Свойства определённого интеграла

Теорема 1. Определённый интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю, т.е.

Это свойство содержится в самом определении определённого интеграла. Однако его можно получить и по формуле Ньютона-Лейбница:

Теорема 2. Величина определённого интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования, т.е.

(40)

Пусть F (x) – первообразная для f (x). Для f (t) первообразной служит та же функция F (t), в которой лишь иначе обозначена независимая переменная. Следовательно,

На основании формулы (39) последнее равенство означает равенство интегралов

и

Теорема 3. Постоянный множитель можно выносить за знак определённого интеграла, т.е.

(41)

Теорема 4. Определённый интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме определённых интегралов от этих функций, т.е.

(42)

Теорема 5. Если отрезок интегрирования разбит на части, то определённый интеграл по всему отрезку равен сумме определённых интегралов по его частям, т.е. если

то

(43)

Теорема 6. При перестановке пределов интегрирования абсолютная величина определённого интеграла не меняется, а изменяется лишь его знак, т.е.

(44)

Теорема 7 (теорема о среднем). Определённый интеграл равен произведению длины отрезка интегрирования на значение подынтегральной функции в некоторой точке внутри его, т.е.

(45)

Теорема 8. Если верхний предел интегрирования больше нижнего и подынтегральная функция неотрицательна (положительна), то и определённый интеграл неотрицателен (положителен), т.е. если

Теорема 9. Если верхний предел интегрирования больше нижнего и функции и непрерывны, то неравенство

можно почленно интегрировать, т.е.

 

Приложения интегрального исчисления

Вычисление площадей

F - площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями y = 0, x = a, x = b и y = f (x), где f (x) - непрерывная, положительная функция, выраженная формулой

Приведем два примера применения этой формулы.

Пример 1. Так как уравнение окружности (см. Рис. 1) с центром в начале координат и радиусом R есть

x ² + y ² = R ²,

то уравнение верхней полуокружности имеет вид

Поэтому площадь заштрихованного на чертеже полукруга равна

Полагая x = R sin t, приводим этот интеграл к виду

Поэтому площадь всего круга равна πR ².

Определения и понятия теории дифференциальных уравнений.

Эта статья является отправной точкой в изучении теории дифференциальных уравнений. Здесь собраны основные определения и понятия, которые будут постоянно фигурировать в тексте. Для лучшего усвоения и понимания определения снабжены примерами.

Дифференциальное уравнение (ДУ) – это уравнение, в которое входит неизвестная функция под знаком производной или дифференциала.

Если неизвестная функция является функцией одной переменной, то дифференциальное уравнение называют обыкновенным (сокращенно ОДУ – обыкновенное дифференциальное уравнение). Если же неизвестная функция есть функция многих переменных, то дифференциальное уравнение называют уравнением в частных производных.

Максимальный порядок производной неизвестной функции, входящей в дифференциальное уравнение, называется порядком дифференциального уравнения.

Вот примеры ОДУ первого, второго и пятого порядков соответственно

В качестве примеров уравнений в частных производных второго порядка приведем

Далее мы будем рассматривать только обыкновенные дифференциальные уравнения n-ого порядка вида или , где Ф(x, y) = 0 неизвестная функция, заданная неявно (когда возможно, будем ее записывать в явном представлении y = f(x)).

Процесс нахождения решений дифференциального уравнения называется интегрированием дифференциального уравнения.

Решение дифференциального уравнения - это неявно заданная функция Ф(x, y) = 0 (в некоторых случаях функцию y можно выразить через аргумент x явно), которая обращает дифференциальное уравнение в тождество.

ОБРАТИТЕ ВНИМАНИЕ.

Решение дифференциального уравнения всегда ищется на заранее заданном интервале X.

Почему мы об этом говорим отдельно? Да потому что в условиях многих задач об интервале X не упоминают. То есть, обычно условие задач формулируется так: «найдите решение обыкновенного дифференциального уравнения ». В этом случае подразумевается, что решение следует искать для всех x, при которых и искомая функция y, и исходное уравнение имеют смысл.

Решение дифференциального уравнения часто называют интегралом дифференциального уравнения.

Функции или можно назвать решением дифференциального уравнения .

Одним из решений дифференциального уравнения является функция . Действительно, подставив эту функцию в исходное уравнение, получим тождество . Несложно заметить, что другим решением этого ОДУ является, например, . Таким образом, дифференциальные уравнения могут иметь множество решений.

Общее решение дифференциального уравнения – это множество решений, содержащее все без исключения решения этого дифференциального уравнения.

Общее решение дифференциального уравнения еще называют общим интегралом дифференциального уравнения.

Вернемся к примеру. Общее решение дифференциального уравнения имеет вид или , где C – произвольная постоянная. Выше мы указали два решения этого ОДУ, которые получаются из общего интеграла дифференциального уравнения при подстановке С = 0 и C = 1 соответственно.

Если решение дифференциального уравнения удовлетворяет изначально заданным дополнительным условиям, то его называют частным решением дифференциального уравнения.

Формула полной вероятности

Пусть некоторое событие может произойти вместе с одним из несовместных событий, составляющих полную группу событий. Пусть известны вероятности этих событий и условные вероятности наступления события при наступлении события.

Теорема. Вероятность события, которое может произойти вместе с одним из событий, равна сумме парных произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующие им условные вероятности наступления события.

Фактически эта формула полной вероятности уже использовалась при решении примеров, приведенных выше, например, в задаче с револьвером.

Доказательство. Т.к. события образуют полную группу событий, то событие можно представить в виде следующей суммы:

Т.к. события несовместны, то и события тоже несовместны. Тогда можно применить теорему о сложении вероятностей несовместных событий:

При этом

Окончательно получаем: Теорема доказана.

Пример. Один из трех стрелков производит два выстрела. Вероятность попадания в цель при одном выстреле для первого стрелка равна, для второго -, для третьего -. Найти вероятность того, что в цель попадут два раза.

Вероятность того, что выстрелы производит первый, второй или третий стрелок равна.

Вероятности того, что один из стрелков, производящих выстрелы, два раза попадает в цель, равны:

- для первого стрелка:

- для второго стрелка:

- для третьего стрелка:

Искомая вероятность равна:

§6. Теоремы сложения и умножения вероятностей

Суммой двух событий и называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного из событий или.

Теорема сложения вероятностей.

Вероятность суммы двух несовместимых событий равна сумме вероятностей этих событий:

В случае, когда события и совместны, вер-ть их суммы выражается формулой

Где - произведение событий и.

Два события называются зависимыми, если вероятность одного из них зависит от наступления или не наступления другого. в случае зависимых событий вводится понятие условной вероятности события.

Условной вероятностью события называется вероятность события, вычисленная при условии, что событие произошло. Аналогично через обозначается условная вероятность события при условии, что событие наступило.

Произведением двух событий и называется событие, состоящее в совместном появлении события и события.