Вопрос 38. Исследование функции на выпуклость.

Пусть y=f(x) дифференцируема на отрезке (a;b), т.е. в каждой точке х ∈ (a;b) можно провести касательную

Определение 1. Функция называется выпуклой вниз, если для всех х из интервала [a;b] график

функции лежит выше касательной.

 

 

Определение 2. Функция называется выпуклой вверх, если на данном интервале ее график лежит выше касательной

 

 

Достаточное условие выпуклости:

Теорема1.

Пусть функция y=f(x) на участке (a;b) имеет вторую производную, тогда f’’(x)>0, то функция выпуклая вниз, если f’’(x)<0, то функция выпуклая вверх.

Доказательство:

Пусть f’’(x)>0; x∈ (a;b) обозначим с∈ (a;b)

Запишем уравнение касательной, проходящей через точку С; у- ордината касательной.

У-f(c)=f’(c)(x-c)

Для функции y=f(x) запишем формулу Тейлора в окрестности точки С.

Найдем разность между точками прямой:

=> y>Y

 

 

Определение 3. Точкой С называется точка перегиба функции, в окрестности которой функция меняет выпуклость.

 

Теорема2 Пусть функция дважды дифференцируема, тогда для того, чтобы точка С была точкой перегиба, необходимо, чтобы вторая производная в этой точке =0.

Теорема3. Пусть вторая производная в точке С=0 и в окрестности этой точки меняет знак тогда в этой точке будет перегиб.

 

 

 

 

Схема исследования функции на выпуклость и наличие точек перегиба:

1) Находим вторую производную функции f’’(x)

2) Находим точки, в которых вторая производная f’’(x)=0 или не сущетвует.

3) Исследуем знак второй производной слева и справа от найденных точек и делаем вывод об интервалах выпуклости и наличии точек перегиба.

4) Находим значение функции в точках перегиба.

Вопрос 39. Асимптоты графика функции.

Асимптотой графика функции y=f(x) называется прямая, обладающая таким свойством, что расстояние от точки (x,f(x)) до этой прямой стремится к 0 при неограниченном удалении точки графика от начала координат.

Существует вертикальная, горизонтальная и наклонная асимптоты.

1)Пусть функция определена в некоторой окрестности точки x₀ и хотя бы один из пределов функции при х→х₀ -0(слева) или при х→х₀ +0(справа) равен бесконечности, т.е. или . Тогда прямая х=х₀ является вертикальной асимптотой графика функции.

Пусть функция определена при достаточно больших х и существует конечный предел функции . Тогда прямая y=b есть горизонтальная асимптота графика функции.

Пусть функция определена при достаточно больших х и существуют ее конечные пределы . Тогда прямая y=kx+b является наклонной асимптотой графика функции.

Уравнения возможной асимптоты:

1) Если к=0, то функция имеет горизонтальную асимптоту.

 

2) Пусть при х→а f(x)→∞, тогда прямая х=а называется вертикальной асимптотой.

Вопрос 40. Исследование функции и построение графика.

1)Находим область определения функции

2) Исследуем функцию на четность-нечетность.

- четная, график симметричен относительно ОУ

- нечетная, график симметричен относительно начала координат.

3) Ищем точки пересечения с осями координат

4) Интервалы монотонности функции

5) Находим асимптоты графиков

6) Находим интервалы выпуклости функции и точки перегиба

7) Построение графика функции

Вопрос 41. Функции двух переменных. Область определения.

Функция 2х переменных обозначается: z=f(x;y)

Тогда ее область определения Х есть подмножество координат плоскости Оху.

 

 

Каждой точке из области определения поставлено по определенному закону z.

(x,y) ∈Д→z∈R

Любой функции z=f(x;y) можно поставить в соответствие две функции одной переменной: при фиксированном значении х=х₀ функцию z=f(x₀;y) и при фиксированном значении у=у₀ функцию z=f(x;y₀). Их вид может отличаться.

Графиком функции двух переменных z=f(x;y) называется множество точек трехмерного пространства (x;y;z). График функции двух переменных z=f(x;y) представляет собой некоторую поверхность в трехмерном пространстве.

Для построения графика функции z=f(x;y) полезно рассматривать функции одной переменной z=f(x;y₀) и z=f(x₀;y), представляющие сечения поверхности z=f(x;y) плоскостями, параллельными координатным плоскостям Oxz и Oyz.

 

Пример:

 

 

О.Д.З.:

 

или

 

1)

2)

 

 

1. z=x² +y² (параболоида)

2. z²=x² +y², z>0 (Коническая поверхность)

3. x² +y² +z²=R² (сфера)

4. (эллипсоид)