Геом. и экон. приложения опр. интеграла. S плоской фигуры. Объем тела вращения

y=f(x) (f(x)≥0), то площадь криволинейной трапеции, ограниченной этой кривой, двумя прямыми x=a и x=b и отрезком оси абсцисс a≤x≤b, определяется формулой

Объём тела вращения криволин. трапеции, ограниченной кривой y= f(x), осью Ох и двумя прямыми x=a и x=b, вокруг оси Ох

Объём тела, образов. вращением вокруг оси Oy фигуры, огранич. кривой x=g(y), осью Oy и двумя прямыми y=c и y=d,

Длина дуги гладкой кривой y=f(x) между двумя точками с абсциссами x=a и x=b

Средняя производительность труда, средняя мощность и др. вычисляется по формуле

- среднее значение функции.

Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования.

Пусть функция y=f(x) определена на бесконечном промежутке (т. е. на отрезке для любого А>a).

Несобственным интегралом от функции f(x) на бесконечном промежутке называют предел .

Если lim сущ и конечен, то несобств. интеграл сходящийся. Если предел не сущ, то несобств интеграл расходящийся.

Несобственный интеграл на бесконечном промежутке определяется аналогично.

 

Пусть функция y=f(x) определена для всех х.

Несобственным интегралом с двумя бесконечными пределами интегрирования называется предел , если он существует и конечен.

= + . Если два последних интеграла сходятся, то их сумма равна несобственному интегралу с двумя бесконечными пределами интегрирования, где а произв.число.

 

Дифф-е ур-я.

Соотношение вида наз-ся обыкновенным ДУ n-го порядка, если в F явно входит (старшая производная) и не входят производные , где m>n. n определяет порядок ур-я. y’=f(x,y) – ур-е 1-го порядка. Если ф-я определена в ,тоy=y(x) будет наз-ся решением ур-я (ур-е n-го порядка разрешенное относительно старшей производной) на

Задача Коши: нужно выделить реш-е, кот-е удовл. нач. условию (знак системы)

 

№29.Диф уравнения 1-го порядка с разделяющимися переменными и приводящиеся к ним.

Уравнение вида y´=f(x)g(y)-уравнение с разделяющимися переменными,

m₁(x)n₁(y)dx+m₂(x)n₂(y)dy=0 -уравнение с разделяющимися переменными в симметричной форме. Основной метод решения- разделение переменных, т.е. умножение левой и правой частей уравнения на такой множитель, чтобы после упрощения при dx стояла функция только от х,при dy- только от y.

,

Проинтегрируем. Общий интеграл уравнений запишется в виде:

; .

При умножении можно потерять соответственно решение y=y₀, где g(y₀)=0, для первого уравнения, или x=x₀, где m₂(x₀)=0, и y=y₀, где n₁(y₀)=0, для второго. Эти случаи следует рассматривать отдельно. Найти y_k, такие, что g(y_k)=0, и проверить являются ли y=y_k решениями уравнения и заключены ли они в общем интеграле при каком-то значении С_k;аналогично для второго уравнения.

Уравнение вида y´=f(ax+by+c) приводится к уравнению с разделяющимися переменными. ax+by+c=z(x)

z´=a+by´; z´=a-+bf(z); dz/dx=a+bf(z).

 

№30 Однородные диф. уравнения 1-ого порядка.

dy/dx = f (y/x) – однородное уравнение 1-го порядка

Функция n переменных z = f (x1, x2,…,x_n) называется однородной функцией степени , если формальная подстановка tx1 вместо x1, tx2 вместо х2,…, txn вместо xn, где t – любое допустимое число, после преобразований приведет к тождеству

если =0, то функция называется однородной нулевой степени

№31. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Методы решения.

Линейное диф уравнение перв порядка - ур первой степени относительно у и у', т.е. ур вида у'+P(x)y=Q(x) (если Q(x)≡0, то уравнение однородное, если не равно то неоднородное)

-Решение однородного уравнения

Общее решение:

-Реш неоднородного ур:

1 метод Бернулли. искомая функция представляется в виде произведения двух функций .

- дифференцирование по частям. Подставляя в исходное уравнение, получаем:

можно одну из составляющих произведение функций выбрать так, что выражение

возможно получить функцию u, проинтегрировав, полученное соотношение как однородное диф уравнение. Для нахождения второй неизвестной функции v подставим поученное выражение для функции u в исходное уравнение с учетом того, что выражение, стоящее в скобках, равно нулю.

; ; ;

Окончательно получаем формулу: