Разветвляющийся вычислительный процесс»

Цель работы: Познакомить читателя со встроенными возможностями пакета MathCAD для линейного программирования, а также для разветвляющегося вычислительного процесса.

Рекомендуемая литература: [1–4, 7].

Задание:

1. Написать линейную программу для вычисления заданных параметров.

2. Написать программу с разветвляющимся вычислительным процессом, для вычисления функции с условием.

Пример выполнения задания:

Задание:

Линейный вычислительный процесс	Разветвляющийся вычислительный процесс
Вычислить площадь треугольника, если заданы его стороны а=3.24, b=4.23, с=2.51	, , иначе

1. Для программирования в MathCAD имеется панель инструментов «Программирование»:

Рассмотрим имеющиеся на ней функции.

– Add Line – создает и при необходимости удлиняет жирную вертикальную линию, с право от которой записывается программный блок;

– – символ присваивания. Например: x 12 означает что переменной x присваивается значение 12;

– if – условный оператор, записывается как: Выражение if условие, т.е. Выражение выполняется, если условие выполнено;

– otherwise – инструкция «иначе» (в противном случае), обычно используется с оператором if, когда необходимо вернуть значение при невыполнении условия оператора if;

– for – оператор цикла со счетчиком. Например: for счетчик Î N1.. N2;

– while – оператор цикла с условием. Например: while условие;

– break – инструкция прерывания;

– continue – инструкция продолжения, позволяет вернуться в точку прерывания;

– return – инструкция возврата, возвращает значение оператора, указанного после нее;

 

– on error – инструкция обработки ошибок, позволяет обрабатывать ошибки, например: Выражение_1 on error Выражение 2, если Выражение_1 содержит ошибку выполняется Выражение_2.

Линейной программой называется вычислительный процесс, в котором все действия выполняются последовательно один за другим.

При написании линейной программы никаких особых возможностей MathCAD не требуется.

Для нашей задачи воспользуемся формулой Герона для нахождения площади:

,

где

.

При написании линейных вычислений важно соблюдать порядок действий.

Сначала зададим стороны:

а:=3.24 b:=4.23 с:=2.51

Прежде чем вычислять сумму, сначала необходимо найти полупериметр:

а затем площадь:

После того как все формулы введены, можно посмотреть результат, для этого наберем:

S=

и получим:

2. Воспользовавшись вышеуказанными операторами, сформируем функцию Z(x,y). Для этого набираем «Z(x,y):=» и выбираем инструкцию Add Line:

в верхнее поле ввода помещаем условный оператор if:

Заполняя поля условного оператора, получим:

Обращаем ваше внимание на то, что скобки в условном операторе обязательны.

У нас остались значения, которые принимает функция при невыполнении заданного условия. Для учета этого воспользуемся инструкцией otherwise:

Таким образом, функция Z(x,y) сформирована и мы можем посмотреть ее значения в различных точках:

 

Построим поверхность полученной функции:

 

Содержание отчета

1. Титульный лист.

2. Решение всех задач с комментариями.

Контрольные вопросы

1. Перечислите основные возможности символьной математики.

2. Каким образом можно задать упрощение выражения?

3. Каким образом можно получить значение числа π с точностью 25 знаков после запятой?

4. Каким образом можно выполнить разложение по степеням переменной?

5. Каким образом можно найти неопределеный интеграл от выражения?

6. Каким образом можно решить уравнение?

Литература:

1. Информатика: Базовый курс. Учебник под редакцией С.В.Симановича.

2. Половко А.М., Ганичев И.В. MathCad для студента. – Спб.: БХВ-Петербург, 2006. -336 с.: ил.

3. Ю.Ю.Тарасевич Численные методы на MathCad. – Астраханский гос. Пед. Ун-т: Астрахань,2000.

4. Могилёв, А. В., и др. Информатика: Учеб. Пособие Под. Ред. Хеннера Е. К. М.: Изд. Центр “Академия”,2000. -816с.

5. Ушаков А. Н., Ушакова Н. Ю. Секреты для инженерных и научных расчетов. – Оренбург: ОГУ, 2001. - №--с.

 

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 10

«Программирование в MathCAD. Циклы и подпрограммы»

Цель работы: Познакомить читателя с более серьезными возможностями программирования в системе MathCAD.

Рекомендуемая литература: [1-4, 7].

Задание:

1. С помощью циклического оператора вычислить
10 значений ряда.

2. Вычислить сумму и произведение элементов ряда, лежащих в заданном интервале.

3. Написать блок вычисления суммы ряда и, воспользовавшись им как подпрограммой, вычислить абсолютную и относительную разницу между i- частичной суммой и суммой ряда.

4. Найти разброс i- частичных сумм относительно суммы ряда.

Пример выполнения задания:

Задание:

Ряд

T0=0 [-1; 0]

1. Воспользуемся циклическим оператором for для вычисления элементов ряда. Для этого запишем «Т:=» и дважды вызовем инструкцию Add Line, получим:

где T – есть вектор элементов ряда.

В первом поле ввода поместим оператор присваивания начального значения ряда:

Во втором поле поместим оператор цикла:

В последнем поле помещаем имя возвращаемого объекта:

 

2. Вычислим сумму элементов ряда, лежащих в заданном интервале. Для этого оформим сумму элементов ряда как функцию от a и b, где a и b – границы заданного интервала.

Запишем основу для данного блока, как это делалось ранее:

Перед вычислением переменную, в которую будем насчитывать сумму ряда, необходимо обнулить:

Далее откроем цикл:

и в тело цикла вставим условный оператор:

Заканчиваем программный модуль и получаем:

Теперь мы можем вычислить сумму элементов ряда из любого интервала:

Сумму S можно вычислить иначе:

Но в таком случае мы получим только одно значение суммы элементов ряда из указанного интервала:

 

Рассмотрим вычисление произведения элементов ряда, попадающих в заданный интервал:

Ясно, что произведение элементов из интервала [-1; 0] будет нулевым за счет правого края интервала, но мы можем вычислить произведение из интервала, близкого к исходному, например [-1; -0.0001]:

3. Вычислим абсолютную и относительную разницу между i -частичной суммой и суммой ряда. Для этого оформим вычисление i- частичных сумм:

где – сумма всего ряда.

Теперь можно вычислить абсолютную и относительную разницы:

Для проверки вычислим абсолютную и относительную разницы для всей суммы:

Построим графики абсолютных и относительных разностей:

 

Отметим, что для получения графика относительной ошибки умножили результат на 100 %.

4. Вычислим разброс i- частичных сумм относительно суммы ряда. Воспользуемся для этого уже созданным программным блоком для вычисления i- частичной суммы ряда. В результате получим:

среднее квадратичное отклонение равно:

 

Содержание отчета

1. Титульный лист.

2. Решение всех задач с комментариями.

Контрольные вопросы

1. Перечислите основные возможности символьной математики.

2. Каким образом можно задать упрощение выражения?

3. Каким образом можно получить значение числа π с точностью 25 знаков после запятой?

4. Каким образом можно выполнить разложение по степеням переменной?

5. Каким образом можно найти неопределеный интеграл от выражения?

6. Каким образом можно решить уравнение?

Литература:

1. Информатика: Базовый курс. Учебник под редакцией С.В.Симановича.

2. Половко А.М., Ганичев И.В. MathCad для студента. – Спб.: БХВ-Петербург, 2006. -336 с.: ил.

3. Ю.Ю.Тарасевич Численные методы на MathCad. – Астраханский гос. Пед. Ун-т: Астрахань,2000.

4. Могилёв, А. В., и др. Информатика: Учеб. Пособие Под. Ред. Хеннера Е. К. М.: Изд. Центр “Академия”,2000. -816с.

5. Ушаков А. Н., Ушакова Н. Ю. Секреты для инженерных и научных расчетов. – Оренбург: ОГУ, 2001. - №--с.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 11

«Методы решения дифференциальных уравнений и систем»

Цель работы: Познакомить читателя со встроенными возможностями пакета MathCAD для решения дифференциальных уравнений (ДУ) и систем ДУ.

Рекомендуемая литература: [1 – 10].

Задание:

1. По заданной правой части ДУ первого порядка с разделяющимися переменными построить решение при помощи встроенных функций MathCAD.

2. Построить разностную схему для ДУ из п. 1.

3. Сравнить полученные в п. 1 и 2 решения.

4. Найти общее решение линейного неоднородного ДУ первого порядка.

5. Сделать проверку найденного в п. 4 решения.

6. Найти решение неоднородного ДУ второго порядка с заданными начальными условиями.

7. Решить систему ДУ.

Пример выполнения задания:

Задание:

ДУ с разделяющимися переменными	Неоднородное ДУ первого порядка
y (0)=1 x Î[0; 2p]	y (0)=1

 

 

Неоднородное ДУ второго порядка

y (0)=-8 y’ (0)=3

Система ДУ

x (0)=0 y (0)=1 a =-0.2

1. ДУ первого порядка с разделяющимися переменными можно представить как:

где y(x) – неизвестная функция, а функция f(x,y) – представляет собой неоднородную часть ДУ, которая здесь допускает представление f(x,y)=g(x)*h(y).

 

Для решения данного ДУ нужно задать правую часть f(x,y), начальные условия и интервал изменения x,на котором следует найти решение:

Далее записывается блок решения ДУ, который начинается командным словом Given и формируется при помощи панели инструментов «Булево»:

где Odesolve(x,x1)– встроенная функция пользователя, которая формирует решение ДУ, заданного командным блоком Given, x – переменная дифференцирования, x1 – конечное значение интервала интегрирования.

2. Для записи разностной схемы ДУ необходимо задать количество итераций N, итерационный параметр i и шаг по переменной интегрирования dx:

Наберем вектор значений переменной интегрирования и начальное значение искомого решения y 1:

.

Запишем разностную схему:

,

где вид правой части f(x,y) был задан выше.

Получаем, что разностное решение имеет вид:

.

 

3. Сравним два полученных выше решения графически:

 

Из графика следует, что при уменьшении параметра N точность полученного в п. 2 решения будет ухудшаться, а при увеличении N – улучшаться.

4. Найдем решение неоднородного ДУ первого порядка, для этого запишем его в общем виде: y’=a(x)*y+b(x) и применим к нему готовую математическую формулу, которую можно найти в любой книге, посвященной решению обыкновенных ДУ [например 6]:

, (2)

где С – константа интегрирования.

Заметим, что у нас и запишем формулу (2) в MathCAD:

Получим следующий результат:

Подставим начальное условие:

Для графика полученного решения необходимо задать интервал изменения переменной x и шаг ее изменения:

.

Теперь можно построить график:

.

5. Сделаем проверку полученного в п. 4 решения. Для этого подставим полученную функцию в исходное уравнение и воспользуемся символьной функцией simplify:

.

Как мы можем убедиться, полученный результат полностью совпадает с исходной правой частью.

6. Для решения неоднородного ДУ второго порядка, как и в п. 1, используются блок, начинающийся с командного слова Given,и встроенная функция пользователя Odesolve:

где x – аргумент функции, 6 – конечное значение аргумента, 100 – количество шагов.

Для графического представления зададим x следующим образом

.

Тогда график y(x) примет вид:

7. Для решения системы ДУ зададим начальные значения и параметры:

а:= –0.2

Далее зададим вектор правых частей, следующим образом:

Теперь воспользуемся функцией rkfixed:

,

где х – вектор начальных значений;

0 и 20 – интервал по времени, на котором производится поиск решения для данной системы ДУ;

100 – количество точек на интервале;

D – вектор правых частей системы ДУ;

Z – матрица решений данной системы уравнений, у которой количество столбцов равно количеству уравнений в системе, а количество строк задается количеством точек на интервале.

Далее, если мы хотим построить график решений, то необходимо задать целочисленный параметр n для индексов матрицы решений:

n:=0..99

Теперь можно строить график зависимости y (Z_n,1) от x(Z_n,0), получим:

Содержание отчета

1. Титульный лист.

2. Решение всех задач с комментариями.

Контрольные вопросы

1. Перечислите основные возможности символьной математики.

2. Каким образом можно задать упрощение выражения?

3. Каким образом можно получить значение числа π с точностью 25 знаков после запятой?

4. Каким образом можно выполнить разложение по степеням переменной?

5. Каким образом можно найти неопределеный интеграл от выражения?

6. Каким образом можно решить уравнение?

Литература:

1. Информатика: Базовый курс. Учебник под редакцией С.В.Симановича.

2. Половко А.М., Ганичев И.В. MathCad для студента. – Спб.: БХВ-Петербург, 2006. -336 с.: ил.

3. Ю.Ю.Тарасевич Численные методы на MathCad. – Астраханский гос. Пед. Ун-т: Астрахань,2000.

4. Могилёв, А. В., и др. Информатика: Учеб. Пособие Под. Ред. Хеннера Е. К. М.: Изд. Центр “Академия”,2000. -816с.

5. Ушаков А. Н., Ушакова Н. Ю. Секреты для инженерных и научных расчетов. – Оренбург: ОГУ, 2001. - №--с.

Лабораторная работа 12