Физический смысл производной

Рассмотрим движение точки по прямой. Пусть задана координата точки в любой момент времени x(t). Известно (из курса физики), что средняя скорость за промежуток времени [t₀; t₀+?t] равна отношению расстояния, пройденного за этот промежуток времени, на время, т.е.

Vср =?x/?t. Перейдем к пределу в последнем равенстве при?t > 0.

lim Vср (t) = (t₀) - мгновенная скорость в момент времени t₀,?t > 0.

а lim =?x/?t = x'(t₀) (по определению производной).

Итак, (t) =x'(t).

Физический смысл производной заключается в следующем: производная функции y = f(x) в точке x₀ - это скорость изменения функции f (х) в точке x₀

Производная применяется в физике для нахождения скорости по известной функции координаты от времени, ускорения по известной функции скорости от времени.

(t) = x'(t) - скорость,

a(f) = '(t) - ускорение, или

a(t) = x"(t).

Если известен закон движения материальной точки по окружности, то можно найти угловую скорость и угловое ускорение при вращательном движении:

ц = ц(t) - изменение угла от времени,

щ = ц'(t) - угловая скорость,

е = ц'(t) - угловое ускорение, или е = ц"(t).

Если известен закон распределения массы неоднородного стержня, то можно найти линейную плотность неоднородного стержня:

m = m(х) - масса,

x [0; l], l - длина стержня,

р = m'(х) - линейная плотность.

С помощью производной решаются задачи из теории упругости и гармонических колебаний. Так, по закону Гука

F = -kx, x - переменная координата, k- коэффициент упругости пружины. Положив щ² =k/m, получим дифференциальное уравнение пружинного маятника х"(t) + щ²x(t) = 0,

где щ = vk/vm частота колебаний (l/c), k - жесткость пружины (H/m).

Уравнение вида у" + щ²y = 0 называется уравнением гармонических колебаний (механических, электрических, электромагнитных). Решением таких уравнений является функция

у = Asin(щt + ц₀) или у = Acos(щt + ц₀), где

А - амплитуда колебаний, щ - циклическая частота,

ц₀ - начальная фаза.

Правила дифференцирования

(C)'= 0 С=const
(cos x)'=-sin x
(sin x)'=cos x
(tg x)'=	(а^х)'=а^xln a
(ctg x)'=-	(е^х)'=e^x

Производная степенно-показательной функции

, где.

.

Логарифмическое дифференцирование. Пусть дана функция. При этом предполагается, что функция не обращается в нуль в точке. Покажем один из способов нахождения производной функции, если очень сложная функция и по обычным правилам дифференцирования найти производную затруднительно.

Так как по первоначальному предположению не равна нулю в точке, где ищется ее производная, то найдем новую функцию и вычислим ее производную

(1)

Отношение называется логарифмической производной функции. Из формулы (1) получаем

. Или

Формула (2) дает простой способ нахождения производной функции.

Производные высших порядков

Ясно, что производная функции y =f (x) есть также функция от x:

Если функция f ' (x) дифференцируема, то её производная обозначается символом y'' =f '' (x) и называется второй производной функции f(x) или производной функции f(x) второго порядка. Пользуясь обозначением можем написать

Очень удобно пользоваться также обозначением, указывающим, что функция y=f(x) была продифференцирована по x два раза.
Производная второй производной, т.е. функции y''=f '' (x), называется третьей производной функции y=f(x) или производной функции f(x) третьего порядка и обозначается символами.

Вообще n -я производная или производная n -го порядка функции y=f(x) обозначается символами

Дифференцируя производную первого порядка, можно получить производную второго порядка, а, дифференцируя полученную функцию, получаем производную третьего порядка и т.д. Тогда возникает вопрос: сколько производных высших порядков можно получить в случае произвольной функции.

Например:

1);;;...;

;.

Разные функции ведут себя по-разному при многократном дифференцировании. Одни имеют конечное количество производных высших порядков, другие - переходят сами в себя, а третьи, хотя и дифференцируемы бесконечное количество раз, но порождают новые функции, отличные от исходной.

Однако все сформулированные теоремы о производных первых порядков выполняются для производных высших порядков.

18. 6. Понятие первообразной и неопределенного интеграла. Свойства неопределенного интеграла.

Понятие неопределенного интеграла связано с понятием первообразной.

Найти первообразную – это значит «взять интеграл»

Интегрирование – это операция обратная дифференцированию.

Первообразной функцией для данной функции называется такая функция , производная которой равна исходной функции

интеграл функция

- НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ интеграл



# Найти интеграл

________________________________________________________________

________________________________________________________________