Производная сложной функции нескольких переменных.

Пусть z=f(x,y) – функция двух переменных. Если зафиксировать один из аргументов, например, взять y=y₀, то получим функцию одной переменной z=f(x,y₀).

Частной производной функции z=f(x,y) в точке (x_0,y₀) по переменной x называется производная функции z=f(x,y₀) в точке x=x₀. Частная производная обозначается:

Дифференциалом функции z=f(x,y) называется выражение:

 

№11. Понятие об эмпирических формулах. Подбор параметров по способу наименьших квадратов. Выравнивание по прямой.

Эмпирическая формула-это формула, полученная на основании экспериментальных данных. Она приближённо заменяет табличную так, чтобы её значения мало отличались от экспериментальных данных.

Два этапа построения эмп. формулы:

1. подбор вида этой форм., зависящей от параметров,

2 определение по некоторому критерию её параметров.

Попытаемся провести такую прямую, чтобы суммы квадратов отклонений были минимальны

∑V_i →min

Этот же вопрос решим аналитически. Допустим, что значения точно удовлетворяют формуле y=ax+b, т.е. y₁=ax₁+b, …,

y_n=ax_n+b.Вычтем из каждого равенства предыдущее:

y₂-y₁=a(x₂-x₁),…,y_n-y_n-1=a(x_n-x_n-1)

y₂-y₁/ x₂-x₁=а=Δ_1,…,

y_n-y_n-1/ x_n-x_n-1=а=∆_n-1.

∆-первая разделённая разность

Теорема: прямая y=ax+b проходит через точки (х_i,y_i) тогда и только тогда, когда

∆₁=∆₂=…=∆_n-1=a.

Перейдём к нахождению параметров лин. формулы.В рез-те подстановки значений в y=ax+b должны появиться отклонения≠нулю.

ax₁+b- y₁=v₁,…, ax_n+b- y_n=v_n

Найдем значения при кот. сумма квадр min

z(a,b)=(ax₁+b- y₁)²+…+(ax_n+b- y_n)². Найдём наим значение этой функции.

∂z/∂a=2(ax₁+b- y₁) x₁+...+2 (ax_n+b- y_n)

∂z/∂b=2(ax₁+b- y₁)+…+ (ax_n+b- y_n). Приравняем частные производные к 0 и составим сист.

Для решения достаточно, чтобы определитель из коэффициентов неизвестных ≠0.

Покажем, что найденные значения параметров из системы дают минимум функции. Найдём произв 2 порядка.

 

 

А=∂²z/∂a²=2

В=∂²z/∂b²=2n

C=∂²z/∂a∂b=2

 

Выражение АВ-С>0 и А>0, тогда функция имеет ед точку минимума, а это и будет наим значение.

 

№14. Основные свойства неопределенного интеграла:

1. d()=f(x)dx;

2. =F(x)+C;

3. = ;

4. =a (a 0);

5. ()=f(x).

Таблица основных интегралов:

1. (a -1);

2. (x 0);

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. ;

11. ;

12. ;

№15.Замена переменной в неопр.интеграле. Инт-е по частям.

1) Пусть функция определена и дифференцируема на множестве , и пусть обозначает множество значений этой функции.Тогда если для функции существует на множестве первообразная функция ,

т.е. , то на множестве для функции существует первообразная, равная , т.е:

2) Если функции и дифференцируемы на множестве ,и кроме того, на этом множестве существует интеграл ,то на нем существует интеграл ,причем: = -

Док-во:

 

№16.Интегрирование рациональных функций.

Интегрирование рациональной функции после выделения целой части сводится к интегрированию правильной рациональной дроби P(x)/Q(x), причём степень числителя P(x) ниже степени знаменателя Q(x). Решается данная задача с помощью метода неопределённых коэффициентов. Если знаменатель правильной рациональной дроби раскладывается на множители:Q(x) = (x-a)^a (x-b)^b (x²+px+q)^y…(x²+kx+r)^z, где корни трёхчленов комплексные, то правильная дробь раскладывается на сумму простых дробей:

P(x)/Q(x) = A₁/ (x-a)+A₂/ (x-a)²+…+A_a /(x-a)^a+B₁/(x-b)+B₂/ (x-b)²+…+B_b/ (x-b)^b+…+(M₁x+N₁)/ (x²+px+q)+ (M₂x+N₂)/ (x²+px+q)²+…+(M_yx+N_y)/ (x²+px+q)^y+…+(C₁x+D₁)/ (x²+kx+r)+(C₂x+D₂)+ …+(С_zx+D_z)/ (x²+kx+q)^z,

(a, b, …, z принадлежат N). Для вычисления неопределённых коэффициентов A₁, A₂,…, обе части равенства умножением его на знаменатель приводят к целому виду, а затем приравнивают коэффициенты при одинаковых степенях x. Можно также определять эти коэффициенты, полагая в равенстве x равным числам, подобранным соответствующим образом. P(x) и Q(x) – многочлены

 

№18.Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические функции.

1) Интегр. вида ∫sin ax cos bx dx, ∫ cos ax cos bx dx, ∫ sin ax sin bx dx, где a ≠ b, находятся с пом. формул:

sin ax cos bx = ½ (sin(a-b)x + sin (a+b)x)

cos ax cos bx = ½ (cos(a-b)x + cos(a + b)x)

sin ax sin bx = ½ (cos(a-b)x - cos(a + b)x)

2) Интегр. вида I = ∫R(sin x, cos x)dx, где R – рациональная функция, приводящая к интегрированию рациональных функций с помощью подстановки tg(x/2)=t,

x=2arctg t

dx = 2 dt/(t² +1)

sin x= 2 tg (x/2)/ (1+tg²(x/2)) = 2t/(1+t²)

cos x = (1-tg²(x/2))/ (1+tg²(x/2))= (1-t²)/ (1+t²)

Т.к. I = ∫R(2t / (1+t²), то (1-t²) / (1+t²)) 2dt / (1+t²)

Эта подстановка является универсальной для интегралов этого типа.

 

3) Интегралы вида I = ∫sin^mx cosⁿx dx, где m и n – целые (не обязательно положительные) числа, если

1) n – целое, нечетное, >0, то заменяем sin x = t;

2) m - целое, нечетное, >0, то заменяем cos x = t;

3) m + n - четное, то заменяем tg x = t.

 

№ 20. Интегр. сумма и определение опред. интеграла.

Пусть на отрезке [a;b] определена некот. ф-ция f(x). Зададим разбиение { }отрезка [a;b],

: = , такие, что . Отрезки [ ] наз. частичными отрезками. Число , где , наз. диаметром разбиения. На каждом частичном отрезке выберем произвольные точки . По данному разбиению { } строим сумму ,

к-я наз. интегральной суммой или суммой Римана.

Число А наз. пределом интегральных сумм , если для любого ξ>0 существует такое δ= δ(ξ)>0, что для любого разбиения { }, мелкость к-го d< ξ, и при любом выборе выполняется неравенство

Предел интегральных сумм обозначают

Ф-я f(x) наз. интегрируемой на отрезке [a;b], если для данной ф-ции на указанном отрезке сущ-т предел А ее интегральных сумм σ.

Число А наз. определенным интегралом от функции f(x) на отрезке [a;b] и обозначается .

№21. Геометрический смысл определенного интеграла.

Если непрерывная кривая задана в прямоугольных координатах уравнением y=f(x) (f(x)≥0), то площадь криволинейной трапеции, ограниченной этой кривой, двумя прямыми x=a и x=b и отрезком оси абсцисс a≤x≤b, опр-ся формулой

Объемы тел, образованных вращением криволинейной трапеции, ограниченной кривой y=f(x), осью OX и двумя прямыми x=a и x=b вокруг оси OX, выражается формулой

Под длиной дуги понимается предел, к которому стремится длина ломаной дуги, вписанной в эту дугу, когда число звеньев ломаной возрастает неограниченно, а длина наибольшего звена стремиться к 0. В этом случае кривая называется спрямляемой.

 

№22.Св-ва определенных интегралов:

1. ^b_a∫c*f(x)dx=c* _a^b∫f(x)dx.

2. ^b_a ∫(f ₁ (x)+f ₂ (x))dx= ^b_a ∫f ₁ (x)dx+ ^b_a ∫f ₂ (x)dx.

3. ^b_a∫f(x)dx=- ^a _b∫f(x)dx.

4. ^b_a∫f(x)dx=^c_a∫f(x)dx+ ^b_c∫f(x)dx.

5. ^b_a∫f(x)dx=f(c)*(b-a).

6. f(x)>=0 на [a;b], то ^b_a∫f(x)dx>=0.

7. f ₁ (x)=<f ₂ (x) при х?[a;b], ^b_a ∫f ₁ (x)=< ^b_a ∫f ₂ (x)dx.

8. m(b-a)=< ^b_a ∫f(x)dx=<M(b-a)

9. - ^b_a ∫│f(x)│=<dx ^b_a ∫f(x)dx=< ^b_a ∫│f(x)│dx.

 

№23 Терема о интегрируемости непрерывных функций и кусочно-непрерывных функций (без доказательства).

1) Если функция f(x) интегрируема на отрезке [a,b], то она ограничена на этом отрезке

2) Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то она интегрируема на этом отрезке.

3) Если функция f(x) определена и монотонна на отрезке [a,b], то она интегрируема на этом отрезке

4) Если функция f(x) отграничена на отрезке [a,b] и непрерывна во всех точках этого отрезка, кроме конечного числа точек c_k (k = 1,m) в которых функция имеет разрыв 1 рода, то эта функция интегрируема на отрезке [a,b].

5) Если интегрируемую функцию изменить в конечном числе точек, то получим интегрируемую функцию с тем же интегралом.

 

№ 24. Формула Ньютона-Лейбница.

Если функция F(x) – какая- либо первообразная от непрерывной функции f(x), то

) = F(x) .

№25. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле.

Теорема. Если φ:[α,β]→[a,b] − непрерывно дифференцируемое отображение отрезка α ≤ t ≤ β в отрезок a≤x≤b, такое, что φ(α)=a и φ(β)=b, то при любой непрерывной на отрезке [a,b] функции f(x) функция f(φ(t))φ'(t) непрерывна на отрезке [a,b] и справедливо равенство

Если функции u(x) и v(x) имеют непрерывные производные на отрезке [a,b], то справедлива следующая формула интегрирования по частям: