Дифференциируемость сложной функции

Дифференциируемость сложной функции

Пусть функции x(t), g(t) одной переменной t дифференциируемы в точке to и пусть х0=х(to), уо=у(tо). Если функция z=f(x(t)) дифференциируема в точке Мо(хо,уо), то сложная функция z=f(x(t),y(t)) определена в некоторой окрестности точки t0, имеет в этой точке производную и эта производная вычисляется по формуле:

№6. Полный дифференциал ф-ции неск. переменных

Пусть дана функция z=f(x,y): D→R, DєR², M₀єD. Тогда для этой ф-ции справедливо: Δz=∂z/ ∂x(M₀) Δx + ∂z/ ∂y(M₀) Δy+α(Δx, Δy) Δx+ β(Δx, Δy) Δy

Опр. Главная линейная часть приращения ф-ции (относительно Δx, Δy) наз. полным дифференциалом этой ф-ции в т. M₀. Обозначается dz.

dz=∂z/ ∂x│ M₀* Δx+ ∂z/ ∂y│ M₀* Δy, вместо Δx, Δy применяют dx и dy.

Полный дифференциал можно использовать для приближенных вычислений значений функции.

∆z=f(M)-F(M₀)

∆z≈dz

f(x₀+∆x, y₀+∆y) ≈f(x₀, y₀)+ ∂z(x₀, y₀)/ ∂x * Δx +∂z(x₀, y₀)/ ∂y* Δy

 

№7-8. Экстремумы функций многих переменных

Пусть функция z=f(x,y) определена в некоторой δ-окрестности точки М₀(х₀,у₀).Тогда функция z=f(x,y)имеет в точке М₀ максимум(минимум), если для всех точек этой окрестности выполняется неравенство f(x₀,y₀)>f(x,y) (f(x₀,y₀)<f(x,y)).

Теорема. Необходимое условие экстремума.

Пусть функция z=f(x,y) имеет экстремум в точке М₀(х₀,у₀). Тогда если в этой точке существуют конечные частные производные первого порядка, то они равны нулю.

Критические точки (подозрительные на экстремум) – те точки, в к-рых все частные производные первого порядка равны нулю.

Теорема. Достаточные условия экстремума.

Пусть ф-ция z=f(x,y) дифференцируема в точке М₀(х₀,у₀),

∂f(x₀,y₀) ∂f(x₀,y₀)

причем ∂x ⁼0 и ∂y ⁼0, и имеет в ней и в некоторой ее δ-окрестности частные производные второго порядка:

∂²z ∂²z ∂²z

∂x²⁼A, ∂x∂y⁼ B, ∂y²⁼C.

Тогда если определитель второго порядка

│А В│

∆=│В С│=АС-В²>0,

то в точке М₀(х₀,у₀) функция z=f(x,y) имеет экстремум, причем если A<0, - максимум, а если А>0, - минимум. В случае AC-B²=0 требуются дополнительные исследования.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции двух переменных в заданной области в дополнение к заданным точкам экстремума находят ее значения на границе области.

 

№8 Достаточное условие экстремума функции двух переменных.

Пусть функция z=f(x,y) дифференцируется в точке М0(x0,y0), причем (∂f(x0,y0)/∂x)=0 и (∂f(x0,y0)/∂х)=0,

и имеет в ней и в некоторой ее δ-окрестности частные производные второго порядка:

(∂^2z/∂x^2)=A, (∂^2z/∂x∂y)=B, ∂^2z/∂y^2=C.

Тогда если определитель второго порядка

▲=│A B│

│B C│=AC-B^2>0,

то в точке M0(x0, y0) функция z=f(x,y) имеет экстремум, причем если А< 0, - максимум, а если А> 0, -

минимум. В случае АС-В^2 < 0 функция z = f(x,y) экстремума не имеет. В случае требуются дополнительные исследования.

 

Пример Найти экстремум функции z=2x^2+y^2-4x+8y-7

Находим:

(∂z/∂x)=4x-4, (∂z/∂y)=2y+8.

Критической точкой является точка с координатами 1, -4.

Вычисляем величины А, В и С.

A=(∂^2z/∂x^2)=4, B=(∂^2z/∂x∂y)=0, C=(∂^2y/∂y^2)=2

 

Составляем определитель и вычисляем его значение:

∆=│4 0│

│0 2│=δ>0.

Так как ∆>0 и А >0,то (1, -4) – точка минимума и zmin = 2+16-4-32-7=-25

 

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции двух переменных в заданной

области(как и в случае одной переменной) в дополнение к заданным точкам экстремума находят ее значения на границе области.

Так, если граница области задана уравн. y=φ(x), то находят наименьшее и наибольшее значения функции

z=f(x,φ(x)).Затем из всех найденных функций выбирают наибольшее и наименьшее.

 

№9. Наибольшее и наименьшее значение непрерывной функции в замкнутой области.

Z=f(x;y):D→R, D?R²

D-замкнутая область-область, содержащая все свои предельные точки.

Z=f(x:y), f-дифференцируема в D.

1. Найти стационарные точки.

2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на граничной области.

3. Сравнить все значения и выбрать среди них наибольшее и наименьшее значение.

 

Геом. и экон. приложения опр. интеграла. S плоской фигуры. Объем тела вращения

y=f(x) (f(x)≥0), то площадь криволинейной трапеции, ограниченной этой кривой, двумя прямыми x=a и x=b и отрезком оси абсцисс a≤x≤b, определяется формулой

Объём тела вращения криволин. трапеции, ограниченной кривой y= f(x), осью Ох и двумя прямыми x=a и x=b, вокруг оси Ох

Объём тела, образов. вращением вокруг оси Oy фигуры, огранич. кривой x=g(y), осью Oy и двумя прямыми y=c и y=d,

Длина дуги гладкой кривой y=f(x) между двумя точками с абсциссами x=a и x=b

Средняя производительность труда, средняя мощность и др. вычисляется по формуле

- среднее значение функции.

Дифф-е ур-я.

Соотношение вида наз-ся обыкновенным ДУ n-го порядка, если в F явно входит (старшая производная) и не входят производные , где m>n. n определяет порядок ур-я. y’=f(x,y) – ур-е 1-го порядка. Если ф-я определена в ,тоy=y(x) будет наз-ся решением ур-я (ур-е n-го порядка разрешенное относительно старшей производной) на

Задача Коши: нужно выделить реш-е, кот-е удовл. нач. условию (знак системы)

 

№29.Диф уравнения 1-го порядка с разделяющимися переменными и приводящиеся к ним.

Уравнение вида y´=f(x)g(y)-уравнение с разделяющимися переменными,

m₁(x)n₁(y)dx+m₂(x)n₂(y)dy=0 -уравнение с разделяющимися переменными в симметричной форме. Основной метод решения- разделение переменных, т.е. умножение левой и правой частей уравнения на такой множитель, чтобы после упрощения при dx стояла функция только от х,при dy- только от y.

,

Проинтегрируем. Общий интеграл уравнений запишется в виде:

; .

При умножении можно потерять соответственно решение y=y₀, где g(y₀)=0, для первого уравнения, или x=x₀, где m₂(x₀)=0, и y=y₀, где n₁(y₀)=0, для второго. Эти случаи следует рассматривать отдельно. Найти y_k, такие, что g(y_k)=0, и проверить являются ли y=y_k решениями уравнения и заключены ли они в общем интеграле при каком-то значении С_k;аналогично для второго уравнения.

Уравнение вида y´=f(ax+by+c) приводится к уравнению с разделяющимися переменными. ax+by+c=z(x)

z´=a+by´; z´=a-+bf(z); dz/dx=a+bf(z).

 

№30 Однородные диф. уравнения 1-ого порядка.

dy/dx = f (y/x) – однородное уравнение 1-го порядка

Функция n переменных z = f (x1, x2,…,x_n) называется однородной функцией степени , если формальная подстановка tx1 вместо x1, tx2 вместо х2,…, txn вместо xn, где t – любое допустимое число, после преобразований приведет к тождеству

если =0, то функция называется однородной нулевой степени

№31. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Методы решения.

Линейное диф уравнение перв порядка - ур первой степени относительно у и у', т.е. ур вида у'+P(x)y=Q(x) (если Q(x)≡0, то уравнение однородное, если не равно то неоднородное)

-Решение однородного уравнения

Общее решение:

-Реш неоднородного ур:

1 метод Бернулли. искомая функция представляется в виде произведения двух функций .

- дифференцирование по частям. Подставляя в исходное уравнение, получаем:

можно одну из составляющих произведение функций выбрать так, что выражение

возможно получить функцию u, проинтегрировав, полученное соотношение как однородное диф уравнение. Для нахождения второй неизвестной функции v подставим поученное выражение для функции u в исходное уравнение с учетом того, что выражение, стоящее в скобках, равно нулю.

; ; ;

Окончательно получаем формулу:

Вронскиан.

Если решения у1(х), у2(х) уравнения (11.21) линейно независимы, то решение у(х)=С1у1(х)+С2у2(х), где С1,С2 – произвольные портоянные, является общим.

Доказательство. Для доказательства следует лишь проверить то, что функция у=С1у1+С2у2 решает любую задачу Коши для начальных условий (х0? Х, у0,у’0).

Пусть х? Х, у0,у’0 – произвольные числа. Для решения задачи Коши необходимо и достаточно, чтобы линейная система относительно С1 И С2

у1(х0)С1+у2(х)С2=у0, │

у’1(х0)С1+у’2(х0)С2=у0 │ (11.25)

имела единственное решение для любых х0? Х,

у0, у’0.

Это условие эквивалентно тому, чтобы на Х

 

W’(x)=│y1(x) y2(x) │

│ y’1(x) y’2(x)│= y1(x) y’2(x)- y’1(x) y2(x) ≠ 0 (11.26)

Покажем, что если определитель W(x) отличен от нуля в одной точке х0? Х, то он отличен от нуля на всем множестве Х.

Определитель W(x) называется вронскианом или

Определителем Вронского уравнения (11.21).

Пусть в некоторой точке х0? Х W(x0) = W0≠0.

Продифференцировав Ур.(11.26), получим:

W’(x)= y’1(x) y’2(x)+ y1(x) y’’2(x)-y1’’(x)y2(x)-y’1(x)y’2(x)=-(B(x)/A(x))(y1(x)y’2(x)-y’1(x)y2(x))=-(B(x)/A(x))W(x),

Т.е. вронскиан удолетворяет линейному однородному дифференциальному уравнению

W’(x)+(B(x)/A(x))W(x)=0,

A значаит, х

W(x)=W0exp(-∫ (В(t)/A(t)dt)).

х0

Поскольку на X A(x)≠0 и A(х), B(x) непрерывны, то

х

Exp(-∫ (В(t)/A(t)dt)) непрерывна на X и не обращается в

х0

нуль, что и доказывает утверждение.

Пусть у1(х), у2(х) – линейно независимые решения ур (11.21):

 

Очевидно, что ψ’(x)≠ 0 на Х, тогда в некоторой

Точке х0? Х ψ’(x)≠ 0. Имеем

 

(у2(х)/у1(х))’=((у1(х)у’2(x)-y’1(x)y2(x)/y1^2(x))=(W(x)/y1^2(x))=ψ’(x).

 

Таким образом

Отсюда следует однозначная разрешимость уравнения (11.25) и то,что функция (11.22) есть общее решение Ур (11.21).

Два линейно независимых решения у=у1(х), у=у2(х) называют фундаментальной систеиой решений уравнения (11.21)

 

№33. Комплексные числа.

Комплексным числом - всякая упорядоченная пара (a;b) действительных чисел.

Х,Y=R z:(x,y)→(x+iy)

=i (мнимая единица)

i²=-1

Арифметические операции

1.Сложение и вычитание

Z₁=x₁+y₁, z₂=x₂+y₂ z₁+z₂=x₁+x₂+i(y₁+-y₂)

2.Умножение чисел

z₁ z₂=(x₁+iy₁)(x₂+iy₂)=x₁ x₂+x₁ y₂+x₂ y₂-y₁ y₂

z₁z₂=x ₁x₂-y₁ y₂+i(x ₁y₂+x₂ y₁)

3. Деление

z₁/z_{2= (}x₁+iy₁)(x₂-iy₂)/(x₂+iy₂)(x₂-iy₂)=((x₁x₂+y₁y₁)+i(x₂y₁-x₁y₂))/x ²₂+y ²₂= (x₁x₂+y₁y₂)/(x ₂² +y ²₂) + i(x₁y₁-x₂y₂/x ²₂+y ² ₂)

z=x+iy

Тригонометрическая форма записи комплексного числа.

формула Эйлера

 

 

Дифференциируемость сложной функции

Пусть функции x(t), g(t) одной переменной t дифференциируемы в точке to и пусть х0=х(to), уо=у(tо). Если функция z=f(x(t)) дифференциируема в точке Мо(хо,уо), то сложная функция z=f(x(t),y(t)) определена в некоторой окрестности точки t0, имеет в этой точке производную и эта производная вычисляется по формуле:

№6. Полный дифференциал ф-ции неск. переменных

Пусть дана функция z=f(x,y): D→R, DєR², M₀єD. Тогда для этой ф-ции справедливо: Δz=∂z/ ∂x(M₀) Δx + ∂z/ ∂y(M₀) Δy+α(Δx, Δy) Δx+ β(Δx, Δy) Δy

Опр. Главная линейная часть приращения ф-ции (относительно Δx, Δy) наз. полным дифференциалом этой ф-ции в т. M₀. Обозначается dz.

dz=∂z/ ∂x│ M₀* Δx+ ∂z/ ∂y│ M₀* Δy, вместо Δx, Δy применяют dx и dy.

Полный дифференциал можно использовать для приближенных вычислений значений функции.

∆z=f(M)-F(M₀)

∆z≈dz

f(x₀+∆x, y₀+∆y) ≈f(x₀, y₀)+ ∂z(x₀, y₀)/ ∂x * Δx +∂z(x₀, y₀)/ ∂y* Δy

 

№7-8. Экстремумы функций многих переменных

Пусть функция z=f(x,y) определена в некоторой δ-окрестности точки М₀(х₀,у₀).Тогда функция z=f(x,y)имеет в точке М₀ максимум(минимум), если для всех точек этой окрестности выполняется неравенство f(x₀,y₀)>f(x,y) (f(x₀,y₀)<f(x,y)).

Теорема. Необходимое условие экстремума.

Пусть функция z=f(x,y) имеет экстремум в точке М₀(х₀,у₀). Тогда если в этой точке существуют конечные частные производные первого порядка, то они равны нулю.

Критические точки (подозрительные на экстремум) – те точки, в к-рых все частные производные первого порядка равны нулю.

Теорема. Достаточные условия экстремума.

Пусть ф-ция z=f(x,y) дифференцируема в точке М₀(х₀,у₀),

∂f(x₀,y₀) ∂f(x₀,y₀)

причем ∂x ⁼0 и ∂y ⁼0, и имеет в ней и в некоторой ее δ-окрестности частные производные второго порядка:

∂²z ∂²z ∂²z

∂x²⁼A, ∂x∂y⁼ B, ∂y²⁼C.

Тогда если определитель второго порядка

│А В│

∆=│В С│=АС-В²>0,

то в точке М₀(х₀,у₀) функция z=f(x,y) имеет экстремум, причем если A<0, - максимум, а если А>0, - минимум. В случае AC-B²=0 требуются дополнительные исследования.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции двух переменных в заданной области в дополнение к заданным точкам экстремума находят ее значения на границе области.

 

№8 Достаточное условие экстремума функции двух переменных.

Пусть функция z=f(x,y) дифференцируется в точке М0(x0,y0), причем (∂f(x0,y0)/∂x)=0 и (∂f(x0,y0)/∂х)=0,

и имеет в ней и в некоторой ее δ-окрестности частные производные второго порядка:

(∂^2z/∂x^2)=A, (∂^2z/∂x∂y)=B, ∂^2z/∂y^2=C.

Тогда если определитель второго порядка

▲=│A B│

│B C│=AC-B^2>0,

то в точке M0(x0, y0) функция z=f(x,y) имеет экстремум, причем если А< 0, - максимум, а если А> 0, -

минимум. В случае АС-В^2 < 0 функция z = f(x,y) экстремума не имеет. В случае требуются дополнительные исследования.

 

Пример Найти экстремум функции z=2x^2+y^2-4x+8y-7

Находим:

(∂z/∂x)=4x-4, (∂z/∂y)=2y+8.

Критической точкой является точка с координатами 1, -4.

Вычисляем величины А, В и С.

A=(∂^2z/∂x^2)=4, B=(∂^2z/∂x∂y)=0, C=(∂^2y/∂y^2)=2

 

Составляем определитель и вычисляем его значение:

∆=│4 0│

│0 2│=δ>0.

Так как ∆>0 и А >0,то (1, -4) – точка минимума и zmin = 2+16-4-32-7=-25

 

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции двух переменных в заданной

области(как и в случае одной переменной) в дополнение к заданным точкам экстремума находят ее значения на границе области.

Так, если граница области задана уравн. y=φ(x), то находят наименьшее и наибольшее значения функции

z=f(x,φ(x)).Затем из всех найденных функций выбирают наибольшее и наименьшее.

 

№9. Наибольшее и наименьшее значение непрерывной функции в замкнутой области.

Z=f(x;y):D→R, D?R²

D-замкнутая область-область, содержащая все свои предельные точки.

Z=f(x:y), f-дифференцируема в D.

1. Найти стационарные точки.

2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на граничной области.

3. Сравнить все значения и выбрать среди них наибольшее и наименьшее значение.