Вопрос 18. Непрерывность суммы произведения и частного в непрерывной функции.

Если функции f(x) и g(x) непрерывны в точке х₀, то их сумма, произведение и частное(если g(x₀)≠0) являются функциями, непрерывными в точке х₀.

Доказательство:

Покажем непрерывность частного. Пусть f(x),g(x) непрерывны в точке х₀, т.е. , , причем g(x₀)≠0.

По теореме об арифметических действиях с пределами существует , и этот предел равен

, что означает непрерывность функции в точке х₀.

Вопрос 19. Непрерывность элементарной функции в области определения.

Теорема: Все элементарные функции непрерывны в области определения.

Непрерывность рациональных функций:

1. Постоянная функция y(х) = C = const, очевидно, непрерывна в любой точке (предел постоянной функции равен этой постоянной в любой точке).

2.Функция y(х)= х непрерывна в любой точке х (для "e>0 возьмём d = e, тогда если | х- х0|<d, то | f(х)- f(х0)| = | х- х0|<e=d).

3.Функция y(х)= х² непрерывна в любой точке х как произведение двух непрерывных функций.

4.По индукции функция y(х)= хn = хn-1 х непрерывна в любой точке х как произведение двух непрерывных функций. По той же причине непрерывна функция y(х)= аnхn, где аn=C=const. 5.Рациональная функция непрерывна в любой точке х как сумма непрерывных функций.

Непрерывность дробно-рациональных функций:

1) непрерывна в любой точке х, в которой знаменатель отличен от 0, как частное непрерывных функций.

Непрерывность показательной функции y=a^x, a>0,a≠1.

Требуется доказать, что . Рассмотрим разность . Эта разность - БМ функция при х® х0, следовательно, ах® при при х® х0

Непрерывность логарифмической функции . По формуле эквивалентных БМ ~

Непрерывность тригонометрических функций:

а. y=sinx.

sinx-sinx₀

при х ® х0 (мы воспользовались неравенством |sin х |£| х|).

б. непрерывна как суперпозиция непрерывных функций.

в. Функции y=tgx и y=ctgx непрерывны в точках, в которых они определены, как частное непрерывных функций.

Вопрос 20. Непрерывность функции справа и слева в точке разрыва функции и их классификации.

Функция f(x) называется непрерывной в точке х0 слева, если

Функция f(x) называется непрерывной в точке х0 справа, если

Если одно из этих условий не выполнено, то функция f(x) имеет в точке х0 разрыв, соответственно, слева или справа.

Классификация точек разрыва.

Разрывы первого рода:

Пусть существует левый предел а и правый предел b и a≠b, тогда у функции разрыв первого рода типа конечного скачка.

a≠b

 

Если один из односторонних пределов равен ∞, то говорят, у функции разрыв второго рода типа бесконечного скачка.

 

Вопрос 21. Теорема о сохранении знаков непрерывной функции.

Пусть функция f(x) непрерывна в точке x₀ и f(x)≠0, тогда сущее. окрестность этой точки, в которой функция сохраняет знак.

Доказательство:

Пусть для определенности f(x₀)>0, т.к. , то .

f(x₀) можно сделать положительным за счет выбора числа ε.

f(x)>0

x ∈(x₀- ε);x₀+ ε)

 

Вопрос 22. Теорема о нуле непрерывной функции и промежуточном значении.

1) Пусть функция f(x) непрерывна на сегменте [a;b], и на концах его принимает значение разных знаков, тогда обязательно найдется такая точка С внутри [a;b], в которой функция обращается в 0.

[a;b] x∈[a;b] f(c)=0

Для разрывной функции это не будет справедливо.

 

Доказательство:

Разделим [a;b] пополам:

1)Пусть f(c)=0

2) f(c)≠0

На концах из каждого-то из 2х полученных отрезках функция принимает на его концах разные знаки.

[a₁;b₁] вновь разделим пополам.

Опять выбираем тот отрезок, на концах которого функция принимает значение разных знаков [a₂;b₂] и опять разделим пополам.

Длина отрезка

Левые концы отрезка a₁, а₂, …а_n – образуют возрастающую последовательность, но ограничены всегда числом b.

По теореме о монотонной последовательности существует.

Правые концы отрезков образуют монотонно убывающую последовательность, но всегда ограничены числом а.

По теореме о монотонной последовательности существует.

Т.к. , то

По теореме о сохранении знака непрерывной функции с одной стороны f(a_n)<0 => f(c)<0; f(b_n)>0 => f(c)>0 => f(c)=0.

2)Если непрерывная функция принимает два значения, то она принимает и любое значение между ними.

2) Пусть функция f(x) непрерывна на [a;b], тогда она ограничена на этом отрезке,