Непрерывность функции. Классификация точек разрыва.

Непрерывность функции. Классификация точек разрыва.

Определение 1. Функция f(x) называется непрерывной в точке х₀, если

(1)

Это означает, что функция f(x) удовлетворяет следующим условиям:

1) определена в точке х₀ (т.е. существует f(x₀));

2) имеет конечный предел функции при х→х₀;

3) этот предел равен значению функции в точке х₀, т.е.

Т.к. =x₀, то равенство (1) можно придать следующую форму:

-т.е. предел функции равен значению функции от предела аргумента. Т.о. для непрерывной функции возможна перестановка символов предела и функции.

Определение 2. Функция f(x) называется непрерывной в точке х₀, если любому, сколь угодно малому, e>0 можно указать такое число δ>0 (зависящее от e, δ=δ(e)), что для всех хÎХ таких, что |x-x₀|<δ выполняется неравенство |f(х)- f(x₀)|<e.

e>0 δ=δ(e) x: |x-x₀|<δ |f(х)- f(x₀)|<e

(Здесь нет запрета х≠х₀).

Определение 3 (в терминах окрестности). Функция f(x) называется непрерывной в точке х₀, если для любого сколь угодно малого числа e>0 найдется такое число δ=δ(Е), что для всех х, попадающих в d-окрестность точки х₀, соответствующие значения функции попадают в e-окрестность величины f(x₀) (здесь окрестность не выколотая):

W(f(x₀)) V(x₀): x V(x₀) f(х) W(f(x₀)) (рисунок)

Определение 4 (в терминах последовательности). Функция f(x) называется непрерывной в точке х₀, если для любой последовательности {x_n}, сходящейся к х₀, последовательность {f(x_n)} соответствующих значений функции сходится к f(x₀). (Здесь нет запрета x_n≠x₀).

Пример.

а) у= в точке х=0 не определена.

б) у= не существует предела в точке х=0 (существуют только односторонние пределы: слева и справа ).

в) у= =1.

г) у=х² – непрерывная функция в точке х=0, т.к. выполнены все 3 условия непрерывности.

 

Примеры разрывных функций.

1) f(x)=sign x, f(x)=

Не существует . В точке х₀=0 функция разрывна.

Замечание. Пусть х₀ÎХ и хÎХ и пусть х=х₀+∆х, следовательно ∆х=х-х₀.

Величина ∆х называется приращением аргумента (∆х может быть как положительной, так и отрицательной).

Пусть у₀=f(x₀), y=f(x)=f(x₀+∆x).

Величина ∆y=f(x)-f(x₀)=f(x₀+∆x)-f(x₀) называется приращением функции f(x) в точке х₀, соответствующим приращению аргумента Dх (∆у может быть как положительной, так и отрицательной).

Предположим, что функция f(x) – непрерывна в точке х₀. Это означает, что

или =0, или .

Следовательно, можно сказать, что

Теорема. Функция у=f(x) будет непрерывной в точке х₀ тогда и только тогда, когда бесконечно малому приращению аргумента Dх соответствует бесконечно малое приращение функции Dу, т.е. =0.

Эта теорема дает эквивалентное определение непрерывности.

Аналогично определению правостороннего и левостороннего пределов функции f(x), можно определить правостороннюю и левостороннюю непрерывность функции f(x) в точке х₀.

Определение. Функция f(x) называется непрерывной справа в точке х₀, если

.

Функция f(x) называется непрерывной слева в точке х₀, если .

Утверждения. 1) Если функция f(x) непрерывна в точке х₀ в обычном смысле, то она непрерывна в этой точке одновременно и справа, и слева.

2) Если функция f(x) непрерывна в точке х₀ одновременно и справа, и слева, то она непрерывна в этой точке и в обычном смысле.

Определение. Функция f(x) непрерывна на множестве Х, если она непрерывна в каждой точке этого множества.

Определение. Пусть функция f(x) определена на отрезке [a,b]. Функция f(x) непрерывна на [a,b], если она непрерывна в обычном смысле в каждой внутренней точке этого промежутка и если она непрерывна справа в точке а и непрерывна слева в точке b.

Свойства непрерывных функций.

Примеры непрерывных функций.

1) f(x)ºС, хÎ(-¥;+¥) – непрерывна в любой точке х₀Î(-¥;+¥).

Действительно, пусть точка х₀ – любая из (-¥;+¥). Возьмем произвольную последовательность {x_n} такую, что x_n→x₀, n→¥. Соответствующая последовательность значений функции будет такой: f(x₁)=С, f(x₂)=С, …, f(x_n)=С, ….

f(x_n)→С=f(x₀), при n→¥.

А это означает, что функция f(x) непрерывна в точке х₀. Т.к. точка х₀ – любая точка из промежутка (-¥;+¥). Следовательно, f(x) непрерывна в промежутке (-¥;+¥).

Или DС=С-С=0.

2) f(x)=x, xÎ(-¥;+¥)

Выберем произвольную точку х₀Î(-¥;+¥). Возьмем произвольную последовательность {x_n} такую, что x_n→x₀, n→¥. Соответствующая последовательность значений функции будет такой: f(x₁)=x₁, f(x₂)=x₂, …, f(x_n)=x_n, ….

f(x_n)→x₀=f(x₀), при n→¥.

А это означает, что функция f(x) непрерывна в точке х₀. Т.к. точка х₀ – любая точка из промежутка (-¥;+¥). Следовательно, f(x)=х непрерывна в промежутке (-¥;+¥).

3) f(x)=xⁿ, xÎ(-¥;+¥), nÎN

Эта функция непрерывна в промежутке (-¥;+¥), т.к. f(x)=х∙х∙…∙х. Следовательно, f(x)=xⁿ непрерывна в промежутке (-¥;+¥) как произведение конечного числа функций, непрерывных в этом промежутке.

4) f(x)=a₀xⁿ+a₁x^n-1+a₂x^n-2+…+a_n-1x+a_n, xÎ(-¥;+¥), nÎN – целая рациональная функция, полином – непрерывна в промежутке (-¥;+¥) как сумма конечного числа функций, непрерывных в этом промежутке.

5) , nÎN, mÎN - дробная рациональная функция- непрерывна в любой такой точке х₀Î(-¥;+¥), в которой знаменатель отличен от нуля, т.е. f(x) непрерывная в каждой точке своей области определения.

6) Покажем, что функция f(x)=sin x непрерывна на всей своей области определения, т.е. на R=(-¥;+¥).

Возьмем х₀. e>0 δ=δ(e) x: |x-x₀|<δ |sin x - sin x₀|<e

Рассмотрим |sin x - sin x₀|=2 £2 £2 =|x-x₀|

(т.к. |sin x| <|x-x₀|)Т.о. |sin x - sin x₀|£|x-x₀|

Возьмем δ=e, тогда x: |x-x₀|<δ=e |sin x - sin x₀|<e. Т.е.

7) Аналогично доказывается непрерывность функции f(x)=cos x.

8) ,

9) Аналогично ,

Все основные элементарные функции непрерывны на своей области определения.

Теорема 3. Пусть функция f(x) непрерывна в точке х₀ÎХ. Тогда существует окрестность V(x₀) точки х₀, на которой функция ограничена. Т.е.

и

Доказательство. Т.к. f(x) непрерывна в точке х₀, то

Возьмем e=1 и оценим êf(x)ê=êf(x)-f(x₀)+f(x₀)ê£êf(x)-f(x₀)ê+ êf(x₀)ê<1+êf(x₀)ê

Т.о. êf(x)ê<1+êf(x₀)ê, т.е. f(x) – ограничена. Ч.т.д.

Теорема 4. Пусть функция f(x) непрерывна в точке х₀ÎХ и f(x₀)≠0. Тогда существует окрестность V(x₀) точки х₀, на которой

Причем, если f(x₀)>0, (xÎV(x₀))

если f(x₀)<0, (xÎV(x₀))

График.

f(x)=

В точке х₁=-Π разрыв 1-го рода и непрерывна слева. Скачок функции в точке х₁ равен -Π.

В точке х₂=Π/2 – точка устранимого разрыва (f(Π/2) – неопределенно).

Три важных предела.

1. Покажем, что =1.

= . Т.к. логарифмическая функция непрерывна, то

=

2. Покажем, что = .

Положим а^х-1=уÞа^х=1+уÞх =ln(1+y)Þх= , При х→0, у→0.

Имеем = = = Перейдем в этом равенстве к пределу:

= По доказанному ранее, .

Следовательно, =

3. Покажем, что =a.

Положим (1+х)^a-1=уÞ(1+х)^a=1+уÞa =ln(1+y), При х→0, у→0.

Имеем = = = Перейдем в этом равенстве к пределу:

= По доказанному ранее, и =1, следовательно, =a.

Теорема (б.д.).

Пустьфункция у=f(x) определена и непрерывна на отрезке [a,b] и является на нем строго возрастающей. Тогда у функции у=f(x) есть обратная функция х=g(y), определенная на отрезке [p,q], где p=f(a), q=f(b), причем эта функция строго возрастающая и непрерывная в промежутке [p,q].

Замечание 1. Аналогичная теорема имеет место для строго убывающих функций:

Пустьфункция у=f(x) определена и непрерывна на отрезке [a,b] и является на нем строго убывающей. Тогда у функции у=f(x) есть обратная функция х=g(y), определенная на отрезке [p,q], где p=f(b), q=f(а), причем эта функция строго убывающая и непрерывная в промежутке [p,q].

Замечание 2. Справедливы также следующие утверждения.

Утверждение 1.

Пустьфункция у=f(x) определена и непрерывна в промежутке (a,b) и является на нем строго возрастающей. Тогда у функции у=f(x) есть обратная функция х=g(y), определенная в промежутке (p,q), где p= , q= , причем эта функция строго возрастающая и непрерывная в промежутке (p,q)

Утверждение 2.

Пустьфункция у=f(x) определена и непрерывна в промежутке (a,b) и является на нем строго убывающей. Тогда у функции у=f(x) есть обратная функция х=g(y), определенная в промежутке (p,q), где p= , q= , причем эта функция строго убывающая и непрерывная в промежутке (p,q).

Замечание 3. Некоторые из чисел a,b,p,q могут быть несобственными.

Непрерывность функции. Классификация точек разрыва.

Определение 1. Функция f(x) называется непрерывной в точке х₀, если

(1)

Это означает, что функция f(x) удовлетворяет следующим условиям:

1) определена в точке х₀ (т.е. существует f(x₀));

2) имеет конечный предел функции при х→х₀;

3) этот предел равен значению функции в точке х₀, т.е.

Т.к. =x₀, то равенство (1) можно придать следующую форму:

-т.е. предел функции равен значению функции от предела аргумента. Т.о. для непрерывной функции возможна перестановка символов предела и функции.

Определение 2. Функция f(x) называется непрерывной в точке х₀, если любому, сколь угодно малому, e>0 можно указать такое число δ>0 (зависящее от e, δ=δ(e)), что для всех хÎХ таких, что |x-x₀|<δ выполняется неравенство |f(х)- f(x₀)|<e.

e>0 δ=δ(e) x: |x-x₀|<δ |f(х)- f(x₀)|<e

(Здесь нет запрета х≠х₀).

Определение 3 (в терминах окрестности). Функция f(x) называется непрерывной в точке х₀, если для любого сколь угодно малого числа e>0 найдется такое число δ=δ(Е), что для всех х, попадающих в d-окрестность точки х₀, соответствующие значения функции попадают в e-окрестность величины f(x₀) (здесь окрестность не выколотая):

W(f(x₀)) V(x₀): x V(x₀) f(х) W(f(x₀)) (рисунок)

Определение 4 (в терминах последовательности). Функция f(x) называется непрерывной в точке х₀, если для любой последовательности {x_n}, сходящейся к х₀, последовательность {f(x_n)} соответствующих значений функции сходится к f(x₀). (Здесь нет запрета x_n≠x₀).

Пример.

а) у= в точке х=0 не определена.

б) у= не существует предела в точке х=0 (существуют только односторонние пределы: слева и справа ).

в) у= =1.

г) у=х² – непрерывная функция в точке х=0, т.к. выполнены все 3 условия непрерывности.

 

Примеры разрывных функций.

1) f(x)=sign x, f(x)=

Не существует . В точке х₀=0 функция разрывна.

Замечание. Пусть х₀ÎХ и хÎХ и пусть х=х₀+∆х, следовательно ∆х=х-х₀.

Величина ∆х называется приращением аргумента (∆х может быть как положительной, так и отрицательной).

Пусть у₀=f(x₀), y=f(x)=f(x₀+∆x).

Величина ∆y=f(x)-f(x₀)=f(x₀+∆x)-f(x₀) называется приращением функции f(x) в точке х₀, соответствующим приращению аргумента Dх (∆у может быть как положительной, так и отрицательной).

Предположим, что функция f(x) – непрерывна в точке х₀. Это означает, что

или =0, или .

Следовательно, можно сказать, что

Теорема. Функция у=f(x) будет непрерывной в точке х₀ тогда и только тогда, когда бесконечно малому приращению аргумента Dх соответствует бесконечно малое приращение функции Dу, т.е. =0.

Эта теорема дает эквивалентное определение непрерывности.

Аналогично определению правостороннего и левостороннего пределов функции f(x), можно определить правостороннюю и левостороннюю непрерывность функции f(x) в точке х₀.

Определение. Функция f(x) называется непрерывной справа в точке х₀, если

.

Функция f(x) называется непрерывной слева в точке х₀, если .

Утверждения. 1) Если функция f(x) непрерывна в точке х₀ в обычном смысле, то она непрерывна в этой точке одновременно и справа, и слева.

2) Если функция f(x) непрерывна в точке х₀ одновременно и справа, и слева, то она непрерывна в этой точке и в обычном смысле.

Определение. Функция f(x) непрерывна на множестве Х, если она непрерывна в каждой точке этого множества.

Определение. Пусть функция f(x) определена на отрезке [a,b]. Функция f(x) непрерывна на [a,b], если она непрерывна в обычном смысле в каждой внутренней точке этого промежутка и если она непрерывна справа в точке а и непрерывна слева в точке b.