угол наклона касательной к оси Ox.

Уравнение касательной к линии y = f (x) в точке M ₀(x ₀; f (x ₀)):

y = f (x ₀) + f ' (x ₀) × (x – x ₀).

Нормаль – прямая, перпендикулярной касательной и проходящей через точку касания M₀(x ₀; f (x ₀)):

y = f (x ₀) – ,

6. Производная обратной функции. Производная сложной функции

Для дифференцируемой функции с производной, отличной от нуля, производная обратной функции равна обратной величине производной данной функции, т.е

· ,

• ,

 

(производная сложной функции). Если функция f (u) дифференцируема в точке u, а функция u (x) дифференцируема в точке x, причём u = u (x), тогда сложная функция f (u (x)) дифференцируема в точке x и её производная вычисляется по формуле:

(f (u (x)))' = f '(u) × u ' (x).

h (x) = g (f (x)).

7. Основные свойства производных. Производные элементарных

Функций

(c u) ’ = c u’, d (c u) = c du, (c – const);

(u ± v) ’ = u’ ± v’, d (u ± v) = du ± dv;

(u v) ’ = u’ v + u v’, d (u v) = v du + u dv;

Таблица производных основных элементарных функций

1. (c)' = 0

2. (x ^a)' = a× x ^{a – 1}

3. (a^x)' = a^x ×ln a, (a > 0, a ≠ 1)

4. (e^x)' = e^x

5. (lo g_a x)' = , (a > 0; a ≠ 1)

6. (ln x)' =

7. (sin x)' =cos x

8. (cos x)' = – sin x

9. (tg x)' =

10. (ctg x)' = –

11. (arcsin x)' =

12. (arccos x)' = –

13. (arctg x)' =

(arcctg x)' =

Производные и дифференциалы высших порядков

Если функция y = f (x) дифференцируема на некотором промежутке, то она имеет на этом промежутке производную y ' = f ' (x), которая в свою очередь может иметь производную: (y ')' = (f '(x))' = y '', называемую второй производной функции y = f (x). Она обозначается:

Может случиться, что новая функция y ''(x) имеет производную, тогда она называется третьей производной функции y = f (x) и обозначается:

Производная “n”-го порядка функции y = f (x) обозначается:

Дифференциалом второго порядка функции y = f (x) в точке x называется выражение, обозначаемое d² y и вычисляемое по формуле:

,

если x – независимая переменная.

Дифференциал третьего порядка функции y = f (x):

,

если x – независимая переменная, и т.д.

Замечание. Дифференциал уже второго порядка не обладает свойством инвариантности формы.

Теорема Ролля

Теорема 4 (теорема Ролля). Если функция f (x) определена на отрезке [ a; b ] и выполнены следующие условия:

· f (x) непрерывна на отрезке [ a; b ];

· f (x) дифференцируема на интервале (a; b);

· f (a) = f (b),

то внутри этого отрезка [ a; b ] найдется хотя бы одна точка х ₀, в которой выполняется равенство:

f '(х ₀) = 0.

Теорема Лагранжа

Теорема 5 (теорема Лагранжа). Если функция f (x) определена на отрезке [ a; b ] и выполнены следующие условия:

· f (x) непрерывна на отрезке [ a; b ],

· f (x) дифференцируема на интервале (a; b),

то внутри этого отрезка существует хотя бы одна точка х ₀, в которой выполняется равенство:

f ' (х ₀) = .

 

Теорема Коши

Теорема 6 (теорема Коши). Если функции f (x) и g (x) определены на отрезке [ a; b ] и удовлетворяют условиям:

· f (x) и g (x) непрерывны на отрезке [ a; b ];

· f (x) и g (x) дифференцируемы на интервале (a; b);

· g '(x) ¹ 0 при любом x Î (a; b),

то внутри отрезка [ a; b ] найдётся хотя бы одна точка х ₀, в которой выполняется равенство:

.

Правило Лопиталя

Теорема 7 (правило Лопиталя). Если функции f (x) и g (x) определены в некоторой окрестности точки х ₀ и в этой окрестности они удовлетворяют условиям:

· f (x) и g (x) дифференцируемы в каждой точке за исключением может быть самой точки х ₀;

· g '(x) ¹ 0 для любого x из этой окрестности;

· или ,

тогда, если существует конечный или бесконечный, то выполняется равенство:

= .

Замечание 1. Правило Лопиталя используется для раскрытия неопределённостей типа или , возникающих при вычислении пределов. Если под знаком предела оказывается неопределённость другого типа: 0×∞, , 1⁰, 0⁰ или ∞⁰, то с помощью тождественных алгебраических преобразований такая неопределённость приводится к или и тогда можно применить правило Лопиталя.

Замечание 2. Если к условиям теоремы 7 добавить дифференцируемость функций f '(x) и g '(x) в окрестности точки х ₀, то при выполнении остальных требований для f '(x) и g '(x) правило Лопиталя можно применить повторно.