Формирование вычислительных навыков

На основе организации повторения

 

Отечественные психологи и методисты отмечают, что в повторяющихся однотипных рассуждениях часто выпадают промежуточные звенья и, как показывает практика, прежде всего, обосновывающие элементы. Поэтому при формировании вычислительных навыков необходимо периодически возвращаться к объяснению использованного приема и правильно выстраивать повторение материала для того, чтобы предупредить забывание и проявление формализма в навыках и знаниях.

Такие психологи, как Н.А. Менчинская, Д.Н. Богоявленский и другие, указывают, что у учащихся при выполнении однотипных упражнений сохраняются оперативные элементы рассуждений и у учителей иногда складывается неправильное представление об ускорении свертывания пояснений. Навыки формируются и закрепляются путем упражнений, которые должны составлять четкую систему последовательно усложняющихся заданий, а не быть случайным набором однотипных действий. Процесс формирования навыков, усвоения знаний тесно связан с процессом учения. Запоминание проходит лучше,

- если ученик проявляет активность,

- если ученик знает, что должен делать, каких результатов добиться и

- если ученик осознает ошибки и стремится к их исправлению.

Существенным компонентом обучения является повторение - важнейшее условие прочного и глубокого усвоения знаний, формирования умений и навыков. Для образования новых представлений в коре головного мозга обычно требуется несколько повторений. Но их роль не должна сводиться только к упрочению знаний. Необходимо так организовать повторение, чтобы ученик открывал все новые грани, осознавал важность получаемой информации. В связи с этим целесообразно остановиться на организации повторения на уроках математики, не только привычного обобщающего повторения, но и того, которое положено в основу овладения новым вычислительным приемом и способствует его прочному усвоению.

Рассмотрим фрагмент урока на тему «Внетабличное деление». При проведении анализа детских работ наибольшее число ошибок обнаружено именно по теме «Деление двузначного числа на двузначное число». В основе данного вычислительного приема лежит действие подбора цифры частного. До изучения темы учащиеся выполняли деление только на однозначное число, техника такого вычисления существенно отличается от нового вычислительного приема. Значит, ученики, прежде всего, должны осознать то, что известные им вычислительные приемы не подходят для предлагаемых случаев деления; Иначе могут появиться ошибки вида: 66: 11 = 12; 46: 23 = 4; 88: 22 = 44. В основе нового случая вычисления лежит умение умножать двузначное число на однозначное и проверять деление умножением. Поэтому повторение именно данного материала и должно стать фундаментом для освоения нового вычислительного приема.

Когда школьники изучали табличные случаи умножения и деления, то по одному примеру на умножение составляли два примера на деление. Соответственно, учитель может предложить детям следующие задания:

- Составьте несколько равенств, используя данные числа: 9, 3, 27. (9 • 3 = 27; 3 • 9 = 27; 27: 3 = 9; 27: 9 = 3.)

- Найдите значение выражения 72:3 и проверьте свои вычисления. (24 • 3 = 72.)

- Составьте два примера на деление из следующего равенства: 16· 4 = 64. (64: 4 = 16, 64: 16 = 4.)

- Как можно проверить деление? (Умножением.) Учащиеся делают вывод: 4 • 16 = 64; 16 • 4 = 64;

16 • 4 = 4 • 16. Значит, деление выполнено правильно, т.е.: 64 разделить на 16 получится 4.

- Итак, проверка показала, что если 64 разделить на двузначное число 16, то получится 4.

- А как найти это число?

- Почему частное 64 и 16 равно 4? Почему нельзя взять в качестве ответа 2 или 3, а нужно взять 4? Как доказать что 2 не подходит? (Можно сделать проверку: 2 · 16 = 16 · 2 = 32.) Как доказать, что 3 не подходит? (16 • 3 = 48.)

- А может быть подходит 5? (Нет, так как 16 • 5 = 80.)

- Значит, как же следует искать в этом случае частное?

Учащиеся высказывают свои соображения, а учитель сообщает, что этот прием нахождения частного называется подбором.

- Давайте потренируемся в подборе частного. На какое число нужно умножить 18, чтобы получилось 36? На какое число нужно умножить 15, чтобы получилось 45? На какое число нужно умножить 23, чтобы получилось 92?

- А теперь 51 разделите на 17. Кто подберет частное и покажет, что оно подходит?

- Какие числа делили? (Двузначные числа.) На какие числа мы делили? (На двузначные числа.) Какое число получалось в ответе? (Однозначное число.)

- Проверьте, верно ли найдены ответы: 66: 11 = 12; 88: 22 = 44. (Нет, так как при делении двузначного числа на двузначное получилось не однозначное число, а двузначное.) Хорошо, если школьники смогли сделать этот вывод, не выполняя, подбора. Некоторые из них сразу же смогли дать верный ответ, хотя этого и не требовалось.

- Проверьте, верно ли найден ответ: 46: 23 = 4. (Так как делитель двузначное число, то частное находится подбором. Проверим умножением, верно ли выполнен подбор: 23 · 4 = 92, а у нас делимое 46. Неверно.)

- Какой ответ будет правильным? (Два, 46: 23 = 2, так как 23 • 2 = 46.)

- На какие двузначные числа делится число 36? Свой ответ докажите.

(36 делится на 36, так как 36:1 = 36; 36 делится на 18, так как 36:2 = 18;

36 делится на 12, так как 36: 3 = 12; таким образом, 36 делится на двузначные числа: 36,18 и 12.)

- Во сколько раз 85больше 17?(В пять раз. 85:17 = 5; 17 • 5 = 85.)

- Во сколько раз каждое из чисел верхнего ряда больше (меньше) соответствующего ему числа нижнего ряда:

88 92 74 16 6

22 46 37 96 54

В конце урока, обобщая изученный материал, учитель, предлагает сравнить вычислительные приемы деления двузначного числа на двузначное число, двузначного числа на однозначное число, чтобы подчеркнуть существенную разницу между ними. Для этого даются следующие задания.

- Разделите 68 на 4. Объясните прием счета.

- Разделите 66 на 22. Объясните прием счета.

- Одинаковы ли эти приемы?

Описанный фрагмент урока показывает, как на основе повторения предыдущего материала, правильно подобранной системы упражнений и умело организованного обобщения информации, учитель подводит учащихся к осознанию нового вычислительного приема. Если же начать повторение, как рекомендуется в некоторых методических пособиях, с нахождения частного при делении двузначных чисел оканчивающихся нулем, то это может привести в дальнейшем к появлению ошибок, поэтому такого вида повторение на данном уроке применять нецелесообразно.

Правильная организация усвоения учащимися вычислительных приемов и формирование на их основе вычислительных навыков - это не только работа на конечный результат, но и прекрасная возможность приобщения учеников к анализу собственной деятельности по овладению новым вычислительным приемом. Особое значение отводится повторению и обобщению ранее полученных знаний. При этом нельзя пропускать ни одной операции, составляющей новый вычислительный прием, и игнорировать многократное проговаривание вслух выполняемых действий. Плохо организованную работу по овладению вычислительным приемом не компенсирует огромное количество выполненных детьми упражнений. Со временем неизбежно появятся стандартные ошибки, которые свидетельствуют о пробелах в овладении понятием или приемом.

 

Анализ качества устных вычислительных навыков

Учащихся начальных классов

Для того чтобы дети в совершенстве овладели вычислительной культурой, необходимо еще в начальной школе научить их выполнять следующие устные вычисления:

• складывать и умножать однозначные числа (6 + 3; 6 + 7; 5 • 7);

• прибавлять к двузначному числу однозначное число (11 + 3; 87 + 9);

• вычитать из однозначного или двузначного числа однозначное число: преимущественно в пределах 20

(9 - 3; 19 - 3; 13 - 9);

• складывать несколько однозначных чисел (7 + 8 + 9);

• складывать и вычитать двузначные числа (30 + 20; 70 - 60; 34 - 20; 73 - 20; 34 + 22; 73 - 22; 34 + 26; 70 - 28; 73 - 28);

• делить однозначное или двузначное число на однозначное число нацело или с остатком (9: 6; 9: 3; 29: 7; 84: 7; 85: 7).

Из первого пункта известно, что полноценный вычислительный навык характеризуется шестью качествами: правильностью, осознанностью, рациональностью, обобщенностью, беглостью и прочностью. На основе выделенных принципов учителю бывает необходимо проверить результативность обучения вычислительным навыкам, проводя их поэлементный анализ.

Беглость вычислений и правильность полученных результатов можно проверить в форме арифметического диктанта, содержащего 15 - 20 простых выражений. Диктовать каждое из них нужно только один раз, применяя в формулировке слова: «прибавить», «вычесть», «умножить», «разделить». При этом дети записывают только ответы. Темп диктовки для табличных случаев и действий с нулем и единицей примерно 10 с, для случаев с применением правил и свойств- 15 с.

С.А. Зайцева, И.Б. Румянцева, И.И. Целищева предложили следующие примерные образцы диктантов.

Задание: найти значения выражения и записать только ответ.

• 6 + 2; 7 - 3; 8 - 5; 10 - 8; 7 + 3; 6 + 7; 13 - 8; 49 + 1;60 - 1; 26 - 0; 34 + 0; 11 + 3; 19 - 5; 70 - 30; 70 + 20; 73 - 20; 54 + 30; 72 + 8; 72 - 8; 40 - 6.

• 6 · 7; 8 · 4; 56: 8; 7 · 9; 30: 10; 0 · 13; 77 · 1; 16: 1; 0: 5; 48 + 11; 92 - 6; 84: 7; 34 + 2; 70 - 28; 36 + 48; 73 - 49; 16 · 5; 9: 6; 48 - 23.

• 8 • 400; 560: 8; 270: 3; 60 • 70; 810: 90; 76: 8; 0: 1002; 4108 - 0; 302:1; 50 • 16;

720: 3; 720: 30; 350 • 2;

240 - 70; 360 + 48; 111 + 89; 130 - 38; 340 + 260; 700 - 280; 1000 - 299.

Задания для математического диктанта можно подобрать по приведенному образцу, учитывая возраст учащихся и пройденный материал. За работу выставляются отметки в соответствии со следующими рекомендациями: «5» - если 0 ошибок; «4» - если 1 ошибка; «3» = если 2 - 3 ошибки; «2» - если 4 ошибки и более.

Для проверки правильности и осознанности выбора вычислительных операций, приводящих к искомому результату, можно предложить выполнить письменно самостоятельную работу, в которой рассуждения фиксируются подробно (15+ 17 = 15 + (10 + 7) =(15 + 10) + 7 = 25 + 7 = 32), или провести устный контроль. В последнем случае каждому ученику предлагается карточка, на которой написаны 3 - 4 выражения, и задание: найти значение выражения, объясняя запись подробно. Названные авторы советуют заготовить не менее четырех вариантов карточек, аналогичных ниже представленным:

• 23 + 14; 56 - 23; 17 + 3; 20 – 8.

• 42: 2; 65: 5; 7 · 13.

• (450 + 550): 2; 720: 30; 5 · (25 · 40).

Завершив работу, ученик рассказывает учителю о правиле, которое применил при вычислении. Например: при вычислении значения выражения 23 + 14 применяю правило прибавления суммы к числу.

В ходе проверки рациональности вычислительных навыков дается самостоятельная работа, содержащая 1 - 2 выражения, со следующим заданием: найти значение выражения разными способами и подчеркнуть удобный способ. Например:

• 28 + 36;

• 7 · 8 + 7 · 2;

• (1924 + 256) + 1744.

Оценка обобщенности вычислительных навыков способствует выявлению умения переносить значения в новые числовые условия. При проверке данного качества задание предлагается в следующей формулировке: попробуйте найти значение данного выражения самостоятельно, записав подробно объяснение. При этом в упражнении должен содержаться числовой материал, который школьникам ранее не встречался, но вычислительный прием, на котором основано его решение, ими уже был отработан на других примерах:

• 100 - 24 = 100 - (20 + 4) = 80 - 4 = 76.

75 • 5 = (70 + 5) • 5 = 70 • 5 + 5 • 5 = 350 + 25 = 375.

• 284 • 3 = (200 + 80 + 4) • 3 = 200 • 3 + 80 • 3 + 4 • 3 = 600 + 240 + + 12 = 852.

Для проверки прочности навыка рекомендуется в конце учебного года в каждом из классов провести самостоятельную работу и включить в нее все вычислительные приемы, определенные программой. Аналогичный контроль следует провести с тем же составом класса в начале следующего учебного года до организации повторения материала, т.е. не позднее 2 сентября. Сравнение результатов работ позволит судить о прочности усвоения вычислительных приемов.