Дифференцируемость функций. Непрерывность дифференцируемой функции

Функция y=f(x) называется дифференцируемой в некоторой точке x ₀, если она имеет в этой точке определенную производную, т.е. если предел отношения существует и конечен.

Если функция дифференцируема в каждой точке некоторого отрезка [ а; b ] или интервала (а; b), то говорят, что она дифференцируема на отрезке [ а; b ] или соответственно в интервале (а; b).

Справедлива следующая теорема, устанавливающая связь между дифференцируемыми и непрерывными функциями.

Теорема. Если функция y=f(x) дифференцируема в некоторой точке x ₀, то она в этой точке непрерывна.

Таким образом,из дифференцируемости функции следует ее непрерывность.

Доказательство. Если , то

,

где α бесконечно малая величина, т.е. величина, стремящаяся к нулю при Δ x →0. Но тогда

Δ y = f '(x ₀) Δ x +αΔ x => Δ y →0 при Δ x →0, т.е f(x) – f(x ₀) →0 при x → x ₀, а это и означает, что функция f(x) непрерывна в точке x ₀. Что и требовалось доказать.

Таким образом, в точках разрыва функция не может иметь производной. Обратное утверждение неверно: существуют непрерывные функции, которые в некоторых точках не являются дифференцируемыми (т.е. не имеют в этих точках производной).

Рассмотрим на рисунке точки а, b, c.

В точке a при Δ x →0 отношение не имеет предела (т.к. односторонние пределы различны при Δ x →0–0 и Δ x →0+0). В точке A графика нет определенной касательной, но есть две различные односторонние касательные с угловыми коэффициентами к ₁ и к ₂. Такой тип точек называют угловыми точками.

В точке b при Δ x →0 отношение является знакопостоянной бесконечно большой величиной . Функция имеет бесконечную производную. В этой точке график имеет вертикальную касательную. Тип точки – "точка перегиба" cвертикальной касательной.

В точке c односторонние производные являются бесконечно большими величинами разных знаков. В этой точке график имеет две слившиесявертикальные касательные. Тип – "точка возврата" с вертикальной касательной – частный случай угловой точки.

Примеры.

1. Рассмотрим функцию y=|x|. Эта функция непрерывна в точке x = 0, т.к. .

Покажем, что она не имеет производной в этой точке.

f (0+Δ x) = f (Δ x) = |Δ x |. Следовательно, Δ y = f (Δ x) – f (0) = |Δ x |

Но тогда при Δ x < 0 (т.е. при Δ x стремящемся к 0 слева)

А при Δ x > 0

Т.о., отношение при Δ x → 0 справа и слева имеет различные пределы, а это значит, что отношение предела не имеет, т.е. производная функции y=|x | в точке x = 0 не существует. Геометрически это значит, что в точке x = 0 данная "кривая" не имеет определенной касательной (в этой точке их две).

2. Функция определена и непрерывна на всей числовой прямой. Выясним, имеет ли эта функция производную при x = 0.

Следовательно, рассматриваемая функция не дифференцируема в точке x = 0. Касательная к кривой в этой точке образует с осью абсцисс угол p/2, т.е. совпадает с осью Oy.

 

 

19)

 

 

20) Частные производные первого порядка и их геометрическое истолкование

Пусть задана функция z = ƒ (х; у). Так как х и у — независимые переменные, то одна из них может изменяться, а другая сохранять свое значение. Дадим независимой переменной х приращение Δх, сохраняя значение у неизменным. Тогда z получит приращение, которое называется частным приращением z по х и обозначается ∆_хz. Итак,

Δ_хz=ƒ(х+Δх;у)-ƒ(х;у).

Аналогично получаем частное приращение z по у:Δ_уz=ƒ(x;у+Δу)-ƒ(х;у).

Полное приращение Δz функции z определяется равенством Δz = ƒ(х + Δх;у + Δу)- ƒ(х; у).

Если существует предел

 

то он называется частной производной функции z = ƒ (х; у) в точке М(х;у) по переменной х и обозначается одним из символов:

Частные производные по х в точке М₀(х₀;у₀) обычно обозначают символами

Аналогичноопределяется и обозначается частная производная от z=ƒ(х;у) по переменной у:

Таким образом, частная производная функции нескольких (двух, трех и больше) переменных определяется как производная функции одной из этих переменных при условии постоянства значений остальных независимых переменных. Поэтому частные производные функции ƒ(х;у) находят по формулам и правилам вычисления производных функции одной переменной (при этом соответственно х или у считается постоянной величиной).

Пример 44.1. Найти частные производные функции z = 2у + е^{х2-у +1}. Решение:

Частные производные высших порядков

Частные производные называют частными производными первого порядка. Их можно рассматривать как функции от (х;у) є D. Эти функции могут иметь частные производные, которые называются частными производными второго порядка. Они определяются и обозначаются следующим образом:

Аналогично определяются частные производные 3-го, 4-го и т. д. порядков.

Так, и т.д.

Частная производная второго или более высокого порядка, взятая по различным переменным, называется смешанной частной производной. Таковыми являются, например,

 

 

21)