Определение предела функции в точке по Гейне.

Число A называется пределом функции f(x) в точке x= , если для любой сходящейся к последовательности значений аргумента х, отличных от соответствующая последовательность значений функции f() сходится к числу А.

 

 

Сравнение бесконечно малых величин. Порядок малости.

Функция α(х) называется б.м. функцией при х -> a (или в окрестности точки а),если limα(x)=0.

^x->a

Две б.м. α и β называются бесконечно малыми одного порядка, если предел их отношения равен некоторому числу, отличному от нуля, т.е. если lim(α/β)=A ≠ 0.

^x->a

Две б.м. α и β называются эквивалентными если предел их отношения равен 1, т.е.:

lim(α/β)=1 α~β

^x->a

Если lim(α/β)=0 (a lim(β/α)=∞), то α называется б.м. высшего порядка малости по

^{x->a x->a}

сравнению с бесконечно малой β, напротив,β называется при этой бесконечно малой низшего порядка малости по сравнению с α.

Бесконечно малая α называется б.м. к-го порядка по отношению к б.м. β, если α и β^к будут бесконечно малыми одного порядка, т.е. lim (α/β^k)=A ≠ 0.

^x->a

Если отношение α/β при x->a не стремится ни к какому пределу; ни к конечному, ни к бесконечному, то говорят, что б.м. α и β несравнимы между собой.

 

Таблица э.м.ф.

1) sinα(x)~α(x)

2) tgα(x)~α(x)

3) 1 – cosα(x)~

4) arcsinα(x)~α(x)

5) arctgα(x)~α(x)

6) ln(1+α(x))~α(x)

7) (a>0)

e^α(x)-1~α(x)

8) (1+ )

-1~

Определение функции, непрерывной в точке, по Коши.

Функция f(x), определённая в некоторой окрестности точки х₀ называется непрерывной в точке х₀ если \

Функция f(x) называется непрерывной в точке х_0, предельной для области определения этой функции, если для любого наперед заданного числа >0,существует такое >0,что для всех значений х из области определения f(x), для которых < выполняется неравенство < .

Определение функции, непрерывной в точке, на языке приращений

Пусть y=f(x) непрерывна в точке и существует ,

- бесконечно малая, при , то

- это приращение функции.

- приращение аргумента.

Функция y=f(x) называется непрерывной в точке , если эта функция определена в какой-нибудь окрестности точки и если , т.е. если бесконечно малому

приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.

 

Точки разрыва и их классификации.

Если в какой-либо точке х₀ функция не является непрерывной,то точка х₀ называется точкой разрыва функции, а сама функция разрывной в этой точке.

Различают 2 вида точек разрыва: точки разрыва первого рода и точки разрыва второго рода.

Если в точке разрыва х₀ существуют конечные односторонние пределы функции, то разрыв функции называется разрывом первого рода.

Если при этом f(x₀-0)=f(x₀+0) f(x₀), то х₀ – точка устранимого разрыва, если

f(x₀-0) f(x₀+0), то х₀ – точка неустранимого разрыва первого рода, а разность

f(x₀ +0)-f(x₀-0) называется скачком функции f(x) в точке х₀.

Понятие дифференциала. Геометрический смысл дифференциала.

Дифференциал функции в некоторой точке – главная линейная часть приращения функции, равная произведению производной этой фунции в выбранной точке на приращение независимой переменной

Геометрически дифференциал равен приращению орди­наты касательной, проведенной к графику функции в точке хо.

Производная же численно равна угловому коэффициенту касательной.

Рассмотрим ^М0КN: tga=NK/M0N =>f’(x₀)= NK/ x, NK= f’(x₀)* x => NK-это диф-л ф-ции в тx₀

равен приращению, которое получает касательная, проведенная в точке М₀, соответствующая приращению ^x

 

12 Формула Тейлора (Маклорена) с остаточным членом в форме Пеано.

Если y=f(x) определена и n-раз дифференцируема в , то можно записать:

Остаточный член в форме Пеано

r_n (x)=o((x-x₀)ⁿ)

Теорема. Если функция f(x) определена и n раз дифференцируема в окрестности точки x₀, то при x ® x₀ имеет место формула

 

 

 

 

где r_n (x)=o((x-x₀)ⁿ) - остаточный член в форме Пеано.

Если взять в формуле Тейлора x0 = 0, то мы получим формулу Маклорена с остаточным членом в форме Пеано

Понятие предела ФНП

Пусть функция z = f (M) определена на множестве D, M (x ₁, x ₂,…, x _n) Î Rⁿ, M ₀(x ₁⁰, x ₂⁰,…, x _n⁰).

Определение. ( По Коши ) Число А называют пределом функции z = f (M) в точке М ₀ (при M ® M ₀), если " e > $ d >такое, что" M Î D, удовлетворяющей неравенству0 <r(M,M₀)<d, выполняется неравенство |f (M) - A|<e.

 

Понятие частной производной ФНП. Геометрический смысл

Величина называется частной производной от функции u=f (x ₁, x ₂,…, x _n) по i -ой переменной и обозначается символом или символом .