Основные элементарные функции

Аналитический способ

Обычно функция задаётся с помощью формулы, в которую входят переменные, операции и элементарные функции. Возможно, кусочное задание, то есть различное для различных значений аргумента.

Примеры:

§ ;

§ ;

§ ;

§

Табличный способ

Функцию можно задать, перечислив все её возможные аргументы и значения для них. После этого, если это необходимо, функцию можно доопределить для аргументов, которых нет в таблице, путём интерполяции или экстраполяции. Примерами могут служить программа передач, расписание поездов или таблица значений булевой функции:

Графический способ

Осциллограмма задаёт значение некоторой функции графически.

Функцию можно задать графически, отобразив множество точек её графика на плоскости. Это может быть приблизительный набросок, как должна выглядеть функция, или показания, снятые с прибора, например, с осциллографа. Этот способ задания может страдать от недостаткаточности, однако в некоторых случаях другие способы задания вообще не могут быть применены. Кроме того, такой способ задания один из самых презентативных, удобных для восприятия и качественного эвристического анализа функции.

Рекурсивный способ

Функция может быть задана рекурсивно, то есть через саму себя. В этом случае одни значения функции определяются через другие её значения.

Примеры:

§ факториал;

§ числа Фибоначчи;

§ функция Аккермана.

Словесный способ

Функцию можно описать словами на естественном языке каким-либо однозначным способом, например, описав её входные и выходные значения, или алгоритм, с помощью которого функция задаёт соответствия между этими значениями. Наряду с графическим способом, иногда это единственный способ описать функцию, хотя естественные языки и не столь детерминированы, как формальные.

Примеры:

Факториал

§ Возвращает произведение всех натуральных чисел, не больших данного. Кроме того, .

§ Область определения: (множество натуральных чисел с нулём).

§ Область значений:

 

2) Функция, непрерывная на отрезке (или любом другом компактном множестве), равномерно непрерывна на нём.

Функция, непрерывная на отрезке (или любом другом компактном множестве), ограничена и достигает на нём свои максимальное и минимальное значения.

Областью значений функции , непрерывной на отрезке , является отрезок где минимум и максимум берутся по отрезку .

Если функция непрерывна на отрезке и то существует точка в которой .

Если функция непрерывна на отрезке и число удовлетворяет неравенству или неравенству то существует точка в которой .

§ Непрерывное отображение отрезка в вещественную прямую инъективно в том и только в том случае, когда данная функция на отрезке строго монотонна.

§ Монотонная функция на отрезке непрерывна в том и только в том случае, когда область ее значений является отрезком с концами и .

§ Если функции и непрерывны на отрезке , причем и то существует точка в которой Отсюда, в частности, следует, что любое непрерывное отображение отрезка в себя имеет хотя бы одну неподвижную точку.

Примеры

Элементарные функции

Произвольные многочлены, рациональные функции, показательные функции, логарифмы, тригонометрические функции (прямые и обратные) непрерывны везде в своей области определения.

[править]Функция с устранимым разрывом

Функция задаваемая формулой

непрерывна в любой точке Точка x = 0 является точкой устранимого разрыва, ибо предел функции

[править]Функция знака

Функция

называется функцией знака.

Эта функция непрерывна в каждой точке .

Точка x = 0 является точкой разрыва первого рода, причём

,

в то время как в самой точке функция обращается в нуль.

Ступенчатая функция

Ступенчатая функция, определяемая как

является всюду непрерывной, кроме точки x = 0, где функция терпит разрыв первого рода. Тем не менее, в точке x = 0 существует правосторонний предел, который совпадает со значением функции в данной точке. Таким образом, ступенчатая функция является примером непрерывной справа функции на всей области определения.

Аналогично, ступенчатая функция, определяемая как

является примером непрерывной слева функции на всей области определения.

 

3) Определение. Функции, построенные из основных элементарных функций с помощью конечного числа алгебраических действий и конечного числа операций образования сложной функции, называются элементарными.

 

Бесконечно малая величина

Последовательность a_n называется бесконечно малой, если . Например, последовательность чисел — бесконечно малая.

Функция называется бесконечно малой в окрестности точки x ₀, если .

Функция называется бесконечно малой на бесконечности, если либо .

Также бесконечно малой является функция, представляющая собой разность функции и её предела, то есть если , то f (x) − a = α(x), .

Если a_n — бесконечно малая последовательность, сохраняющая знак, то — бесконечно большая последовательность.

§ Бесконечно большая величина

§ Во всех приведённых ниже формулах бесконечность справа от равенства подразумевается определённого знака (либо «плюс», либо «минус»). То есть, например, функция x sin x, неограниченная с обеих сторон, не является бесконечно большой при .

§ Последовательность a_n называется бесконечно большой, если .

§ Функция называется бесконечно большой в окрестности точки x ₀, если .

§ Функция называется бесконечно большой на бесконечности, если либо

 

связь между бесконечно малыми и большими функциями

Если f (x) — бесконечно большая функция, то есть бесконечно малая функция в этой же точке.
В самом деле, пусть , это означает, что

§ ( K > 0) ( δ = δ(K)> 0) ( 0 < | x - x ₀ | < δ): | f (x) | > K.

Так как | f (x)| > K, то .
Будем считать, что , тогда

( ε > 0) ( δ = δ(ε)> 0) ( 0 < | x - x ₀ | < δ): 1/| f (x)| <ε.

§ Это означает, что .

 

Свойства бесконечно малых

§ Сумма конечного числа бесконечно малых — бесконечно малая.

§ Произведение бесконечно малых — бесконечно малая.

§ Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную — бесконечно малая. Как следствие, произведение бесконечно малой на константу — бесконечно малая.

§ Если a_n — бесконечно малая последовательность, сохраняющая знак, то — бесконечно большая последовательность.

 

Свойство 1. Произведение бесконечно малой функции при и функции , ограниченной в некоторой -окрестности точки a, есть функция бесконечно малая. Доказательство. Функция является ограниченной в некоторой окрестности точки a и, следовательно, существует такое число B > 0, что   (4)   для всех x, удовлетворяющих условию   (5)   Поскольку функция является бесконечно малой при , то для любого произвольно малого числа ε > 0 существует такое число , что неравенство   (6)   выполняется для всех x, удовлетворяющих условию     (7)   Выберем из чисел и наименьшее и обозначим его символом δ. Тогда условие   (8)   является более сильным, чем условия (5) и (7) и поэтому влечет неравенства (4) и (6). Таким образом, для любого произвольно малого числа ε > 0 выполняется неравенство для всех x из δ-окрестности точки a. Свойство 2. Сумма двух бесконечно малых функций есть функция бесконечно малая. Доказательство. Пусть ε > 0 – произвольно малое число; и – бесконечно малые функции при . Тогда существуют такие положительные числа и , что условия   (9)   и   (10)   влекут за собой соответствующие неравенства и Если , то условие перекрывает оба условия (9) и (10) и, следовательно, Следствие. Сумма любого конечного числа бесконечно малых функций есть функция бесконечно малая. Действительно, объединяя элементы такой суммы в группы по два слагаемых и заменяя сумму двух бесконечно малых одной бесконечно малой, получим сумму меньшего числа членов. В конечном итоге сумма любого конечного числа бесконечно малых будет сведена к одной бесконечно малой.

1. Функция

является бесконечно малой при , поскольку представляет собой произведение ограниченной функции и бесконечно малой .

 

1. Функция является бесконечно малой при , ибо при , а постоянный множитель может рассматриваться как частный случай ограниченной функции.

 

1. Выражение

представляет собой бесконечно малую при поскольку каждое его слагаемое является бесконечно малой.

 

7) Сходящиеся последовательности и их свойства

Рассмотрим числовые последовательности.

Последовательность (x_n) действительных чисел называется сходящейся, если существует действительное число a и для произвольного ε > 0 существует натуральное число m такое, что для всех n > m справедливо неравенство | x_n - a | < ε.

При этом число a называют пределом последовательности (x_n), что символически записывают

или x_n → a при n → ∞.

 

С помощью логических символов определение запишется следующим образом: числовая последовательность (x_n) называется сходящейся, если

Если последовательность не является сходящейся, то ее называют расходящейся.

Если последовательности (x_n) и (y_n) действительных чисел сходятся и , то

 

8)

Необходимый признак сходимости последовательности. Необходимое и достаточное

условия сходимости монотонной последовательности. Примеры

 

9) Пусть имеется множество , на котором введено отношение порядка.

Последовательность элементов множества называется неубывающей, если каждый элемент этой последовательности не превосходит следующего за ним.

— неубывающая

Последовательность элементов множества называется невозрастающей, если каждый следующий элемент этой последовательности не превосходит предыдущего.

— невозрастающая

Последовательность элементов множества называется возрастающей, если каждый следующий элемент этой последовательности превышает предыдущий.

— возрастающая

Последовательность элементов множества называется убывающей, если каждый элемент этой последовательности превышает следующий за ним.

— убывающая

Последовательность называется монотонной, если она является неубывающей, либо невозрастающей.^[1]

Последовательность называется строго монотонной, если она является возрастающей, либо убывающей.

Очевидно, что строго монотонная последовательность является монотонной.

Иногда используется вариант терминологии, в котором термин «возрастающая последовательность» рассматривается в качестве синонима термина «неубывающая последовательность», а термин «убывающая последовательность» — в качестве синонима термина «невозрастающая последовательность». В таком случае возрастающие и убывающие последовательности из вышеприведённого определения называются «строго возрастающими» и «строго убывающими», соответственно.

Число эйлера

e — математическая константа, основание натурального логарифма, трансцендентное число. Иногда число e называют числомЭйлера или числом Непера. Обозначается строчной латинской буквой «e». Численное значение^[1]:

(последовательность A001113 вOEIS)

Число e играет важную роль в дифференциальном и интегральном исчислении, а также во многих других разделах математики.

Способы определения

Число e может быть определено несколькими способами.

§ Через предел:

(второй замечательный предел).

§ Как сумма ряда:

или .

§ Как единственное число a, для которого выполняется

§ Как единственное положительное число a, для которого верно

Свойства

§
Данное свойство играет важную роль в решении дифференциальных уравнений. Так, например, единственным решением дифференциального уравнения является функция , где c — произвольная константа.

§ Число e иррационально и даже трансцендентно. Его трансцендентность была доказана только в 1873 году Шарлем Эрмитом. Предполагается, что e — нормальное число, то есть вероятность появления разных цифр в его записи одинакова.

§ Число e является вычислимым (а значит, и арифметическим) числом.

§ , см. формула Эйлера, в частности

§

§ Ещё одна формула, связывающая числа е и π, т. н. «интеграл Пуассона» или «интеграл Гаусса»

§ Для любого комплексного числа z верны следующие равенства:

§ Представление Каталана:

§ Мера иррациональности (англ.) числа e равна 2 (что есть наименьшее возможное значение для иррациональных чисел).

 

Второй замечательный предел

Второй замечательный предел имеет вид:

или в другой записи

В случае второго замечательного предела имеем дело с неопределенностью вида единица в степени бесконечность .

Разберем несколько примеров нахождения предела по второму замечательному пределу с подробным оприсанием решения.

Пример.

Вычислить предел

Решение.

Подставляем бесконечность:

Пришли к неопределенности единица в степени бесконечность. Смотрим в таблицу неопределенностей для определения метода решения и останавливаемся на применении второго замечательного предела.

Сделаем замену переменных. Пусть

Если , то

Исходный предел после замены примет вид:

Ответ:

Пример.

Вычислить предел

Решение.

Подставляем бесконечность:

Пришли к неопределенности единица в степени бесконечность, которая указывает на применение второго замечательного предела. Выделим целую часть в основании показательно степенной функции:

Тогда предел запишется в виде:

Сделаем замену переменных. Пусть

Если , то

Исходный предел после замены примет вид:

В преобразованиях были использованы свойства степени и свойства пределов.

Ответ:

 

 

10)

Предел функции по Коши

Значение называется пределом (предельным значением) функции в точке , если для любого наперёд взятого положительного числа ε найдётся отвечающее ему положительное число такое, что для всех аргументов , удовлетворяющих условию , выполняется неравенство .^[1]

Точки разрыва

Если попытаться построить отрицание свойства непрерывности функции в точке (предельной для области определения), то получится следующее. Существует такая окрестность значения функции в рассматриваемой точке, что сколь близко мы не подходили бы к данной точке, всегда можно будет найти точку, значение в которой окажется за пределами заданной окрестности.

В этом случае говорят, что функция f терпит разрыв в точке a.

Возможны два варианта:

§ либо предел функции существует, но он не совпадает со значением функции в данной точке:

тогда точка a называется точкой устранимого разрыва функции f (в комплексном анализе — устранимая особая точка). Положив можно добиться непрерывности функции в этой точке. Такое изменение значения функции в точке, превращающее функцию в непрерывную в этой точке, называется доопределением по непрерывности.

§ либо предела функции в данной точке не существует. В этом случае для числовой функции, заданной на вещественной прямой (или её подмножестве), возможно существование односторонних пределов. Отсюда возникает классификация точек (неустранимого) разрыва:

§ если оба односторонних предела существуют и конечны, но хотя бы один из них отличен от значения функции в данной точке, то такую точку называют точкой разрыва первого рода;

§ если хотя бы один из односторонних пределов не существует или не является конечной величиной, то такую точку называют точкой разрыва второго рода.

Точка, в которой функция не определена, будет точкой разрыва функции лишь при условии, если функция определена, хотя бы с одной стороны вблизи этой точки.

 

 

Рис. 2

Придав произвольное приращение аргументу , так чтобы , перейдем к точке с абсциссой и ординатой , где Уравнение прямой, проходящей через точки и (секущей графика функции , имеет вид: , где отношение представляет собой угловой коэффициент секущей (.

Касательной к графику функции в точке называется предельное положение секущей , при стремлении точки по графику к точке .

Для того, чтобы секущая при стремилась к предельному положению, отличному от вертикальной прямой, необходимо и достаточно, чтобы существовал конечный предел , то есть, чтобы существовала конечная производная функции в точке .

Угловой коэффициент касательной получается путем перехода от к пределу при :

Таким образом, получим, что , где - угол наклона касательной к оси (см. рис.), а значение производной равно угловому коэффициенту касательной к графику функции. В этом заключается геометрический смысл производной. Уравнение касательной к графику функции в точке имеет вид

В случае бесконечной производной .

Из уравнения секущей имеем:

Переходя в равенстве к пределу при , получаем уравнение касательной к графику функции в точке в виде , то есть касательная является в данном случае вертикальной прямой, проходящей через точку оси абсцисс.

Примеры задач

Задача 1. Составьте уравнение общей касательной к графикам функций и .

Решение.

I способ.

Прямая является общей касательной графиков функций и , если она касается как одного, так и другого графиков, но совершенно не обязательно в одной и той же точке.

- уравнение касательной к графику функции y=x² в точке с абсциссой x₀

- уравнение касательной к графику функции y=x³ в точке с абсциссой x₁

Решением системы будут

Уравнения общих касательных имеют вид:

 

Примеры.

1. Составить уравнения касательной и нормали к графику функции у = tg ² x в точке с абсциссой x ₀ =π/4.

Уравнение касательной имеет вид y =4·(x – π/4) + 1 или y = 4 x – π + 1.

Уравнение нормали будет y = –1/4·(x – π/4) + 1 или у = –1/4· x + π/16 + 1.

2. Составить уравнения касательной и нормали к графику функции у = 0.5·(x – 2) ² + 5 в точке M (2; 5).

y '= x – 2, y '(2) = 0. Следовательно, касательная параллельна оси Ox, а значит ее уравнение y = 5. Тогда нормаль параллельна оси Oy и имеет уравнение x = 2.

3. Найти уравнение касательной и нормали к эллипсу в точке M (2; 3).

Найдем y ' по правилу дифференцирования неявной функции .

Уравнение касательной: ,т.е. .

Уравнение нормали: , т.е. .

4. Составить уравнения касательной и нормали к циклоиде x = t – sin t, y = 1 – cos t в точке М (x ₀; y ₀), которая соответствует значению параметра t = π/2.

При t =π/2 x ₀ = π/2 – 1, y ₀ =1.

.

Уравнение касательной: y = x – π/2 + 1 + 1, т.е. у = x – π/2 + 2.

Уравнение нормали: y = – x – π/2 – 1 + 1, т.е. у = – x – π/2.

 

 

Правила дифференцирования

Если функции f и g дифференцируемы в точке то в этой же точке дифференцируемы сумма, произведение и частное (если ) этих функций, причем

Доказательство

а) По свойству предела суммы получаем

Постоянный множитель C можно выносить из-под знака производной:

В частности,

б) Функцию f · g можно записать в виде Но По свойству предела произведения получаем Используя доказанное равенство, получим, что Раскрывая скобки и приводя подобные члены, получим формулу

в) Для доказательства этой формулы заметим, что Воспользовавшись свойством предела частного, получим После этого представим как произведение функций f и откуда и следует доказываемая формула.

Если f дифференцируема, то где также дифференцируема, причем

Доказательство этой формулы предоставляем читателю.

Если функция y = f (x) непрерывна и строго возрастает в окрестности точки причем то функция x = φ (y), обратная к функции y = f (x), дифференцируема в точке y ₀ = f (x ₀), причем

Если функции y = f (x) и z = g (y) дифференцируемы в точках x ₀ и y ₀ = f (x ₀) соответственно, то сложная функция z = g (f (x)) дифференцируема в точкеx ₀, причем

Следствием этой теоремы является тот факт, что дифференциал функции y = f (x) имеет один и тот же вид как в случае, когда x – независимая переменная, так и в случае, когда x – дифференцируемая функция другого переменного.

Если f (x) – четная функция, то – нечетная; если f (x) – нечетная функция, то – четная.

Пусть в окрестности точки t ₀ определены функции x (t) и y (t), причем x (t) непрерывна и строго монотонна. Пусть в этой окрестности существуют производные и Тогда сложная функция y = y (t (x)), где t (x) – функция, обратная x (t), дифференцируема по x, причем

18) Понятие дифференциала и его геометрический смысл

Пусть функция определена на промежутке