Разложения кусочно-непрерывных функций в ряд Фурье.

Для непрерывной периодической функции f (x) на отрезке [-p, p] можно поставить в соответствие ряд частичных сумм Фурье S (x): f (x)~ S (x).

Вычисление частичных сумм ряда Фурье выполняют по формуле:

где a_k и b_k - коэффициенты Фурье, которые вычисляют по формулам Эйлера - Фурье:

Цель работы. Исследовать графически поведение частичных сумм ряда Фурье заданного кусочно-непрерывной функцией f (x). Вычислить значение суммы ряда Фурье в указанных точках и на границах интервала -p, p.

Задание. Построить график f(x). Построить графики частичных сумм для n = 1, 2, 5, 10, 50: S (x, 1), S (x, 2), S (x, 5), S (x, 10), S (x, 50)и сравнить их между собой и с графиком f (x). Для x = p / 2 (точка непрерывности) построить график частичной суммы S (p / 2, n). Вычислить значения частичных сумм ряда Фурье для n = 10, 20, 50 в точках x= -p, 0, p / 2, p.

Функция f (x)имеет следующий вид:

Указания:

1. Открыть панели инструментов, нажав на кнопки , , , .

2. Ввести функцию f(x).

3. Нажать кнопку: = на калькуляторе.

4. В панели программирования щелкнуть по кнопке Add Line. Появляется вертикальная черта с двумя строками ввода.

 

5. Перейти в первую строку. Щелкнутьо кнопке if. Появляется оператор if. В левое поле ввода записываем выражение для вычисления функции, справа ограничения на аргумент.

6. При вводе выражений использовать панели калькулятора, знаков отношений и греческого алфавита.

7. Ввести n:= 50 и k:= 0 .. n.

8. Ввести a, нажать < [ > (знак нижнего индекса) и k - получим a_k. Ввести: = и выражение для a_k.

9. Аналогично ввести b_k.

10. Ввести выражение для вычисления сумм ряда Фурье S (x, n).

11. Задать таблицу значений аргумента x на отрезке [-p, p] с шагом p / 100: x: = -p, -p + p / 100.. p.

12. Ввести имя частичной суммы, указав в скобках нужные значения аргументов, и нажать < = >. На экране отобразятся значения функции в точках.

Задание. Вычислить производную 1-го порядка для функции f (x). Построить графики производных функции f (x).

Указания:

1. Все операции выполнять так же как в предыдущих заданиях.

2. Для ввода символа производной открываем панель и нажимаем кнопку .

3. В результате ввода получаем на экране выражение для функции f (x) в следующем виде:

 

f?(x): =

Строим график функции f (x) для значений аргумента

Задание. Выполнить аналитическое вычисление коэффициентов Фурье.

Указания:

1. Для получения аналитических выражений коэффициентов Фурье копируем в рабочий документ формулы для вычисления и выделяем их.

2. Открываем панель Ключевые слова символьных вычислений нажимаем кнопку Преобразовать и щелкаем по рабочему документу правее и ниже стрелки.

3. В результате ввода получаем на экране следующие выражения:

4. Используя полученные аналитические выражения для коэффициентов Фурье, выполнить их вычисление.

5. Сравнить результаты вычислений с ранее полученными.

6. Подготовить отчет в виде экранных форм.

Содержание отчета

1. Титульный лист.

2. Решение всех задач с комментариями.

Контрольные вопросы

1. Перечислите основные возможности символьной математики.

2. Каким образом можно задать упрощение выражения?

3. Каким образом можно получить значение числа π с точностью 25 знаков после запятой?

4. Каким образом можно выполнить разложение по степеням переменной?

5. Каким образом можно найти неопределеный интеграл от выражения?

6. Каким образом можно решить уравнение?

Литература:

1. Информатика: Базовый курс. Учебник под редакцией С.В.Симановича.

2. Половко А.М., Ганичев И.В. MathCad для студента. – Спб.: БХВ-Петербург, 2006. -336 с.: ил.

3. Ю.Ю.Тарасевич Численные методы на MathCad. – Астраханский гос. Пед. Ун-т: Астрахань,2000.

4. Могилёв, А. В., и др. Информатика: Учеб. Пособие Под. Ред. Хеннера Е. К. М.: Изд. Центр “Академия”,2000. -816с.

5. Ушаков А. Н., Ушакова Н. Ю. Секреты для инженерных и научных расчетов. – Оренбург: ОГУ, 2001. - №--с.

 

Лабораторная работа 13

ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ

Пусть функция f(x) определена на промежутке (а, b), точка произвольная точка из области определения функции*. Обозначим через -> f () = f( + x;) f() приращение функциив точке , вызванное приращением x независимой переменной х. Производной функции f(x) в точке x= , I (a,b), называется предел отношения приращения функции f () к приращению x при стремлении x к нулю, т.е.

.

Здесь f () производная функции в точке I (a, b).

Порядок выполнения работы

1). Найдите по определению производную функции

f (x)= .

Вычислите значение производной в точке x = 0. Поскольку f (0) = 0, то приращение функции f (x) в точке х = 0 равно f (0) = f (0 + x) - f (0) = f ( x) - f (0) = f ( x).

Указание:

1. Установите режим автоматических вычислений и режим отображения результатов вычислений по горизонтали.

2. Определите функцию.

3. Определите приращение функции в указанной точке.

4.Вычислите предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю.

5. Вычислите производную аналитически.

Фрагмент рабочего документа Mathcad, содержащего необходимые вычисления, приведен ниже.

Значение функции при x, отличном от нуля

Производная функции f (x) в точке х =0 существует и равна 4.

f (x)=4

Рис. 35. Символьное дифференцирование

Указание. Символ приращения выберите в панели греческого алфавита. Предел вычисляется средствами символьной математики пакета. Для того чтобы вычислить производную с использованием меню символьных операций, введите выражение дифференцируемой функции, выделите переменную х и щелкните по строке Differentiate в строке Variable меню Symbolics (рис. 35.). Можно поступить по-другому. Щелкнув по кнопке , разверните панель инструментов Calculus, щелкните в ней по кнопке дифференцирования , введите имя функции и переменной в помеченных позициях, выделите выражение и нажмите на клавиатуре комбинацию клавиш <Shift>+<F9> (рис.36.).

Рис. 36. Дифференцирование с использованием панели Calculus

Выполните индивидуальные задания приведенные ниже. Подготовьте отчет по лабораторной работе в виде экранного документа.

Индивидуальные задания к лабораторной работе 8.

Найдите производную функции f(x). Вычислите значение производной в точке x=0, имея в виду, что f(0)=0.

	f (x)		f (x)

* Возможно (а, b) = (-бесконечность,+бесконечность).

Содержание отчета

1. Титульный лист.

2. Решение всех задач с комментариями.

Контрольные вопросы

1. Перечислите основные возможности символьной математики.

2. Каким образом можно задать упрощение выражения?

3. Каким образом можно получить значение числа π с точностью 25 знаков после запятой?

4. Каким образом можно выполнить разложение по степеням переменной?

5. Каким образом можно найти неопределеный интеграл от выражения?

6. Каким образом можно решить уравнение?

Литература:

1. Информатика: Базовый курс. Учебник под редакцией С.В.Симановича.

2. Половко А.М., Ганичев И.В. MathCad для студента. – Спб.: БХВ-Петербург, 2006. -336 с.: ил.

3. Ю.Ю.Тарасевич Численные методы на MathCad. – Астраханский гос. Пед. Ун-т: Астрахань,2000.

4. Могилёв, А. В., и др. Информатика: Учеб. Пособие Под. Ред. Хеннера Е. К. М.: Изд. Центр “Академия”,2000. -816с.

5. Ушаков А. Н., Ушакова Н. Ю. Секреты для инженерных и научных расчетов. – Оренбург: ОГУ, 2001. - №--с.

Лабораторная работа 14

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ.