Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь FAQ Написать работу КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Непрерывность функции на отрезке↑ Стр 1 из 3Следующая ⇒ Содержание книги
Похожие статьи вашей тематики
Поиск на нашем сайте
Второй замечательный предел или
Следствия 1. 2. 3. 4. 5. для , 6. Непрерывность функции на отрезке Наряду с непрерывностью функции в точке рассматривают ее непрерывность на разных промежутках. Функция f(x) называется непрерывной на интервале (a, b), если она непрерывна в каждой точке этого интервала. Функция f(x) называется непрерывной на отрезке [a, b], если она непрерывна на интервале (a, b), непрерывна справа в точке a и непрерывна слева в точкеb. Свойства функций, непрерывных на отрезке Теорема 1 (об ограниченности непрерывной функции). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она ограничена на этом отрезке, т.е. существует такое число C> 0, что "x Î [a, b] выполняется неравенство |f(x)| ≤ C. Теорема 2 (Вейерштрасс). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она достигает на этом отрезке своего наибольшего значения M и наименьшего значения m, т.е. существуют точки α, β Î [a, b] такие, что m = f(α) ≤ f(x) ≤ f(β) = M для всех x Î [a, b] Теорема 4 (Больцано–Коши). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она принимает на (a,b) все промежуточные значения между f(a) и f(b). Свойства Локальные · Функция, непрерывная в точке , является ограниченной в некоторой окрестности этой точки. · Если функция непрерывна в точке и (или ), то (или ) для всех , достаточно близких к . · Если функции и непрерывны в точке , то функции и тоже непрерывны в точке . · Если функции и непрерывны в точке и при этом , то функция тоже непрерывна в точке . · Если функция непрерывна в точке и функция непрерывна в точке , то их композиция непрерывна в точке . ]Глобальные · Функция, непрерывная на отрезке (или любом другом компактном множестве), равномерно непрерывна на нём. · Функция, непрерывная на отрезке (или любом другом компактном множестве), ограничена и достигает на нём свои максимальное и минимальное значения. · Областью значений функции , непрерывной на отрезке , является отрезок где минимум и максимум берутся по отрезку . · Если функция непрерывна на отрезке и то существует точка в которой . · Если функция непрерывна на отрезке и число удовлетворяет неравенству или неравенству то существует точка в которой . · Непрерывное отображение отрезка в вещественную прямую инъективно в том и только в том случае, когда данная функция на отрезке строго монотонна. · Монотонная функция на отрезке непрерывна в том и только в том случае, когда область ее значений является отрезком с концами и . · Если функции и непрерывны на отрезке , причем и то существует точка в которой Отсюда, в частности, следует, что любое непрерывное отображение отрезка в себя имеет хотя бы одну неподвижную точку.
54)Произво́дная (функции в точке) — основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции (в данной точке). Определяется как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке). Процесс вычисления производной называется дифференци́рованием. Обратный процесс — нахождение первообразной —интегрирование. Скорость изменения функции Пусть — закон прямолинейного движения. Тогда выражает мгновенную скоростьдвижения в момент времени Вторая производная выражает мгновенное ускорение в момент времени Вообще производная функции в точке выражает скорость изменения функции в точке , то есть скорость протекания процесса, описанного зависимостью 55) Теплоемкость – есть производная теплоты по температуре, т.е. C(t) = Q/(t) d(l)=m/(l) - линейная плотность K (t) = l /(t) - коэффициент линейного расширения ω (t)= φ/(t) - угловая скорость а (t)= ω/(t) - угловое ускорение N(t) = A/(t) - мощность 56) Связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции. Докажем теорему, устанавливающую связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции. Теорема 7.1. Если функция y=f(x) дифференцируема в произвольной точке x0, то она непрерывна в этой точке. Доказательство. Пусть функция y=f(x) дифференцируема в произвольной точке x0, т.е. имеет в этой точке производную (x0). Запишем приращение функции ∆y точке x0: ∆y = (x0) ∆ x + ∆ x, где →0 при ∆ x→0 (см. доказательство теоремы 6.1). Пусть теперь ∆ x→0. Тогда, очевидно, и ∆y→0. Но это и означает, что функция y=f(x) непрерывна в точке x0. Теорема доказана. Утверждение, обратное этой теореме, неверно: из непрерывности функции в данной точке не вытекает её дифференцируемость в этой точке. Существуют функции, непрерывные в некоторой точке, но не имеющие в этой точке производной. Примером такой функции служит функция y= = (см. рис.4). Эта функция непрерывна в точке x = 0, но не дифференцируема в ней. Действительно, приращение этой функции в точке x = 0 есть ∆y = f(0+∆ x) ─ f(0) = f(∆ x) = , = = , т.е. в любой сколь угодно малой окрестности значения отношение принимает два различных значения: 1 и ─1. Это означает, что предел не существует, т.е. функция y= не имеет производной в точке x = 0, а, следовательно, график функции не имеет касательной в точке O(0;0) (поскольку угловой коэффициент касательной должен быть равен производной, но производной не существует). Таблица производных. Гиперболические функции, их свойства и графики. Производные гиперболических и обратных к ним функций. Доказательство Функция y = c принимает значение, равное c для любого аргумента x. Таким образом, Δy = 0 при любом x. Следовательно, Теорема доказана. Теорема3. Пустьфункции u=u(x), v=v(x) дифференцируемы. Тогда Доказательство Если аргумент x получит приращение Δx, то функции u, v получат приращения Пусть y=u+v, тогда Воспользовавшись свойством предела суммы функции, получаем Доказательство. Очевидно, что Dj=Dх (обратная функция непрерывна).Значит
. Если Dх®0, то Dy®0, а поэтому , то есть j'y, что и требовалось доказать. Пример. Пусть y= arcsin x, тогда x= sin y- обратная ê y= arcsin х. Так как , а, то для производной функции y= arcsin x имеем , где учтено что при yÎ[-p/2,p/2], cos y³0. Используя рассмотренные ранее теоремы для других обратных тригонометрических функций имеем: arccos x =p/2- arcsin x и поэтому (arccos x)'=-, y= arctg x, x= tg y, а значит (arctg x)'=, (arcctg x)'=-
60)
Данная формула показывает, что производная сложной функции равна произведению производной внешней функции на производную от внутренней функции. Важно, однако, что производная внутренней функции вычисляется в точке x, а производная внешней функции - вточке u=g(x)! Эта формула легко обобщается на случай, когда сложная функция состоит из нескольких "слоев", вложенных иерархически друг в друга. Рассмотрим несколько примеров, иллюстрирующих правило производной сложной функции. Это правило широко применяется и во многих других задачах раздела "Дифференцирование".
Второй замечательный предел или
Следствия 1. 2. 3. 4. 5. для , 6. Непрерывность функции на отрезке Наряду с непрерывностью функции в точке рассматривают ее непрерывность на разных промежутках. Функция f(x) называется непрерывной на интервале (a, b), если она непрерывна в каждой точке этого интервала. Функция f(x) называется непрерывной на отрезке [a, b], если она непрерывна на интервале (a, b), непрерывна справа в точке a и непрерывна слева в точкеb.
|
|||||||
Последнее изменение этой страницы: 2016-12-14; просмотров: 1746; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.139.83.210 (0.009 с.) |