Точные грани числовых множеств. Понятие точных граней ограниченного множества. Теорема существования точной верхней грани у множества, ограниченного сверху.

Точные грани числовых множеств. Понятие точных граней ограниченного множества. Теорема существования точной верхней грани у множества, ограниченного сверху.

Множество действительных чисел А называется ограниченным сверху (снизу), если существует такое действительное число М (число m), что каждый элемент х А удовлетворяет неравенству х М(х m). При этом число М (число m) называется верхней гранью (нижней гранью) множества А.

Наименьшая из всех верхних граней ограниченного сверху множества А R называется точной верхней гранью. Другими словами, действительное число М является точной верхней гранью множества А R, если

и ’ < М x₀ >М’, x₀ А.

Наибольшая из всех нижних граней ограниченного снизу множества А R называется точной нижней гранью. Другими словами, действительное число m является точной нижней гранью множества А R, если

и ’ > m x₀ m’, x₀ А.

Множество, ограниченное сверху и снизу, называется ограниченным.

 

Определение сходящейся последовательности. Геометрический смысл определения.

Точка называется пределом числовой последовательности при п стремящемся к бесконечности, если для любого ε>0 существует такой номер N, что для всех номеров п>N выполняется неравенство |x_n- a |<ε

Обозначение:

Кр. , |x_n- a |<ε

Если числовая последовательность имеет конечный предел, то она называется сходящейся.

N зависит от ε. Чем меньше ε, тем больше N. Исключение, когда последовательность состоит из одинаковых членов.

 

a

a + ε

a - ε

Геометрически это означает, что, начиная с некоторого номера (п>N) все элементы последовательности находятся внутри ε-окр. точки а (U (a, ε))

Определение бесконечно малой последовательности. Геометрический смысл определения.

Последовательность { x_n } называется бесконечно-малой (б.м.п.), если , то есть a=0

 

 

0

ε

- ε

Геометрически это означает, что, начиная с некоторого номера (п>N) все элементы последовательности находятся внутри ε-окр. точки 0 (U (0, ε))

4. Определение бесконечно большой последовательности. Геометрический смысл определения.

Говорят, что последовательность имеет предел равный если для любого ε>0 существует такой номер N, что для всех номеров п>N выполняется неравенство

Обозначение.

( )

Если предел числовой последовательности равен , то это бесконечно большая последовательность.

А y1 y2 yn

y

при

 

 

y1 y2 yn А

y

при

 

 

 

5. Определение предела функции в точке по Коши. Геометрический смысл определения.

Число A называется пределом функции f(x) в точке x= , если для любого такое что для всех удовлетворяющих неравенству выполняется неравенство

Если , то на графике функции y=f(x) это иллюстрируется следующим образом:

Так как из неравенства следует неравенство , то это значит, что для всех точек х, отстоящих от точки не далее, чем на , точки М графика функции y=f(x) лежат внутри полосы шириной , ограниченной прямыми y=A- и y=A+ .

Определение предела функции в точке по Гейне.

Число A называется пределом функции f(x) в точке x= , если для любой сходящейся к последовательности значений аргумента х, отличных от соответствующая последовательность значений функции f() сходится к числу А.

 

 

Сравнение бесконечно малых величин. Порядок малости.

Функция α(х) называется б.м. функцией при х -> a (или в окрестности точки а),если limα(x)=0.

^x->a

Две б.м. α и β называются бесконечно малыми одного порядка, если предел их отношения равен некоторому числу, отличному от нуля, т.е. если lim(α/β)=A ≠ 0.

^x->a

Две б.м. α и β называются эквивалентными если предел их отношения равен 1, т.е.:

lim(α/β)=1 α~β

^x->a

Если lim(α/β)=0 (a lim(β/α)=∞), то α называется б.м. высшего порядка малости по

^{x->a x->a}

сравнению с бесконечно малой β, напротив,β называется при этой бесконечно малой низшего порядка малости по сравнению с α.

Бесконечно малая α называется б.м. к-го порядка по отношению к б.м. β, если α и β^к будут бесконечно малыми одного порядка, т.е. lim (α/β^k)=A ≠ 0.

^x->a

Если отношение α/β при x->a не стремится ни к какому пределу; ни к конечному, ни к бесконечному, то говорят, что б.м. α и β несравнимы между собой.

 

Таблица э.м.ф.

1) sinα(x)~α(x)

2) tgα(x)~α(x)

3) 1 – cosα(x)~

4) arcsinα(x)~α(x)

5) arctgα(x)~α(x)

6) ln(1+α(x))~α(x)

7) (a>0)

e^α(x)-1~α(x)

8) (1+ )

-1~

Понятие предела ФНП

Пусть функция z = f (M) определена на множестве D, M (x ₁, x ₂,…, x _n) Î Rⁿ, M ₀(x ₁⁰, x ₂⁰,…, x _n⁰).

Определение. ( По Коши ) Число А называют пределом функции z = f (M) в точке М ₀ (при M ® M ₀), если " e > $ d >такое, что" M Î D, удовлетворяющей неравенству0 <r(M,M₀)<d, выполняется неравенство |f (M) - A|<e.

 

Точные грани числовых множеств. Понятие точных граней ограниченного множества. Теорема существования точной верхней грани у множества, ограниченного сверху.

Множество действительных чисел А называется ограниченным сверху (снизу), если существует такое действительное число М (число m), что каждый элемент х А удовлетворяет неравенству х М(х m). При этом число М (число m) называется верхней гранью (нижней гранью) множества А.

Наименьшая из всех верхних граней ограниченного сверху множества А R называется точной верхней гранью. Другими словами, действительное число М является точной верхней гранью множества А R, если

и ’ < М x₀ >М’, x₀ А.

Наибольшая из всех нижних граней ограниченного снизу множества А R называется точной нижней гранью. Другими словами, действительное число m является точной нижней гранью множества А R, если

и ’ > m x₀ m’, x₀ А.

Множество, ограниченное сверху и снизу, называется ограниченным.

 

Определение сходящейся последовательности. Геометрический смысл определения.

Точка называется пределом числовой последовательности при п стремящемся к бесконечности, если для любого ε>0 существует такой номер N, что для всех номеров п>N выполняется неравенство |x_n- a |<ε

Обозначение:

Кр. , |x_n- a |<ε

Если числовая последовательность имеет конечный предел, то она называется сходящейся.

N зависит от ε. Чем меньше ε, тем больше N. Исключение, когда последовательность состоит из одинаковых членов.

 

a

a + ε

a - ε

Геометрически это означает, что, начиная с некоторого номера (п>N) все элементы последовательности находятся внутри ε-окр. точки а (U (a, ε))

Определение бесконечно малой последовательности. Геометрический смысл определения.

Последовательность { x_n } называется бесконечно-малой (б.м.п.), если , то есть a=0

 

 

0

ε

- ε

Геометрически это означает, что, начиная с некоторого номера (п>N) все элементы последовательности находятся внутри ε-окр. точки 0 (U (0, ε))

4. Определение бесконечно большой последовательности. Геометрический смысл определения.

Говорят, что последовательность имеет предел равный если для любого ε>0 существует такой номер N, что для всех номеров п>N выполняется неравенство

Обозначение.

( )

Если предел числовой последовательности равен , то это бесконечно большая последовательность.

А y1 y2 yn

y

при

 

 

y1 y2 yn А

y

при

 

 

 

5. Определение предела функции в точке по Коши. Геометрический смысл определения.

Число A называется пределом функции f(x) в точке x= , если для любого такое что для всех удовлетворяющих неравенству выполняется неравенство

Если , то на графике функции y=f(x) это иллюстрируется следующим образом:

Так как из неравенства следует неравенство , то это значит, что для всех точек х, отстоящих от точки не далее, чем на , точки М графика функции y=f(x) лежат внутри полосы шириной , ограниченной прямыми y=A- и y=A+ .