Простейшие вычисления и операции в Mathcad

ПРОСТЕЙШИЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ И ОПЕРАЦИИ В MATHCAD

Цель работы: научиться производить расчёты простейших арифметических и алгебраических выражений.

Порядок выполнения работы

I. Вычислить значения арифметических выражений 25+ и 25+ .

Указания.	Отображение на экране:
1. Щелкните мышью по любому месту в рабочем документе - в поле появится крестик, обозначающий позицию, с которой начинается ввод.
2. Введите с клавиатуры символы в следующей последователь-ности: 25+12/3.
3. Введите с клавиатуры знак равенства, нажав клавишу <=>. Mathcad вычисляет значение выра-жения и выводит справа от знака равенства результат.
4. Щелкните мышью справа внизу возле цифры 3 и нажмите клавишу <Backspace> (справа во втором ряду клавиатуры). Теперь значение выражения не определено, место ввода помечено черной меткой и ограничено угловой рамкой.
5. Введите с клавиатуры цифру 4 и щелкните мышью вне выделяющей рамки.
6. Теперь удалим выражение с экрана. Щелкните мышью по любому месту в выражении
7. Нажимайте клавишу <Space> до тех пор, пока все выражение не будет выделено угловой синей рамкой.
8. Нажмите клавишу <Backspace> (поле ввода окрасится в черный цвет) и, нажав клавишу <Del>, удалите выделенное. Выражение исчезнет с экрана.

II. Вычислить значение выражения, содержащего переменные:

при t = 5, а = 9.8.

Указания:	Отображение на экране:
1. Щелкните мышью по свободному месту в рабочем документе и введите с клавиатуры символы а:*.
2. Введите с клавиатуры символы 9. 8 и щелкните по свобод-ному месту вне поля ввода.
3. Щелкните мышью по свободному месту в рабочем документе и введите с клавиатуры t: 5, щелкните по свободному месту вне поля ввода.
4. Щелкните мышью по свободному месту в рабочем документе и введите с клавиатуры а * t^2 <Space> / 2 <Space> <Space> = и щелкните по свободному месту вне поля ввода.

Если при вводе выражения была допущена ошибка, выделите неправильный символ угловой рамкой (щелкните мышью справа внизу возле символа), удалите выделенный символ (нажмите клавишу <Backspace>) и введите в помеченной позиции исправление.

Mathcad читает и выполняет введенные выражения слева направо и сверху вниз, поэтому следите, чтобы выражение для вычисления располагалось правее или ниже определенных для него значений переменных.

III. Определить функцию f(x) = , вычислить ее значение при х =1.2 и построить таблицу значений функции для х [0, 10] с шагом 1.

Указания:	Отображение на экране:
1. Щелкните по свободному месту в рабочем документе, введите с клавиатуры f (х) = х + 1 <Space> / х ^ 2 <Space> + 1 и затем щелкните по рабочему документу вне поля ввода.
2. Щелкните по свободному месту в рабочем документе и введите с клавиатуры f( 1.2 )=. Сразу после ввода знака равенства немедленно выводится вычисленное значение функции f(x) при х = 1.2.
3. Задать дискретные значения аргумента х I [0, 10] с шагом 1: щелкнув по свободному месту в рабочем документе, введите с клавиатуры х: 0, 1; 10 и щелкните вне поля ввода.
4. Щелкнув по свободному месту в рабочем документе, введите с клавиатуры f(x)=. В результате под именем функции появится таблица значений функции.

IV. Построить график функции f{t) = .

Указания:	Отображение на экране:
1. Щелкните по свободному месту в рабочем документе и введите с клавиатуры f(t):е х р (- t^2 <Space>) и щелкните мышью вне поля ввода.
2. Щелкните по свободному месту в рабочем документе, затем - по кнопке в панели математических инструментов и в открывшейся панели щелкните по кнопке. .
3. Курсор установлен в помеченной позиции возле оси абсцисс. Вве-дите с клавиатуры имя аргумента t, затем щелкните по помеченной позиции возле оси ординат, введите с клавиатуры f(t) и щелкните вне прямоугольной рамки.
4. График получился невыразительным. Нужно определить промежуток изменения аргумента равным [ 2, 2]. Для этого щелкните по полю графика, затем по числу, задающему наименьшее значение аргумента (число в левом нижнем углу ограниченного рамкой поля графиков), нажмите на клавишу <Backspace> и введите с клавиатуры 2. Аналогично измените вторую границу вместо числа в правом нижнем углу поля графика введите 2. Щелкните мышью вне поля графика.

* При вводе с клавиатуры символа <: > в рабочем документе отображается знак присваивания :=

Выполните индивидуальные задания приведенные ниже. Подготовьте отчет по лабораторной работе в виде экранного документа.

Индивидуальные задания к лабораторной работе 1

I. Вычислить значения арифметических выражений:

1.			11.
2.			12.
3.			13.
4.			14.
5.			15.
6.			16.
7.			17.
8.			18.
9.			19.
10.			20.

II. Вычислить значение выражения:

1.	, при		11.	, при
2.	, при		12.	, при
3.	, при		13.	, при
4.	, при		14.	, при
5.	, при		15.	, при
6.	, при		16.	, при
7.	, при		17.	, при
8.	, при		18.	, при
9.	, при		19.	, при
10.	, при		20.	, при

III. Определить функцию f(x), вычислить ее значение при x=2,9 и построить таблицу значений функции для x [2;12] с шагом 1. Построить график функции.

1.			11.
2.			12.
3.			13.
4.			14.
5.			15.
6.			16.
7.			17.
8.			18.
9.			19.
10.			20.

 

Контрольные вопросы:

1. Что такое табулирование функции?

2. Каково предназначение математического пакета MathCad?

3. Приведите простейший пример вычислительной задачи.

 

Литература:

1.Информатика: Базовый курс. Учебник под редакцией С.В.Симановича.

2.Половко А.М., Ганичев И.В. MathCad для студента. – Спб.: БХВ-Петербург, 2006. -336 с.: ил.

3.Ю.Ю.Тарасевич Численные методы на MathCad. – Астраханский гос. Пед. Ун-т: Астрахань,2000.

4.Могилёв, А. В., и др. Информатика: Учеб. Пособие Под. Ред. Хеннера Е. К. М.: Изд. Центр “Академия”,2000. -816с.

5.Ушаков А. Н., Ушакова Н. Ю. Секреты для инженерных и научных расчетов. – Оренбург: ОГУ, 2001. - №--с.

Лабораторная работа 2

Порядок выполнения работы

 

I. Упростить выражение

Ниже приведен фрагмент рабочего документа Mathcad с соответствующими вычислениями.

Большинство вычислений в Mathcad можно выполнить тремя способами выбором операции в меню, с помощью кнопочных панелей инструментов или обращением к соответствующим функциям.

Преобразование алгебраических выражений

В Mathcad можно выполнить следующие символьные преобразования алгебраических выражений:

simplify (упростить) выполнить арифметические операции, привести подобные, сократить дроби, использовать для упрощения основные тождества (формулы сокращенного умножения, тригонометрические тождества и т.п.);

expand (развернуть) раскрыть скобки, перемножить и привести подобные;

factor (разложить на множители) представить, если возможно, выражение в виде произведения простых сомножителей;

substitute (подставить) заменить в алгебраическом выражении букву или выражение другим выражением;

convert to partial fraction разложить рациональную дробь на простейшие дроби.

Если Mathcad не может выполнить требуемую операцию, то он выводит в качестве результата вычислений исходное выражение. Все приведенные вычисления выполнены в предположении, что в меню Math установлен автоматический режим вычислений и отключен режим оптимизации. Следует помнить, что Mathcad далеко не всегда преобразует выражение к самому простейшему виду.

Указание. Установите режим отображения результатов вычислений по горизонтали. Для этого щелкните по строке Evaluation Style в меню Symbolic и установите соответствующие метки в окне диалога. Для того чтобы ввести выражение, щелкните левой клавишей мыши по свободному месту в рабочем документе и введите выражение с клавиатуры. Сначала введите первый сомножитель нажмите на клавиатуре клавиши в следующей последовательности:

<1> <+> <2> </> <3> <*> <x> <-> <1>

Прежде чем вводить знак умножения и второй сомножитель, нажмите несколько раз клавишу <Space> (Пробел); нажимайте пробел до тех пор, пока весь первый сомножитель не будет заключен в выделяющую рамку. Затем введите знак умножения и второй сомножитель нажмите на клавиатуре клавиши в следующей последовательности:*

<*> <(> <1> <-> <9> <*> <х> <-> <9> <*> <х> <^> <2>

<Space>... <Space> (выделить 9x-9x²) </> <3> <*> <х> <+> <1>

<Space>... <Space> (выделить второй сомножитель) <+> <1>.

Для того чтобы упростить введенное выражение, используйте меню символьных операций: щелкните справа внизу у последнего символа выражения и выделите его, нажимая клавишу <Space>. Затем щелкните в меню Symbolics по строке Simplify (рис. 31). Результат (преобразованное выражение) будет отображен в рабочем документе справа от исходного выражения.

Рис. 31. Процесс упрощения выражения через меню Symbolics

 

II. Раскрыть скобки и привести подобные в выражении x(z+1)² - 2z(x+z).

Указание. Сначала, как и в предыдущем примере, установите в меню Symbolics -- режим отображения результатов вычислений по горизонтали. Затем введите выражение для преобразования, выделите его и щелкните по строке Expand в меню Symbolics (рис.32). Результат (преобразованное выражение) отображается в рабочем документе справа от исходного выражения.

Рис.32. Упрощение выражений с использованием операции Expand.

III. Разложить на множители выражение

а²b + ab² + 2abc + b²c+ +a²c+ ас² + bc².

Указание. Введите выражение для преобразования, выделите его и щелкните по строке Factor в меню Symbolics. Результат отображается в рабочем документе справа от исходного выражения. При вводе выражения не забывайте вводить знак умножения (<*>), а после ввода показателя степени (<^>) нажимать клавишу <Space>.

Ниже приведен фрагмент рабочего документа Mathcad с соответствующими вычислениями.

 

IV. Разложить на простейшие дроби рациональную дробь

Ниже приведен фрагмент рабочего документа Mathcad с соответствующими вычислениями.

Указание. Введите описанным выше способом выражение для преобразова-ний, выделите переменную х и щелкните по строке Convert to Partial Fraction в пункте Variable меню Symbolics.

V. Построить таблицу значений функции

f(x) = xsin на отрезке [0, 4p²].

Ниже приведен фрагмент рабочего документа Mathcad с соответствующими вычислениями.

* Запись <Space>... <Space> означает, что пробел нужно нажимать до тех пор, пока соответствующее выражение не будет заключено в выделяющую угловую рамку.

Указание. Определите функцию f(x) = xsin .Для этого введите с клавиатуры имя функции и имя аргумента, заключенное в круглые скобки, знак присваивания (введите с клавиатуры знак равенства или нажмите на клавиатуре клавиши <Shift>+<:> и следом выражение для функции. Чтобы ввести знак квадратного корня, щелкните в панели калькулятора по кнопке . Подкоренное выражение введите в позиции, указанной меткой. Знак абсолютной величины введите аналогично, щелчком по кнопке . Определите диапазон изменения индекса i узлов сетки х_i на заданном отрезке. Для этого введите с клавиатуры: i == 0; 20*. Определите узлы сетки х_i = , для этого введите с клавиатуры: х [ i <Space> == i * 4 * (<Ctrl>+<p>)^2 <Space...Space> /20. Определите матрицу-столбец F для хранения таблицы значений функции в узлах сетки: F_i = f(x_i). Для этого введите с клавиатуры: F [ i Space: f (х [ i <Space>). Чтобы вывести таблицу значения функции на экран, введите с клавиатуры: F =. В рабочем документе появится таблица значений функции. Щелкните по полю таблицы в рабочем документе откроется окно для просмотра всей таблицы со стрелками прокрутки.

 

VI. Построить график функции f(x) =xsin .

Ниже приведен фрагмент рабочего документа Mathcad с соответствующими вычислениями и графиком.

Указание. Определите функцию f(x), как в предыдущем примере, щелкните по свободному месту в рабочем документе правее и ниже определения функции f(x), затем щелкните по кнопке декартова графика в панели графиков и введите в позиции, указанной меткой возле оси абсцисс, имя аргумента х, а возле оси ординат имя функции f(x). График будет построен после щелчка по рабочему документу вне поля графиков. Параметры изображения можно изменить, щелкнув дважды по полю графиков и определив параметры (вид отображения осей, толщину и цвет линии, надпись на графике).

VII. Решить графически уравнение f(x) = 0, где f(x) = x³+3x²-2.

На рисунках 33 и 34 приведен фрагмент рабочего документа Mathcad с соответствующими определениями, графиками и окнами диалога.

Указание. Определите функцию f(x) и постройте ее график, действуя, как в предыдущем примере. Для того чтобы найти корни уравнения абсциссы точек пересечения графика функции с осью у = 0, щелкните по строке Trace в пункте Graph меню Format. Затем щелкните по полю графиков и установите (стрелками клавиатуры или мышью) маркер (перекрещивающиеся пунктирные линии) в точке пересечения графика функции с осью абсцисс. В окне диалога отображаются координаты маркера: значение координаты х в окне и есть искомое приближенное значение корня.

Рис. 33. Определение координат на точки

	Рис. 34. Окна диалога настройки параметров декартова графика

 

VIII. Решить символьно уравнение =0.

Символьное решение этого уравнения в Mathcad занимает одну строчку.

Указание. Щелкните по кнопке решения уравнений в панели символьных вычислений . Введите в помеченной позиции слева от ключевого слова solve (решить) выражение для правой части уравнения, а в позиции справа от solve имя переменной, относительно которой нужно решить уравнение, и щелкните по свободному месту в рабочем документе. Результат значение корня уравнения будет отображен в рабочем документе справа от стрелки.

Порядок выполнения работы

Задание. Исследуйте и, если решение существует, найдите по формулам Крамера решение системы

Указание:

1. Установите режим автоматических вычислений и режим отображения результатов вычислений по горизонтали.

2. Присвойте переменной ORIGIN значение, равное 1.

3. Введите матрицу и столбец правых частей.

4. Вычислите определитель матрицы.

5. Вычислите определители матриц, полученных заменой соответствующего столбца столбцом правых частей.

Указание. Для вычисления определителей D1, D2, D3, D4 проще всего скопировать матрицу А в буфер обмена (<Ctrl>+<C> или пункт Copy меню Edit), затем вставить в помеченной позиции матрицу из буфера обмена (<Ctrl>+<V> или пункт Insert меню Edit) и затем заменить элементы соответствующего столбца элементами столбца правых частей.

6.Найдите по формулам Крамера решение системы.

Выполните индивидуальные задания приведенные ниже. Подготовьте отчет по лабораторной работе в виде экранного документа.

 

 

Индивидуальные задания к лабораторной работе 3.

Исследуйте и, если решение существует, найдите по формулам Крамера решение системы Ах = B.

1. А = B =

2. A = B =

3. A = B =

4. A = B =

5. A = B =

6. A = B =

7. A = B =

8. A = B =

9. A = B =

10. A = B =

11. A = B =

12. A = B =

13. A = B =

14. A = B =

15. A = B =

16. A = B =

17. A = B =

18. A = B =

 

Содержание отчета

1. Титульный лист.

2. Решение всех задач с комментариями.

Контрольные вопросы

1. Назовите основные способы решения систем линейных уравнений.

2. Какие операторы позволяют осуществить решение систем нелинейных уравнений?

3. Для чего необходимо выполнять проверку решения уравнений?

4. В чем смысл решения уравнений численными методами?

5. Назовите порядок построения графика в декартовых системах координат.

6. Назовите порядок построения графика в полярной системе координат.

Литература:

1. Информатика: Базовый курс. Учебник под редакцией С.В.Симановича.

2. Половко А.М., Ганичев И.В. MathCad для студента. – Спб.: БХВ-Петербург, 2006. -336 с.: ил.

3. Ю.Ю.Тарасевич Численные методы на MathCad. – Астраханский гос. Пед. Ун-т: Астрахань,2000.

4. Могилёв, А. В., и др. Информатика: Учеб. Пособие Под. Ред. Хеннера Е. К. М.: Изд. Центр “Академия”,2000. -816с.

5. Ушаков А. Н., Ушакова Н. Ю. Секреты для инженерных и научных расчетов. – Оренбург: ОГУ, 2001. - №--с.

Лабораторная работа 4

«Символьные вычисления»

Цель работы: Освоить работу с процессом символьных вычислений на примере вычисления интегралов, производных, сумм, пределов. Изучить работу с векторами и матрицами.

Задание:

1. По заданным координатам точек A, B, C, D найти координаты векторов a=AB и b=CD.

2. Вычислить скалярное и векторное произведения найденных векторов.

3. Найти следующие произведения векторов на заданную матрицу M: a*M и M*b.

4. Вычислить определитель матрицы M.

5. Для заданного ряда вычислить i -частичную сумму и исследовать сходимость ряда.

6. Вычислить сумму ряда.

7. Найти первообразную неопределенного интеграла и выполнить проверку, полученного результата.

8. Вычислить значения определенного интеграла.

Пример выполнения задания:

Задание:

Координаты точек	Матрица
A=(-1, 2, 9) B=(7, -2, -4) C=(-1, -5, -1) D=(-3, -1, 4)
Ряд	Неопределенный интеграл	Пределы интегрирования
		(-¥; 0]

1. Для выполнения задания 1 используем известную формулу из курса линейной алгебры, которая гласит, что координаты вектора численно равны разности координат точек конца и начала вектора:

. (1)

Для этого в MathCAD точки A, B, C и D набираются в следующем виде:

Для чего открываем панель инструментов «Математика» (View\Toolbars\Math) и нажимаем на ней кнопку «Матрицы» ([MMM])

Далее задаем параметр i, меняющийся от 0 до 2 (для чего на панели «Матрица» есть кнопка вида “ m..n”).

Примечание. Отметим, что в пакете MathCAD нумерация компонент векторов и элементов матриц начинается с 0:

Для нахождения координат наших векторов используем формулу (1), которая в MathCAD имеет вид:

Для просмотра координат векторов достаточно набрать «a=» и «b=». В данной задаче

Рекомендация: предлагаем читателю самостоятельно вычислить в MathCAD длину полученных векторов.

2. Вычислим скалярное и векторное произведение полученных векторов.

Примечание. Обращаем внимание на то, что вычисление скалярного произведения в MathCAD осуществляется согласно правилу умножения матриц.

В связи с этим вектора следует задавать следующим образом:

Примечание. Верхний индекс Т у вектора а означает операцию транспонирования и является результатом работы кнопки M^T на панели «Матрица».

Вычислим скалярное произведение:

Проверим результат, воспользовавшись определением скалярного произведения:

или в виде

 

Примечание. Если вектор задан в строчку, то MathCAD воспринимает его не как вектор, а как матрицу с одной строкой и n столбцами. Для набора нижнего индекса можно нажимать на клавиатуре кнопку [.

Для вычисления векторного произведения вектора следует задавать в виде столбцов.

В качестве примера продемонстрируем проверку антикоммутативности векторного произведения

 

3. Рассмотрим произведение матрицы на вектор. Матрица задается с помощью встроенных функций пользователя, а произведение ее на вектор в MathCAD имеет вид:

 

Умножение вектора на матрицу осуществляется следующим образом:

4. Вычисление определителя матрицы выполняется с помощью встроенной символьной операции .

5. Частичные суммы рядов вычисляются с помощью определенных символьных операций, представленных на рис. 1.

Рис. 1

Результаты вычислений имеют вид:

Примечание. Из курса математического анализа известно, что частичные суммы в теории рядов представляют собой отправную точку в исследовании их сходимости. Средства MathCAD позволяют, используя фундаментальное определение сходимости числового ряда, рассмотреть этот вопрос для различных числовых рядов. Здесь в качестве примера мы рассматриваем заданный выше ряд.

Если предел S(i) при i ®¥ существует и конечен, то ряд сходится. Рассмотрим такой предел для нашего ряда.
В среде MathCAD для вычисления пределов используются встроенные символьные операции, представленные на рис. 1. Результаты вычислений выглядят следующим образом:

6. Ряд сходится, следовательно, можно вычислить его сумму:

7. Для вычисления неопределенных интегралов также используются встроенные символьные вычисления (см. рис. 1).

Примечание. Отметим, что в полученном результате отсутствует аддитивная постоянная.

Согласно основному свойству интегралов производная от первообразной должна быть равна подынтегральной функции. Часто это свойство используется в качестве проверки полученных первообразных.

Для вычисления производных снова используем встроенные символьные вычисления (см. рис. 1).

В нашем случае получаем:

8. Для вычисления определенного интеграла, используя символьные операции, получаем

Примечание. Возможности пакета позволяют с помощью указанных символьных операций проводить исследования сходимости несобственных интегралов и изучение поведения разрывных функций на заданном интервале.
В чем предлагаем читателю убедиться самостоятельно, рассмотрев следующие два примера:

1. 2. при

Содержание отчета

1. Титульный лист.

2. Решение всех задач с комментариями.

Контрольные вопросы

1. Назовите способы выполнения символьных операций в MathCAD.

2. Что необходимо сделать с выражением перед применением символьных преобразований в командном режиме?

3. Перечислите символьные операции с выделенными выражениями.

4. Перечислите символьные операции с выделенными переменными.

5. Перечислите символьные операции с выделенными матрицами.

6. Перечислите символьные операции преобразования.

7. Какие параметры определяет стиль представления результатов вычислений и где он задается?

8. В каких случаях результат символьных преобразований помещается в буфер обмена?

9. Каким образом можно вычислить предел в MathCAD?

Литература:

1. Информатика: Базовый курс. Учебник под редакцией С.В.Симановича.

2. Половко А.М., Ганичев И.В. MathCad для студента. – Спб.: БХВ-Петербург, 2006. -336 с.: ил.

3. Ю.Ю.Тарасевич Численные методы на MathCad. – Астраханский гос. Пед. Ун-т: Астрахань,2000.

4. Могилёв, А. В., и др. Информатика: Учеб. Пособие Под. Ред. Хеннера Е. К. М.: Изд. Центр “Академия”,2000. -816с.

5. Ушако