Интегрирование заменой переменной

Рассмотрим функцию f (x), определенную на промежутке* (а, b). Дифференцируемая на промежутке (а, b) функция F (x), производная которой в каждой точке (а, b) равна f (x), называется первообразной функции f (x), если:

F '(x) = f (x).

Поскольку (F (x) + С)' = F '(x) = f (x) для любой постоянной С, то можно говорить о семействе первообразных множестве функций вида F (x) + C которое называется неопределенным интегралом функции f (x) и обозначается символом :

где - знак интеграла; f (x) dx подынтегральное выражение;

f (x) подынтегральная функция; х переменная интегрирования; F(x) + С значение неопределенного интеграла, т.е. семейство пер-вообразных функции f{x):

Порядок выполнения работы

1). Вычислите неопределенный интеграл и проверьте правильность вычи-слений; постройте графики семейств первообразных.

Указание:

1. Установите автоматический режим вычислений и режим ото-бражения результатов вычислений по горизонтали.

2. Определите подынтегральную функцию как функцию пере-менной х.

3. Найдите первообразную, используя символьную математику пакета.

4. Определите первообразную как функцию переменной.

5. Найдите производную первообразной, используя символьную математику пакета.

6. Упростите производную от первообразной, сравните резуль-тат с подынтегральной функцией.

7. Постройте на одном графике изображения нескольких перво-образных.

Указание. Для того, чтобы вычислить неопределенный интеграл, щелкните по кнопке в панели , введите с клавиатуры в помеченных позициях по-дынтегральную функцию и переменную интегрирования, выделите все выражение рамкой, затем щелкните по кнопке в панели . Первообразная, в которой по умолчанию значение произвольной константы равно нулю, будет отображена справа от стрелки. Скопируйте вычисленное выражение и присвойте его функции переменной х (в приведенном фрагменте - это F (x)). Для того чтобы проверить первообразную, вычислите ее производную. Для этого скопируйте в буфер обмена* выражение первообразной, щелкните по кнопке дифференцирования , вставьте из буфера обмена** выражение первообразной, введите с клавиатуры переменную дифференцирования и дальше действуйте так же, как при символьном вычислении первообразной. Построить графики семейства первообразных можно, щелкнув по кнопке в панели . Далее следует ввести в помеченной позиции возле оси ординат, разделяя запятой, выражения для первообразных с различными значени-ями константы (в приведенном фрагменте это F (x) 5, 10, 15) и щелкнуть по рабочему документу вне поля графиков.

Ниже приведен фрагмент рабочего документа Mathcad

Если j(t) непрерывно дифференцируемая функция, то, полагая x= j(t), получим формулу интегрирования заменой переменной:

.

Задание. Вычислите неопределенный интеграл заменой переменных.

Указание.

1. Для того чтобы выполнить в неопределенном интеграле замену переменной х новой переменной , введите в рабочий документ и разрешите его относительно переменной х (выделите х, щелкните по строке Solve в пункте Variable меню Symbolics), затем продифференцируйте полученное выражение по t (т.е найдем d x).

2. Скопируйте в рабочий документ подынтегральную функцию переменной х, скопируйте в буфер обмена выражение для х и выполните замену (выделите х, щелкните по строке Substitute в пункте Variable меню Symbolics).

3. Вычислите неопределенный интеграл по t, действуя как описано выше.

4. Выполните обратную подстановку (замените переменную t ее выражением через х).

5. Упростите выражение (разложите на множители), используя меню символьных операций Symbolics, пункт Factor.

6. Проведите проверку полученных результатов. Продифференцируйте полученное выражение по x и упростите.

* Здесь возможно а = - бесконечность, b = + бесконечность

* Выделите выражение, щелкнув вблизи него по полю и растянув пунктирный прямоугольник, и выберите в меню Edit пункт Copy либо нажмите комбинацию клавиш <Ctrl>+<C>.

** Выберите в меню Edit пункт Insert либо нажмите комбинацию клавиш <Ctrl>+<V>.

Выполните индивидуальные задания приведенные ниже. Подготовьте отчет по лабораторной работе в виде экранного документа.

Индивидуальны задания к лабораторной работе 9.

Вычислите неопределенный интеграл и проверьте правильность вычислений, постройте графики семейства первообразных.

	f(x)		f(x)

 

Содержание отчета

1. Титульный лист.

2. Решение всех задач с комментариями.

Контрольные вопросы

7. Перечислите основные возможности символьной математики.

8. Каким образом можно задать упрощение выражения?

9. Каким образом можно получить значение числа π с точностью 25 знаков после запятой?

10. Каким образом можно выполнить разложение по степеням переменной?

11. Каким образом можно найти неопределеный интеграл от выражения?

12. Каким образом можно решить уравнение?

Литература:

6. Информатика: Базовый курс. Учебник под редакцией С.В.Симановича.

7. Половко А.М., Ганичев И.В. MathCad для студента. – Спб.: БХВ-Петербург, 2006. -336 с.: ил.

8. Ю.Ю.Тарасевич Численные методы на MathCad. – Астраханский гос. Пед. Ун-т: Астрахань,2000.

9. Могилёв, А. В., и др. Информатика: Учеб. Пособие Под. Ред. Хеннера Е. К. М.: Изд. Центр “Академия”,2000. -816с.

10. Ушаков А. Н., Ушакова Н. Ю. Секреты для инженерных и научных расчетов. – Оренбург: ОГУ, 2001. - №--с.

Лабораторная работа 15

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ