Вычислить криволинейный интеграл I рода по дуге L.

Кафедра «Высшая математика»

 

 

Криволинейные интегралы

 

Методические указания

Волгоград

УДК 517.373(075)

 

Рецензент:

старший преподаватель кафедры «Прикладная математика» Н.И. Кольцова

 

 

Печатается по решению редакционно-издательского совета

Волгоградского государственного технического университета

 

 

Криволинейные интегралы: метод. указания / сост. М.И.Андреева,

О.Е. Григорьева; ВолгГТУ. – Волгоград, 2011. – 26 с.

 

Методические указания являются руководством к выполнению индивидуальных заданий по теме «Криволинейные интегралы и их приложения к теории поля».

В первой части методических указаний содержится необходимый теоретический материал для выполнения индивидуальных заданий.

Во второй части рассмотрены примеры выполнения всех типов заданий, включенных в индивидуальные задания по теме, что способствует лучшей организации самостоятельной работы студентов и успешному усвоению темы.

Методические указания предназначены для студентов первого и второго курсов.

 

© Волгоградский государственный

технический университет, 2011

 

1. КРИВОЛИНЕЙНЫЙ ИНТЕГРАЛ 1 РОДА

 

Определение криволинейного интеграла 1 рода

Пусть È АВ – дуга плоской или пространственной кусочно-гладкой кривой L, f (P) – заданная на этой дуге непрерывная функция, А ₀ = А, А ₁, А ₂, …, А_{n – 1}, А_n = B – произвольное разбиение дуги АВ и P_i – произвольные точки на частичных дугах È А_{i – 1} A_i, длины которых D l_i (i = 1, 2, …, n). Тогда существует предел последовательности интегральных сумм

при n ® ¥ и max D l_i ® 0, который не зависит ни от способа разбиения дуги È АВ точками A_i, ни от выбора точек P_i на частичных дугах È А_{i – 1} A_i (i = 1, 2, …, n). Этот предел называется криволинейным интегралом 1 рода от функции f (P) по кривой L и обозначается

или .

 

Вычисление криволинейного интеграла 1 рода

 

Вычисление криволинейного интеграла 1 рода может быть сведено к вычислению определенного интеграла при разных способах задания кривой интегрирования.

 

Параметрическое задание кривой интегрирования

 

Если дуга È АВ плоской кривой задана параметрически уравнениями где x (t) и y (t) – непрерывно дифференцируемые функции параметра t, причем x (t ₁) = x_A, x (t ₂) = x_B, то

(1.1)

где - дифференциал длины дуги кривой.

Аналогичная формула имеет место в случае параметрического задания пространственной кривой L. Если дуга È АВ кривой L задана уравнениями , и x (t), y (t), z (t) – непрерывно дифференцируемые функции параметра t, то

(1.2)

где - дифференциал длины дуги кривой.

 

Явное задание плоской кривой интегрирования

в декартовых координатах

 

Если дуга È АВ плоской кривой L задана уравнением где y (x) – непрерывно дифференцируемая функция, то

и формула для вычисления криволинейного интеграла имеет вид:

(1.3)

При задании дуги È АВ плоской кривой L в виде x = x (y), y Î [ y ₁; y ₂],
где x (y) – непрерывно дифференцируемая функция,

и криволинейный интеграл вычисляется по формуле

(1.4)

Задание кривой интегрирования полярным уравнением

 

Если плоская кривая L задана уравнением в полярной системе координат r = r (j), j Î [j₁; j₂], где r (j) – непрерывно дифференцируемая функция, то

и

(1.5)

 

Приложения криволинейного интеграла 1 рода

 

С помощью криволинейного интеграла 1 рода вычисляются: длина дуги кривой, площадь части цилиндрической поверхности, масса, статические моменты, моменты инерции и координаты центра тяжести материальной кривой с заданной линейной плотностью.

1. Длина l плоской или пространственной кривой L находится по формуле

(1.6)

2. Площадь части цилиндрической поверхности с параллельной оси OZ образующей и расположенной в плоскости XOY направляющей L, заключенной между плоскостью XOY и поверхностью, задаваемой уравнением z = f (x; y) (f (P) ³ 0 при P Î L), равна

(1.7)

3. Масса m материальной кривой L с линейной плотностью m(P) определяется формулой

(1.8)

4. Статические моменты относительно осей Ox и Oy и координаты центра тяжести плоской материальной кривой L с линейной плотностью m(x; y) соответственно равны:

(1.9)

(1.10)

5. Статические моменты относительно плоскостей Oxy, Oxz, Oyz и координаты центра тяжести пространственной материальной кривой с линейной плотностью m(x; y; z) определяются по формулам:

(1.11)

(1.12)

6. Для плоской материальной кривой L с линейной плотностью m(x; y) моменты инерции относительно осей Ox, Oy и начала координат соответственно равны:

(1.13)

7. Моменты инерции пространственной материальной кривой L с линейной плотностью m(x; y; z) относительно координатных плоскостей вычисляются по формулам

(1.14)

а моменты инерции относительно координатных осей равны:

(1.15)

 

2. КРИВОЛИНЕЙНЫЙ ИНТЕГРАЛ 2 РОДА

 

Определение криволинейного интеграла 2 рода

Пусть È АВ – дуга кусочно-гладкой ориентированной кривой L, = (a_x (P); a_y (P); a_z (P)) – заданная на этой дуге непрерывная векторная функция, А ₀ = А, А ₁, А ₂, …, А_{n – 1}, А_n = B – произвольное разбиение дуги АВ и P_i – произвольные точки на частичных дугах А_{i – 1} A_i. Пусть – вектор с координатами D x_i, D y_i, D z_i (i = 1, 2, …, n), и – скалярное произведение векторов и (i = 1, 2, …, n). Тогда существует предел последовательности интегральных сумм

при n ® ¥ и max ÷ ç ® 0, который не зависит ни от способа разбиения дуги АВ точками A_i, ни от выбора точек P_i на частичных дугах È А_{i – 1} A_i
(i = 1, 2, …, n). Этот предел называется криволинейным интегралом 2 рода от функции (P) по кривой L и обозначается

(2.1)

В случае, когда векторная функция задана на плоской кривой L, аналогично имеем:

При изменении направления интегрирования криволинейный интеграл 2 рода меняет знак.

Криволинейные интегралы первого и второго рода связаны соотношением

 

(2.2)

где – единичный вектор касательной к ориентированной кривой.

С помощью криволинейного интеграла 2 рода можно вычислять работу силы при перемещении материальной точки по дуге кривой L:

(2.3)

Положительным направлением обхода замкнутой кривой С, ограничивающей односвязную область G, считается обход против часовой стрелки.

Криволинейный интеграл 2 рода по замкнутой кривой С называется циркуляцией и обозначается

(2.4)

 

Вычисление криволинейного интеграла 2 рода

 

Вычисление криволинейного интеграла 2 рода сводится к вычислению определенного интеграла.

 

Параметрическое задание кривой интегрирования

 

Если È АВ ориентированной плоской кривой задана параметрически уравнениями , где х (t) и y (t) – непрерывно дифференцируемые функции параметра t, причем то

(2.5)

Аналогичная формула имеет место в случае параметрического задания пространственной ориентированной кривой L. Если дуга È АВ кривой L задана уравнениями , и – непрерывно дифференцируемые функции параметра t, то

(2.6)

 

Явное задание плоской кривой интегрирования

 

Если дуга È АВ плоской ориентированной кривой L задана в декартовых координатах уравнением где y (x) – непрерывно дифференцируемая функция, то

(2.7)

При задании дуги È АВ плоской ориентированной кривой L в виде
x = x (y), y Î [ y ₁; y ₂], где x (y) – непрерывно дифференцируемая функция, справедлива формула

(2.8)

Пусть функции непрерывны вместе со своими производными

в плоской замкнутой области G, ограниченной кусочно-гладкой замкнутой самонепересекающейся положительно ориентированной кривой С ⁺. Тогда имеет место формула Грина:

(2.9)

Пусть G – поверхностно-односвязная область, и

= (a_x (P); a_y (P); a_z (P))

– заданное в этой области векторное поле. Поле (P) называется потенциальным, если существует такая функция U (P), что

(P) = grad U (P),

где

.

Необходимое и достаточное условие потенциальности векторного поля (P) имеет вид:

rot (P) = , где (2.10)

(2.11)

Если векторное поле является потенциальным, то криволинейный интеграл 2 рода не зависит от кривой интегрирования, а зависит только от координат начала и конца дуги М ₀ М. Потенциал U (М) векторного поля определяется с точностью до постоянного слагаемого и находится по формуле

(2.12)

где М ₀ М – произвольная кривая, соединяющая фиксированную точку М ₀ и переменную точку М. Для упрощения вычислений в качестве пути интегрирования может быть выбрана ломаная М ₀ М ₁ М ₂ М со звеньями, параллельными координатным осям, например:

Рис. 1

Тогда

(2.13)

3. примеры выполнения заданий

Задание 1

Вычислить криволинейный интеграл I рода

где L – дуга кривой , 0 ≤ x ≤ 1.

Решение. По формуле (1.3) сведения криволинейного интеграла I рода к определенному интегралу в случае гладкой плоской явно заданной кривой:

где y = y (x), x ₀ ≤ x ≤ x ₁ – уравнение дуги L кривой интегрирования. В рассматриваемом примере Находим производную этой функции

и дифференциал длины дуги кривой L

.

Так как

,

то, подставляя в это выражение вместо y, получаем

Преобразуем криволинейный интеграл к определенному:

.

Вычисляем этот интеграл с помощью подстановки . Тогда
t ² = 1 + x, x = t ² – 1, dx = 2 t dt; при x = 0 t = 1; а x = 1 соответствует . После преобразований получаем

Задание 2

Вычислить криволинейный интеграл 1 рода по дуге L кривой L: x = cos ³ t, y = sin ³ t, .

Решение. Так как L – дуга гладкой плоской кривой, заданной в параметрическом виде, то используем формулу (1.1) сведения криволинейного интеграла 1 рода к определенному:

.

В рассматриваемом примере

Найдем дифференциал длины дуги

Найденные выражения подставляем в формулу (1.1) и вычисляем:

Задание 3

Найти массу дуги линии L с линейной плоскостью m.

L:

Решение. Масса m дуги L с плотностью m(P) вычисляется по формуле (1.8)

.

Это криволинейный интеграл 1 рода по параметрически заданной гладкой дуге кривой в пространстве, поэтому он вычисляется по формуле (1.2) сведения криволинейного интеграла 1 рода к определенному интегралу:

Найдем производные

и дифференциал длины дуги

Подставляем эти выражения в формулу для массы:

.

Задание 4

Пример 1. Вычислить криволинейный интеграл 2 рода

по дуге L кривой 4 x + y ² = 4 от точки A (1; 0) до точки B (0; 2).

Решение. Плоская дуга L задана в неявном виде. Для вычисления интеграла удобнее выразить x через y:

и находить интеграл по формуле (2.8) преобразования криволинейного интеграла 2 рода в определенный интеграл по переменной y:

где a_x (x; y) = xy – 1, a_y (x; y) = xy ².

С учетом задания кривой

По формуле (2.8) получаем

 

Пример 2. Вычислить криволинейный интеграл 2 рода

где L – ломаная ABC, A (1; 2), B (3; 2), C (2; 1).

Решение. По свойству аддитивности криволинейного интеграла

Каждый из интегралов- слагаемых вычисляем по формуле (2.7)

где a_x (x; y) = x ²+ y, a_y (x; y) = –3 xy.

 

Рис. 2

Уравнение отрезка прямой AB: y = 2, y ¢ = 0, x ₁ = 1, x ₂ = 3. Подставляя в формулу (2.7) эти выражения, получаем:

Для вычисления интеграла

составим уравнение прямой BC по формуле

где x_B, y_B, x_C, y_C – координаты точек B и С. Получаем

y – 2 = x – 3, y = x – 1, y ¢ = 1.

Подставляем полученные выражения в формулу (2.7):

Задание 5

Вычислить криволинейный интеграл 2 рода по дуге L

0 ≤ t ≤ 1.

Решение. Так как кривая интегрирования задана параметрически уравнениями x = x (t), y = y (t), t Î [ t ₁; t ₂], где x (t) и y (t) – непрерывно дифференцируемые функции t при t Î [ t ₁; t ₂], то для вычисления криволинейного интеграла второго рода используем формулу (2.5) сведения криволинейного интеграла к определенному для плоской параметрически заданной кривой

.

В рассматриваемом примере a_x (x; y) = y; a_y (x; y) = –2 x.

C учетом задания кривой L получаем:

Подставляем найденные выражения в формулу (2.5) и вычисляем определенный интеграл:

Задание 6

Пример 1. Вычислить криволинейный интеграл 2 рода по замкнутому контуру C ⁺ где С: y ² = 2 x, y = x – 4.

Решение. Обозначение C ⁺ указывает, что обход контура осуществляется в положительном направлении, то есть против часовой стрелки.

Проверим, что для решения задачи можно использовать формулу Грина (2.9)

Так как функции a_x (x; y) = 2 y – x ²; a_y (x; y) = 3 x + y и их частные производные непрерывны в плоской замкнутой области G, ограниченной контуром C, тоформула Грина применима.

.

Для вычисления двойного интеграла изобразим область G, предварительно определив точки пересечения дуг кривых y ² = 2 x и
y = x – 4, составляющих контур C.

Точки пересечения найдем, решив систему уравнений:

Второе уравнение системы равносильно уравнению x ² – 10 x + 16 = 0, откуда x ₁ = 2, x ₂ = 8, y ₁ = –2, y ₂ = 4.

Итак, точки пересечения кривых: A (2; –2), B (8; 4).

Рис. 3

Так как область G – правильная в направлении оси Ox, то для сведения двойного интеграла к повторному спроектируем область G на ось OY и воспользуемся формулой

.

Так как a = –2, b = 4, x ₂(y) = 4+ y, то

 

Пример 2. Вычислить криволинейный интеграл 2 рода по замкнутому контуру где С – контур треугольника с вершинами A (0; 0), B (1; 2), C (3; 1).

Решение. Обозначение означает, что контур треугольника обходится по часовой стрелке. В случае, когда криволинейный интеграл берется по замкнутому контуру , формула Грина принимает вид

Изобразим область G, ограниченную заданным контуром.

Рис. 4

Функции и частные производные и непрерывны в области G, поэтому можно применить формулу Грина. Тогда

Область G не является правильной в направлении какой-либо из осей. Проведем отрезок прямой x = 1 и представим G в виде G = G ₁ È G ₂, где G ₁ и G ₂ области, правильные в направлении оси Oy.

Тогда

Для сведения каждого из двойных интегралов по G ₁ и G ₂ к повторному будем использовать формулу

где [ a; b ] – проекция области D на ось Ox,

y = y ₁(x) – уравнение нижней ограничивающей кривой,

y = y ₂(x) – уравнение верхней ограничивающей кривой.

Запишем уравнения границ области G ₁ и найдем

AB: y = 2 x, 0 ≤ x ≤ 1; AD: , 0 ≤ x ≤ 1.

Составим уравнение границы BC области G ₂, используя формулу

BC: где 1 ≤ x ≤ 3.

DC: 1 ≤ x ≤ 3.

Тогда

Итак,

Задание 7

Пример 1. Найти работу силы при перемещении материальной точки вдоль линии L: y = x ³ от точки M (0; 0) к точке N (1; 1).

Решение. Работу переменной силы при перемещении материальной точки по дуге кривой L определяем по формуле (2.3) (как криволинейный интеграл второго рода от функции по кривой L) .

Так как векторная функция задана уравнением и дуга плоской ориентированной кривой определена явно уравнением y = y (x), x Î [ x ₁; x ₂], где y (x) непрерывно дифференцируемая функция, то по формуле (2.7)

.

В рассматриваемом примере y = x ³, , x ₁ = x_M = 0, x ₂ = x_N = 1. Поэтому

 

Пример 2. Найти работу силы при перемещении материальной точки вдоль линии L: x ² + y ² = 4 от точки M (0; 2) к точке N (–2; 0).

Решение. Используя формулу (2.3), получаем

.

Рис. 5

В рассматриваемом примере дуга кривой L (È MN) – это четверть окружности, задаваемой каноническим уравнением x ² + y ² = 4.

Для вычисления криволинейного интеграла второго рода удобнее перейти к параметрическому заданию окружности: x = R cos t, y = R sin t и воспользоваться формулой (2.5)

.

Так как x = 2cos t, y = 2sin t, , , получаем

Задание 8

Пример 1. Вычислить модуль циркуляции векторного поля вдоль контура Г:

Решение. Для вычисления циркуляции векторного поля вдоль замкнутого контура Г воспользуемся формулой (2.4)

Так как задано пространственное векторное поле и пространственный замкнутый контур Г, то переходя от векторной формы записи криволинейного интеграла к координатной форме, получаем

.

Кривая Г задана как пересечение двух поверхностей: гиперболического параболоида z = x ² – y ² + 2 и цилиндра x ² + y ² = 1. Для вычисления криволинейного интеграла удобно перейти к параметрическим уравнениям кривой Г.

Уравнение цилиндрической поверхности можно записать в виде:
x = cos t, y = sin t, z = z. Выражение для z в параметрических уравнениях кривой получается подстановкой x = cos t, y = sin t в уравнение гиперболического параболоида z = 2 + cos² t – sin² t = 2 + cos 2 t. Итак, Г: x = cos t,
y = sin t, z = 2 + cos 2 t, 0 ≤ t ≤ 2p.

Так как входящие в параметрические уравнения кривой Г функции
x (t) = cos t, y (t) = sin t, z (t) = 2 + cos 2 t являются непрерывно дифференцируемыми функциями параметра t при t Î [0; 2p], то криволинейный интеграл находим по формуле (2.6)

Учитывая, что , , , а также тригонометрические формулы sin 2 t = 2sin t cos t, получаем

так как cos 4p = cos 0 = 1, sin 8p = sin 0 = 0.

 

Пример 2. Вычислить модуль циркуляции векторного поля вдоль контура

Решение. Если одна из поверхностей, при пересечении которых образуется замкнутый контур Г, представляет собой плоскость, параллельную одной из координатных плоскостей, то циркуляцию удобно находить, используя формулу Стокса:

где S – часть двухсторонней поверхности, ограниченной замкнутым контуром Г, – единичный вектор нормали к поверхности S, и выбор стороны поверхности и направление обхода контура Г согласованы.

Находим ротор векторного поля по формуле (2.11):

В качестве S выбираем верхнюю сторону плоскости z = 1. Тогда и скалярное произведение

.

По формуле Стокса получаем

где S – площадь части поверхности S, ограниченной контуром Г. Кривая Г задана как пересечение поверхности эллиптического параболоида и плоскости z = 1, то есть представляет собой эллипс, расположенный в плоскости z = 1 и задаваемый уравнениями

Как известно, площадь эллипса, задаваемого каноническим уравнением вычисляется по формуле S = p ab. Поэтому

.

Задание 9

Доказать, что векторное поле потенциально. Найти потенциал поля.

Решение. Докажем, что векторное поле потенциально, используя необходимое и достаточное условие потенциальности векторного поля (2.10)

Найдем по формуле (2.11)

.

Так как , то

Заданное векторное поле потенциально.

Находим потенциал поля по формуле (2.13)

Выбор точки M ₀(x ₀; y ₀; z ₀) определяется двумя условиями:

1) в точке M ₀ векторное поле должно быть определено;

2) интегралы, входящие в формулу (2.13) должны максимально упрощаться.

В данном случае выбираем в качестве M ₀ начало координат.

 

 

3. примеры выполнения заданий

Задание 1

Вычислить криволинейный интеграл I рода

где L – дуга кривой , 0 ≤ x ≤ 1.

Решение. По формуле сведения криволинейного интеграла I рода к определенному интегралу в случае плоской явно заданной кривой (1.3) имеем:

где y = y (x), x ₀ ≤ x ≤ x ₁ – уравнение дуги L кривой интегрирования. В нашем рассматриваемом примере Находим производную этой функции

и дифференциал кривой L

.

Так как

,

то, подставляя в это выражение вместо y, получаем

и преобразуем криволинейный интеграл к определенному:

.

Вычисляем этот интеграл с помощью подстановки . Тогда
t ² = 1 + x, x = t ² – 1, dx = 2 t dt; при x = 0 соответствует t = 2; а x = 1 соответствует . После преобразований получаем

Задание 2

Вычислить криволинейный интеграл 1 рода по дуге L кривой x = cos ³ t, y = sin ³ t, .

Решение. Так как L – дуга плоской кривой, заданной в параметрическом виде, то используем формулу (1.1) сведения криволинейного интеграла 1 рода к определенному:

.

Здесь

Найдем дифференциал длины дуги

Найденные выражения подставляем в данный интеграл и вычисляем:

Задание 3

Найти массу дуги линии L линейной плоскостью m.

L:

Решение. Масса М дуги L с плотностью z вычисляется по формуле (1.8)

.

В этом задании m = z, поэтому

.

Это криволинейный интеграл 1 рода по параметрически заданной дуге в пространстве, поэтому он вычисляется по формуле (1.2) сведения криволинейного интеграла 1 рода к определенному интегралу:

Найдем производные

и дифференциал длины дуги

Подставим эти выражения в формулу для массы:

.

Задание 4

Пример 1. Вычислить криволинейный интеграл 2 рода

по дуге L кривой 4 x + y ² = 4 от точки A (1, 0) до точки B (0, 2).

Решение. Плоская дуга L задана в неявном виде. Для вычисления интеграла удобнее выразить x через y:

и вычислять по формуле (2.8) преобразования криволинейного интеграла 2 рода в определенный интеграл по переменной y:

где a_x (x, y) = xy – 1, a_y (x, y) = xy ².

Теперь запишем