Замена переменной в неопределенном интеграле

 

Это один из двух самых мощных методов вычисления интегралов. Суть его примерно состоит в следующем. Допустим необходимо вычислить неопределенный интеграл от функции , переменная интегрирования в котором обозначена буквой , и этот интеграл кажется сложным для вычисления (не проходят ни метод непосредственного интегрирования, ни внесение под знак дифференциала и т.д.). Тогда есть смысл перейти к другой (новой) переменной интегрирования (скажем ), указав, конечно, связь между старой переменной и новой переменной . Эта связь может выражать либо как функцию от (вида ), либо как функцию от (вида ). Тогда имеется правило (оно и называется заменой переменных), позволяющее исходный интеграл записать в новой переменной (новая переменная интегрирования). Этот новый интеграл по переменной может (при удачном выборе связи между новой и старой переменной) оказаться более простым для вычисления. Если мы его вычислим, то получим ответ, естественно, в новой же переменной . Если после этого в полученном ответе перейти опять к старой переменной (используя назначенную выше связь между старой и новой переменной), то получим ответ для исходного интеграла. Формально этот прием обосновывается следующей теоремой.

Теорема (замена переменной в неопределенном интеграле).
Пусть
1) Функция имеет первообразную (а значит и интеграл) на интервале (как указывалось выше, таковы, например, все непрерывные функции).
2) Функция дифференцируема на некотором интервале и переводит этот интервал в интервал .
Тогда функция тоже имеет первообразную (и интеграл) на и справедлива формулы замены переменной:

(1) ,

(2)

Вертикальная черта справа означает, что в полученном ответе необходимо перейти к соответствующей переменной по соответствующей формуле связи старой и новой переменной. В каждой из написанных формул в левом интеграле произведена замена переменной , но в первом интеграле – старая переменная, а – новая, а во втором наоборот. Доказывается эта теорема несложно с помощью правила (*) и формулы для производной от сложной функции.

При решении примеров на формулу (1) или (2) удобнее всего пользоваться следующими формальными рассуждениями. Допустим, нам нужно вычислить , но в исходной переменной этот интеграл кажется сложным для вычисления. Переходим к новой переменной интегрирования , указав соответствующую формульную связь старой и новой переменной: . Теперь можно формально подставить в везде вместо его выражение через , понимая при этом как дифференциал функции: . Тогда исходный переходит в , что как раз представляет собой правую часть формулы (2). После вычисления полученного интеграла остается перейти обратно в ответе к исходной переменной . Оформлять такое решение будем следующим образом:

(3) .

Единственным (но самым нетривиальным) творческим моментом при применении формул замены переменной (1) или (2) является выбор формы связи или старой и новой переменных. Как же выбирать связь этих переменных? Критерий один. Поскольку при замене переменной мы переходим от вычисления одного (исходного) интеграла к другому, то связь переменных надо выбирать такой, чтобы новый интеграл оказался бы для вычисления проще, чем исходный (иначе никакого смысла в замене одного интеграла другим не будет). Однако выбор такой связи не всегда очевиден и во многих случаях является искусством. Но для некоторых типов интегралов (в следующих параграфах мы коснемся части из них) форма упрощающей замены переменной известна.

Пример 1. Вычислить интеграл .

Решение. Вообще-то такой интеграл есть в простой таблице интегралов под
№ 13 при , но теперь можно узнать, почему ответ имеет именно такой вид. Основная кажущаяся сложность вычисления интеграла – наличие корня в знаменателе. Какой же формулой заменить в интеграле через , чтобы квадратный корень после этого исчез? Квадратный корень исчезнет, если под корнем появится некоторое выражение в квадрате. Вспомним, что по основному тригонометрическому тождеству . Поэтому если сделать замену , то при подстановке такого под интеграл корень должен исчезнуть и, по-видимому, интеграл окажется проще. Именно поэтому выбираем замену переменной (т.е. выбираем ). Далее действуем по схеме (3):

.

Как видно, по новой переменной функция под интегралом значительно упростилась, став равной 1. По самой первой формуле из простой таблицы интегралов (с учетом того, что переменная интегрирования теперь обозначена не буквой , а буквой ) получаем ответ в новой переменной : . Осталось в этом ответе обратно выразить новую переменную через исходную переменную . Если , то в обратную сторону выражается через с помощью обратной функции: . Поэтому ответ в исходной переменной будет . Итак,

,

что соответствует табличной формуле при .

Пример 2. Вычислить интеграл .

Решение. . Далее для таких типов интегралов (когда выражение под интегралом содержит только под знаком косинуса, но перед есть множитель ) будет дана рекомендация введения новой переменной по формуле . Сделаем такую замену переменной в предлагаемом интеграле . Тогда в знаменателе можно будет сразу заменить на . Но остается под интегралом , а при замене переменной в интеграле должна остаться только новая переменная , а в конце должно стоять . Посмотрим, во что должно перейти выражение при переходе к новой переменной . Для этого вычислим дифференциал функции : , т.е. . Отсюда сразу получается, что выражение . Таким образом, оформляем следующую формальную запись:

{формула 4 из простой таблицы интегралов} ={возвращаясь к старой переменной по формуле } = . Итак,

.

 

Интегрирование по частям

Это второй из наиболее общих специальных методов вычисления интегралов. Пусть функции и дифференцируемы (т.е. имеют производную) на рассматриваемом интервале изменения . Тогда верно равенство

Данная формула и называется формулой интегрирования по частям, а доказывается она легко применением правила (*) и формулы производной произведения. Эту формулу можно записать и в более компактной форме, если заметить, что по определению дифференциала функции , а . Делая соответствующую подстановку в написанной формуле и опуская для краткости обозначение аргумента х у функций, получим

Именно в такой форме формула записана во многих учебниках. Но, думается, удобнее ее применять в первоначальной форме, тоже опустив для краткости обозначение аргумента х у функций:

(1) .

Доказательство формулы (1) достаточно простое. По правилу (*) (в параграфе «Основные понятия») для того, чтобы убедиться, что правая часть формулы (1) действительно представляет собой значение интеграла в левой части, надо взять производную от правой части (1) и получить при этом подынтегральную функцию в интеграле слева. Проделаем это: ={используем формулу производной произведения и свойство 1 неопределенного интеграла в параграфе «Свойства неопределенного интеграла» о том, что производная от интеграла равна подынтегральной функции} , что и требовалось.

Формула интегрирования по частям (как и замены переменной) сводит вычисление одного интеграла (в левой части) к вычислению другого интеграла (в правой части). Поэтому ее целесообразно применять только тогда, когда второй интеграл оказывается более простым для вычисления, чем первый. Формула интегрирования по частям применяется для интегрирования произведения функций разного типа (например, тригонометрической и степенной, тригонометрической и показательной, степенной и показательной (логарифмической) и т.д.). Далее будут даны более конкретные рекомендации. Для применения формулы (1) интегрирования по частям надо разбить подынтегральную функцию на 2 сомножителя, взяв один из них за u, а другой за v′ (причем очень важно правильно выбрать, что за что брать – от этого зависит успех применения формулы). Потом по этим данным нужно найти u′ и v для подстановки их в правую часть формулы (1). Выражение для u′ получается из u обычным дифференцированием, а выражение для v из v′ (как и всякое восстановление функции по известной ее производной) получается интегрированием: (см. свойство 2 интеграла), причем при вычислении этого интеграла достаточно найти только одну первообразную, поэтому «+С» потом можно не писать.

Пример 1. Вычислить интегрированием по частям (впрочем, по-другому и не получится).

Решение. Применяем формулу (1), взяв за , а за :

Между большими квадратными скобками записывается комментарий, описывающий подготовку к применению формулы (1) интегрирования по частям. Содержимое комментария, в принципе, не является частью формулы и записывается для удобства.

Дадим теперь обещанные конкретные рекомендации по применению этой формулы. Чаще всего формула интегрирования по частям (1) применяется для вычисления интегралов следующих типов (одновременно даны рекомендации − что брать за , а что за ):

1. 2. 3. 4. .

В написанных интегралах − неотрицательное целое число, a и b – произвольные числа (в основании логарифма, естественно, b>0 и b ≠ 1). Причем там, где стоит в показателе степени, интегрирование по частям приходится проводить раз, пока не получится интеграл из таблицы интегралов.

Пример 2. Вычислить .

Решение. Это интеграл первого из перечисленных выше типов при и , поэтому перед применением формулы (1) делаем рекомендуемый выбор функций и :

Пример 3. Вычислить .

Решение. В данном примере под интегралом только одна функция, поэтому казалось бы формулу интегрирования по частям применять нельзя. Однако всегда вторым множителем можно сделать единицу: . Теперь видно, что это интеграл третьего типа при (так как ), и . Применяем формулу (1):

= .

Пример 4. Вычислить .

Решение. Поскольку , то это снова интеграл третьего типа при , и :

.

Пример 5. Вычислить .

Решение. Это интеграл второго типа при (а потому формулу интегрирования по частям придется применять 2 раза) и :

(2) .

Справа в (2) опять получился интеграл того же типа, но при . Вычислим его снова по формуле интегрирования по частям и подставим в (2): . Подставляя в (2), окончательно получим: .

Пример 6. Вычислить .

Решение. Это интеграл четвертого типа из тех, которые выше рекомендовано вычислять методом интегрирования по частям ():

. Вычислим последний интеграл, приведя его к табличным: = . Подставляя полученное значение интеграла в предыдущее выражение, окончательно получим: .

Рассмотрим теперь некоторые специальные приемы для интегрирования некоторых классов функций.

 

Интегрирование выражений, содержащих логарифмы

Если логарифм (или его натуральная степень) под интегралом умножается на некоторую степень , то интеграл вычисляется методом интегрирования по частям, что разобрано выше. Рассмотрим теперь интегрирование выражений, в которых аргумент в числителе входит только под знаком логарифма (для простоты – натурального). Это интегралы вида . Здесь под понимается любая формула, в которую аргумент входит только в комбинации (где и − некоторые числа), причем вся эта формула обязательно под интегралом должна делиться на (это деление может быть и представлено и умножением на ). В этом случае рекомендуется замена переменной в интеграле по формуле (так новая переменная связана с исходной переменной ). Найдем дифференциал : . Таким образом, , откуда . Поэтому при замене переменной в интеграле вида (который может быть записан и в виде ) при указанной замене выражение везде заменяется на , а заменяется на . Оформляется это следующей записью:

(1) .

Отметим, что в часто встречающемся частном случае интеграла вида (т.е. при ) формула (1) переходит в более простую:

(2) .

Приведем примеры на описанный прием вычисления интегралов.

Пример 1. Вычислить .

Решение. В числителе входит только в комбинации и есть в знаменателе, поэтому используем замену переменной (1) (при ): { остались интегралы из простой таблицы, только переменная интегрирования теперь обозначена не , а , поэтому и ответ будет с этой переменной} { возвращаемся в полученном ответе к старой переменной , учитывая, что }= . Окончательно:

.

Замечание. В конце ответа можно было бы заменить одной буквой − от этого все множество соответствующих первообразных не изменилось бы.

Пример 2. Вычислить .

Решение. В числителе входит только под знаком логарифма есть в знаменателе, поэтому используем замену переменной (2): { первый интеграл – табличный, а для вычисления второго воспользуемся результатом примера 2 предыдущего параграфа , заменив, естественно, на }= ={ возвращаемся в полученном ответе к старой переменной , учитывая, что } . Итак, .