Вопрос 51. Определение определенного интеграла

Пусть задана функция y=f(x) на отрезке [a;b].

Разобьем сегмент [a;b] произвольно точками деления.

x₀=a, x₁,x₂,…x_n=b

∆x_i=x_i-x_i-1

Выберем на участке [x_i;x_i+1] произвольную точку Сi_.

Составим сумму ,

Определение: Предел интегрированных сумм при λ→0 называется определенным интегралом, а функция y=f(x) называется интегрированной на сегменте [a;b]

-конечный предел

В определении определенного интеграла:

1) Произвольное разбиение

2) Произвольный выбор точки С_i

Рассмотрим геометрический смысл определенного интеграла:

Определение: Назовем криволинейной трапецией фигуру, которую образована прямыми x=a,x=b,y=0,y=b(x).

Выясним смысл слагаемого в интегральной сумме :

каждое слагаемое есть площадь прямоугольника со сторонами (∆x_i;f(c_i)) при λ→0 эти S→S криволинейной трапеции.

Т.к. в определении определенного интеграла предел должен быть конечным, то необходимо, чтобы функция y=f(x) на отрезке [a;b]была ограниченной, т.е. ƎM>0,

 

Теорема: Все непрерывные функции на [a;b]интегрируемы на этом отрезке.

y=f(x)-непрерывна на [a;b]=> - существует.

Вопрос 52.Свойства неопределенного интеграла

Данные свойства вытекают из свойств предела функции.

Докажем свойство 3.

Найдем предел интегрированной суммы.

Свойства, связанные с неравенствами:

Свойство 3 вытекает из свойства 2.

Определение: Назовем средним значением функции на [a;b] величину

m≤fcp≤M

Если f(x) непрерывна, то по свойству непрерывной функции это значение fср. примется функцией в некоторой точке С ∈ (a;b)

Поэтому докажем важную теорему о среднем:

Вопрос 53.Интегрируемость непрерывной функции

Если функция f (x) непрерывна на отрезке [a, b], то она интегрируема на нем.

Вопрос 54. Интеграл с переменным верхним пределом

Пусть y=f(x) интегрируема на [a;b]

, где x_i[a;b] называется интегралом с переменным верхним пределом.

Теорема:

Если функция f(x) непрерывна на [a;b], то функция F(x) также непрерывна на [a;b]

Доказательство:

,

Составим приращение:

Тогда по теореме о среднем:

Устремим ∆x→0:

- а это определение непрерывности функции(бесконечно малому приращению

аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции)

 

Вопрос 55. Существование первообразной для непрерывной функции.

Теорема: Пусть функция f(x) непрерывна на [a;b] тогда F(x)- дифференцирована на [a;b] и справедлива формула: .

Т.е F(x) является первообразной для функции f(x).

Доказательство:

Составим разностное отношение

, где

Перейдем к пределу при х→0

с→х

F’(x)=f(x)

Вопрос 56.Формула Ньютона-Лейбница

Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a;b] и F(x)- любая первообразная для f(x) на [a;b]. Тогда определенный интеграл от функции f(x) на [a;b] равен приращению первообразной F(x) на этом отрезке, т.е. .

Доказательство:

F’(x)=f(x)

Пример:

Вопрос 57. Замена переменной в определенном интеграле.

Теорема: Пусть функция φ(t) имеет непрерывную производную на отрезке [a;b], а= φ(α), b= φ(β) и функция f(x) непрерывна в каждой точке х вида х= φ(t), где t∈ (a;b).

Тогда справедливо следующее равенство:

Пусть F(x) и Ф(t) — некоторые первообразные для функций f (x) и f (φ (t))·φ ' (t). Доказано, что F (φ (t)) также является первообразной для функции f (φ (t))·φ ' (t). Тогда найдется такое число С, что Ф(t) = F(φ (t)) + C, где t ∈ [ α, β]. Следовательно,

Ф(β) - Ф(α) = F(φ (β)) + C - (F(φ (α)) + C) = F(b) - F(a).

Использование замены переменной позволяет упростить интеграл, приблизив его к «табличному». При этом в отличие от неопределенного интеграла, в данном случае нет необходимости возвращаться к исходной переменной интегрирования. Достаточно лишь найти пределы интегрирования α и β по новой переменной t как решение относительно переменной t из уравнений φ (t) = a и φ (t) = b.

Вопрос 58.Интегрирование по частям в определенном интеграле.

Пусть функции u=u(x) и υ=υ(х) имеют непрерывные производные на отрезке [a;b], тогда:

Формула интегрирования по частям для определенного интеграла:

, где

u- должно упроститься

υ- легко интегрироваться

Поскольку (uυ)’=u’υ+uυ’, то функция uυ является первообразной для функции u’υ+uυ’.

Тогда, по формуле Ньютона-Лейбница получаем:

, что равносильно , т.к. по определению дифференциала u’(x)dx=du и υ’(x)dx=dυ

Вопрос 59.Геометрические приложения определенного интеграла(вычисление площади, вычисление длины дуги кривой)