Определение и вычисление определенного интеграла

Рассмотрим функцию f (x), определенную на промежутке [ a, b ]. Разо-бьем промежуток на п произвольных частей точками

и обозначим

.

На каждом промежутке возьмем произвольную точку x _i и вычислим в ней значение функции f(x). Выражение

называется интегральной суммой функции f (x). Если при существует и конечен предел , не зависящий ни от способа разбиения промежутка [ а, b ] точками , ни от выбора точек , то этот предел называют определенным интегралом от функции f (x) по промежутку [ a, b ], a саму функцию - интегрируемой на [ a, b ]. Обозначают

Из приведенного определения естественно следует геометрический смысл определенного интеграла: если f (x) > 0, то равен площади фигуры, ограниченной графиком функции, осью абсцисс и прямыми x = a, x = b.

Порядок выполнения работы

Задание1. Вычислить значение интеграла от линейной функции, определить площадь соответствующей фигуры, записать выражения для инте-гральных сумм (при разбиении отрезка интегрирования на N равных частей длины ), найти пределы интегральных сумм и по-строить графики зависимости интегральных сумм от N и от D.

f (x):=2 х + 1 а:= 1 b:= 5

Указание. Для того чтобы вычислить определенный интеграл, щелкните в панели по кнопке и введите с клавиатуры в помеченных позициях пре-делы интегрирования, подынтегральную функцию и переменную интегрирования;

выделите выражение, щелкните по кнопке в панели , а затем по ра-бочему документу вне выделяющей рамки. Вычисленное значение интеграла будет отображено в рабочем документе справа от стрелки. Постройте график функции. Геометрическая фигура, ограниченная графиком функции, осью абсцисс и прямы-ми x = а, x = b, трапеция. Вычислите площадь трапеции и сравните со значением интеграла. Разбейте отрезок [ a, b ] на N равных частей и определите три интеграль-ные суммы как функции N, различающиеся способом выбора точки на отрезке : SI (N) для , Sr (N) для и Sm (N) для . Чтобы определить соответствующую интегральную сумму, введите с клавиатуры ее имя и знак присваивания; щелкните по кнопке в панели и введите в помеченных позициях индекс суммирования, его начальное и конечное значения и выражение для вычисления слагаемого. Чтобы найти предел интегральной суммы при , щелкните по кнопке в панели , введите в помеченных позициях N, бесконечность

и имя соответствующей интегральной суммы, выделите выражение предела, щелкните по кнопке в панели и по рабочему документу вне выделяющей рамки. Сравните значения полученных пределов между собой и со значением интеграла. В приведенном фрагменте построены два графика интегральных сумм. Левый гра-фик изображение зависимости интегральных сумм от N. На графике видно, что при любом значении N интегральная сумма Sm (N) равна значению интеграла, а ин-тегральные суммы SI (N) и Sr (N) стремятся к нему с ростом N, монотонно возрастая и убывая соответственно. На правом графике изображена зависимость значений интегральных сумм от длины отрезка разбиения .

Видно, что, когда длина отрезка разбиения стремится к нулю, значения интеграль-ных сумм стремятся к точному значению определенного интеграла.

Ниже приведен фрагмент рабочего документа Mathcad

Значения подынтегральной функции вычисляются в левых концах отрезков

Значения подынтегральной функции вычисляются в правых концах отрезков

Значения подынтегральной функции вычисляются в серединах отрезков

Задание 2. Для заданной функции исследуйте поведение интегральных сумм на заданном отрезке интегрирования, разбивая отрезок интегрирования на равные части. Вычислите определенный интеграл и сравните его значение со значениями пределов интегральных сумм.

Порядок выполнения задания

1. Установите автоматический режим вычислений и режим отображения результатов по горизонтали.

2. Определите подынтегральную функцию как функцию переменной х и постройте ее график.

3. Вычислите определенный интеграл.

4. Запишите выражение для интегральной суммы, полученной при разбиении отрезка интегрирования на равные части, когда значение функции вычисляется в левом конце отрезка разбиения. Найдите ее предел при числе отрезков разбиения, стремящемся к бесконечности.

5. Запишите выражение для интегральной суммы, полученной при разбиении отрезка интегрирования на равные части, когда значение функции вычисляется в правом конце отрезка разбиения. Найдите ее предел при числе отрезков разбиения, стремящемся к бесконечности.

6. Запишите выражение для интегральной суммы, полученной при разбиении отрезка интегрирования на равные части, когда значение функции вычисляется в середине отрезка разбиения. Найдите ее предел при числе отрезков разбиения, стремящемся к бесконечности.

7. Сравните полученные значения пределов между собой и со значением интеграла.

8. Постройте графики интегральных сумм как функций числа разбиений отрезка интегрирования.

9. Постройте графики интегральных сумм как функций длины отрезка разбиений.

Выполните индивидуальные задания приведенные ниже. Подготовьте отчет по лабораторной работе в виде экранного документа.

Индивидуальное задание к лабораторной работе 10.

Вычислить определенный интеграл непосредственно и с помощью замены переменных.

	f(x)	[a, b]			f(x)	[a, b]
		[0, 16]				[0,4 ]
		[0, 1]				[0,2 ]
		[0, 5]				[0, ]
		[3, 5]				[6, 9]
		[0, ]				[8, 12]
		[0, ]				[6, 10]
		[0, 4]				[0, 3]
		[0, 2]				[1, 64]
		[0, 4]				[0, 3]
		[0, 5]				[0, 1]

Содержание отчета

1. Титульный лист.

2. Решение всех задач с комментариями.

Контрольные вопросы

13. Перечислите основные возможности символьной математики.

14. Каким образом можно задать упрощение выражения?

15. Каким образом можно получить значение числа π с точностью 25 знаков после запятой?

16. Каким образом можно выполнить разложение по степеням переменной?

17. Каким образом можно найти неопределеный интеграл от выражения?

18. Каким образом можно решить уравнение?

Литература:

11. Информатика: Базовый курс. Учебник под редакцией С.В.Симановича.

12. Половко А.М., Ганичев И.В. MathCad для студента. – Спб.: БХВ-Петербург, 2006. -336 с.: ил.

13. Ю.Ю.Тарасевич Численные методы на MathCad. – Астраханский гос. Пед. Ун-т: Астрахань,2000.

14. Могилёв, А. В., и др. Информатика: Учеб. Пособие Под. Ред. Хеннера Е. К. М.: Изд. Центр “Академия”,2000. -816с.

15. Ушаков А. Н., Ушакова Н. Ю. Секреты для инженерных и научных расчетов. – Оренбург: ОГУ, 2001. - №--с.

Лабораторная работа №16

Расчёты с помощью математической системы MathCAD.

Цель работы: Освоить программирование в MathCad'е.

Начальные сведения:

Все элементы программирования находятся на рабочей панели Programming (Программирование):

Всего их десять:

1. AddLine – добавляет специальный программный блок, или добавляет еще одну линию в уже существующем программном блоке (рис 1.).

Рис. 1. Простейший программный блок.

2. ← - оператор присваивания (используется вместо ”:=” в программном блоке). Например, если требуется присвоить переменной N значение 10, то в программном блоке эта запись будет выглядеть следующим образом: N←10 (см. рис. 2).

Рис. 2. Использование оператора присваивания в программном блоке.

3. If (если) – оператор условия, используется для проверки некого условия и в зависимости от результата выполняет или не выполняет заданное действие (рис 3).

Рис. 3. Использование оператора условия If.

4. Otherwise (в противном случае) – оператор, который используется совместно с оператором If в случае, когда требуется выполнить действие при условии что выражение указанное в операторе If не является истинным. (рис. 4).

Рис. 4. Использование оператора Otherwise совместно с оператором If.

 

5. For – оператор цикла с переменной. Цикл продолжается до тех пор, пока значение переменной находится в заданном диапазоне значений. На каждом шаге цикла значение переменной автоматически увеличивается (или уменьшается, в зависимости от того, как указан диапазон изменения переменной) (см. рис 5).

Рис. 5. Примеры использования оператора For.

6. While – оператор цикла с условием. Цикл продолжается до тех пор, пока условие, указанное в операторе While истинно. (рис. 6).

Рис. 6. Примеры использования оператора While.

7. Break – оператор прерывания цикла. Если это оператор выполнится в теле цикла, то произойдет моментальное его завершение, операторы, которые находятся ниже Break, выполнены не будут (рис. 7).

Рис. 7. Пример использования оператора Break

8. Continue – оператор перехода к следующему шагу цикла. Если это оператор выполнится в теле цикла, то произойдет переход к следующему его шагу, операторы, которые находятся ниже Continue, выполнены не будут (рис. 8).

Рис. 8. Пример использования оператора Continue

 

9. Return – оператор возврата значения. Если это оператор выполнится в программе, то произойдет выход из программы, а также передача значения, указанного в Return, операторы, которые находятся ниже Return, выполнены не будут (рис. 9).

Рис. 9. Пример использования операторов Return и On Error

10. On Error – оператор обработки события возникновения ошибки. Работает аналогично оператору If. Если в выражении, которое записано справа от оператора On Error, возникает ошибка, то выполняется действие, записанное слева от оператора On Error. Пример обработки ошибки «Деление на ноль» представлен на рисунке 9.

 

Создайте новый документ MathCAD и выполните следующие задания:

 

Задание 1.

Используя программный блок, напишите функцию, которая будет возвращать значение вида: “This number is negative”, в случае, если переданное ей число отрицательное, и “This number is positive”, если число положительное. Если переданное в качестве параметра функции число равно нулю, то функция должна вернуть значение “This number is NULL”

Задание 2.

Используя программный блок, напишите функцию нахождения максимального числа из трех заданных.

Задание 3.

Используя программный блок, напишите функцию вычисления факториала по приведенному ниже алгоритму:

Задание 4.

Используя программный блок и приведенный ниже пример, напишите функцию работы с матрицами согласно вашему варианту.

Пример функции транспонирования матрицы:

ВАРИАНТЫ ДЛЯ ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ:

ВАРИАНТ	ЗАДАНИЕ
	Написать функцию подсчета количества положительных элементов матрице
	Написать функцию подсчета произведения отрицательных элементов матрицы
	Написать функцию подсчета суммы всех элементов матрицы
	Написать функцию подсчета суммы элементов, находящихся над главной диагональю матрицы
	Написать функцию подсчета произведения всех элементов, находящихся под главной диагональю матрицы
	Написать функцию подсчета нулевых элементов матрицы
	Написать функцию подсчета всех отрицательных элементов, находящихся на главной диагонали матрицы
	Написать функцию подсчета всех положительных элементов, находящихся на вспомогательной диагонали матрицы
	Написать функцию подсчета суммы всех элементов, находящихся под вспомогательной диагональю матрицы

 

	Написать функцию подсчета произведения не нулевых элементов, находящихся над вспомогательной диагональю матрицы
	Написать функцию замены нулевых элементов матрицы заданным значением
12	Написать функцию замены всех отрицательных элементов матрицы их абсолютным значением
	Написать функцию деления всех элементов, расположенных на вспомогательной диагонали матрицы, на 5
	Написать функцию преобразования всех отрицательных элементов матрицы в положительные, а положительных в отрицательные
	Написать функцию увеличения всех четных элементов матрицы на 1
	Написать функцию увеличения всех нечетных элементов матрицы на 1
	Написать функцию замены всех элементов четных столбцов матрицы нулями
	Написать функцию замены всех элементов нечетных столбцов матрицы заданным значением
	Написать функцию замены всех положительных элементов четных строк заданным значением
	Написать функцию замены всех нечетных элементов нечетных строк матрицы нулями
	Написать функцию подсчета суммы всех элементов четных столбцов матрицы
	Написать функцию подсчета произведения всех не нулевых элементов нечетных столбцов матрицы
	Написать функцию подсчета суммы отрицательных элементов в четных строках матрицы
	Написать функцию формирования матрицы из исходной, путем вычеркивания из неё нечетных столбцов
	Написать функцию формирования матрицы из исходной, путем вычеркивания из неё четных строк
	Написать функцию формирования матрицы из исходной, путем вычеркивания из неё заданного столбца
	Написать функцию формирования матрицы из исходной, путем замены заданной строки на заданный вектор столбец
	Написать функцию формирования матрицы из исходной, путем замены заданного столбца на заданный вектор столбец

Примечание:

1. Исходная матрица всегда квадратная
2. Mod(x,y) – функция, вычисляющая остаток от деления x на y