Вычисление определенного интеграла

 

Рассмотрим интеграл с переменным верхним пределом . Обозначим . Производная функции по переменному верхнему пределу х имеет вид:

.

Аналогичная формула справедлива и для случая переменного нижнего предела.

Теорема. Для всякой функции , непрерывной на отрезке , существует на этом отрезке первообразная, а значит, существует неопределенный интеграл.

Теорема. (Теорема Ньютона – Лейбница) Если функция – произвольная первообразная от непрерывной функции , то

это выражение известно под названием формулы Ньютона – Лейбница.

Доказательство. Пусть – произвольная первообразная функции на отрезке . Тогда в соответствии с приведенной выше теоремой, функция также

является первообразной для функции на этом отрезке. Так как любые две первообразные непрерывной функции могут отличаться только на постоянную, то

или .

При соответствующем выборе С это равенство справедливо для любого х, т.е. при :

.

Тогда . А при : .

Заменив переменную на переменную х, получаем формулу Ньютона – Лейбница:

.

Теорема доказана.

Иногда применяют обозначение .

Формула Ньютона – Лейбница представляет собой общий подход к нахождению определенных интегралов.

Что касается приемов вычисления определенных интегралов, то они практически ничем не отличаются от всех тех приемов и методов, которые были рассмотрены выше при нахождении неопределенных интегралов.

Точно так же применяются методы подстановки (замены переменной), метод интегрирования по частям, те же приемы нахождения первообразных для тригонометрических, иррациональных и трансцендентных функций. Особенностью является только то, что при применении этих приемов надо распространять преобразование не только на подынтегральную функцию, но и на пределы интегрирования. Заменяя переменную интегрирования, не забыть изменить соответственно пределы интегрирования.

 

Замена переменных в определённом интеграле

 

Пусть дан интеграл , где – непрерывная функция на отрезке .

Введем новую переменную в соответствии с формулой . Тогда если

1) ,

2) функции и непрерывны на отрезке

3) функция определена на отрезке , то

.

Тогда

Пример.

При замене переменной в определенном интеграле следует помнить о том, что вводимая функция (в рассмотренном примере это функция sin) должна быть непрерывна на отрезке интегрирования. В противном случае формальное применение формулы приводит к абсурду.

Пример.

, с другой стороны, если применить тригонометрическую подстановку,

,

т. е. два способа нахождения интеграла дают различные результаты. Это произошло из-за того, что не был учтен тот факт, что введенная переменная имеет на отрезке интегрирования разрыв (в точке ). Поэтому в данном случае такая подстановка неприменима. При замене переменной в определенном интеграле следует внимательно следить за выполнением перечисленных выше условий.

 

Интегрирование по частям определённого интеграла

 

Если функции и непрерывны на отрезке вместе со своими производными, то справедлива формула интегрирования по частям:

Вывод этой формулы абсолютно аналогичен выводу формулы интегрирования по частям для неопределенного интеграла, который был весьма подробно рассмотрен выше.

 

Приближенное вычисление определенного интеграла

 

Существует большое число функций, интеграл от которых не может быть выражен через элементарные функции. Для нахождения интегралов от подобных функций применяются разнообразные приближенные методы, суть которых заключается в том, что подинтегральная функция заменяется “близкой” к ней функцией, интеграл от которой выражается через элементарные функции.

 

Формула прямоугольников

 

Если известны значения функции в некоторых точках , то в качестве функции аппроксимирующей можно взять многочлен степени не выше , значения которого в выбранных точках равны значениям функции f(x) в этих точках.

.

Разобьем отрезок интегрирования на равных частей и положим . При этом:

, …., .

Составим суммы ; - соответственно нижнюю и верхнюю интегральные суммы. Первая соответствует вписанной ломаной, вторая – описанной. Тогда

или -

любая из этих формул может применяться для приближенного вычисления определенного интеграла и называется общей формулой прямоугольников.

 

Формула трапеций

 

Эта формула является более точной по сравнению с формулой прямоугольников. Подынтегральная функция в этом случае заменяется на вписанную ломаную.

 

y

a b x

Геометрически площадь криволинейной трапеции заменяется суммой площадей вписанных трапеций. Очевидно, что чем больше взять точек разбиения интервала, тем с большей точностью будет вычислен интеграл.

Площади вписанных трапеций вычисляются по формулам:

;

.

После приведения подобных слагаемых получаем формулу трапеций:

 

Формула парабол

(формула Симпсона или квадратурная формула).

 

Разделим отрезок интегрирования на четное число отрезков . Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции заменим на площадь криволинейной трапеции, ограниченной параболой второй степени с осью симметрии, параллельной оси Оу и проходящей через точки кривой, со значениями , , . Для каждой пары отрезков построим такую параболу.

 

 

0 х

 

Уравнения этих парабол имеют вид , где коэффициенты могут быть легко найдены по трем точкам пересечения параболы с исходной кривой.

(6.1)

Обозначим .

.

Если принять , то (6.2)

Тогда уравнения значений функции (6.1) имеют вид:

C учетом этого: .

Отсюда уравнение (6.2) примет вид: .

Тогда

Складывая эти выражения, получаем формулу Симпсона:

.

Чем больше взять число , тем более точное значение интеграла будет получено.

 

Пример. Вычислить приближенное значение определенного интеграла

с помощью формулы Симпсона, разбив отрезок интегрирования на 10 частей. По формуле Симпсона получим:

m
x	-2	-1
f(x)	2.828	3.873		4.123	4.899	6.557	8.944	11.874	15.232	18.947	22.978

Точное значение этого интеграла – 91.173.

Как видно, даже при сравнительно большом шаге разбиения точность полученного результата вполне удовлетворительная.

Для сравнения применим к этой же задаче формулу трапеций.

Формула трапеций дала менее точный результат по сравнению с формулой Симпсона.

Кроме вышеперечисленных способов, можно вычислить значение определенного интеграла с помощью разложения подынтегральной функции в степенной ряд.

Принцип этого метода состоит в том, чтобы заменить подынтегральную функцию по формуле Тейлора и почленно проинтегрировать полученную сумму.

Пример. С точностью до 0,001 вычислить интеграл

.

Так как интегрирование производится в окрестности точки , то можно воспользоваться для разложения подынтегральной функции формулой Маклорена.

Разложение функции имеет вид:

.

Зная разложение функции легко найти функцию :

.

Теперь представим в виде ряда подынтегральное выражение:

.

Теперь представим наш интеграл в виде:

.

Применим теорему о почленном интегрировании ряда. (Т.е. интеграл от суммы будет представлен в виде суммы интегралов членов ряда).

Вообще говоря, со строго теоретической точки зрения для применения этой теоремы надо доказать, что ряд сходится равномерно на отрезке интегрирования .

Таким образом

Получаем:

Как видно, абсолютная величина членов ряда очень быстро уменьшается, и требуемая точность достигается уже при третьем члене разложения.

Более точное значение этого интеграла: 0,2482725418…