Дифференцирование сложной функции.

Дифференцирование сложной функции.

Рассмотрим функцию y = sin x².
Чтобы найти значение этой функции в фиксированнной точке x нужно: 1) вычислить x²; 2) найти значение синуса от полученного значения x².
Иными словами, сначала надо найти значение g (x) = x², а потом найти sin g (x).
В подобных случаях говорят, что задана сложная функция y = f (g (x)).
В нашем примере u = g (x) = x², а y = f (u) = sin u.

Пусть y = f (g (x)) - сложная функция, причем функция u = g (x) дифференцируема в точке x, а функция y = f (u) дифференцируема в соответствующей точке u.
Тогда функция y = f (g (x)) дифференцируема в точке x,

причем y = f (g (x)) g (x).
Запись f '(g (x)) означает, что производная вычисляется по формуле для f '(x), но вместо x подставляется g (x).

 

2.Таблица основных производных

Функция y = f (x)	Производные элементарных функций простого аргумента	Функция y = f (kx +b)	Производные элементарных функций сложного аргумента
y = xn	y = n xn −1	y =(kx + b) n	y = n k (kx + b) n −1
y = x	y =1	y =(kx + b)	y = k
y = x	y =12 x	y = kx + b	y = k 12 kx + b
y = x 1	y =−1 x 2	y =1 kx + b	y =− k 1(kx + b)2
y = cos x	y =− sinx	y = cos (kx +b)	y =− ksin (kx + b)
y = sin x	y = cosx	y = sin (kx +b)	y = kcos (kx + b)
y = tg x	y =1 cos 2 x	y = tg (kx +b)	y = k 1 cos 2(kx + b)
y = ctg x	y =−1 sin 2 x	y = ctg (kx +b)	y =− k 1 sin 2(kx + b)
y = arcsin x	y =1 1− x 2	y = arcsin (kx +b)	y = k 1 1−(kx + b)2
y = arccos x	y =−1 1− x 2	y = arccos (kx +b)	y =− k 1 1−(kx + b)2
y = arctg x	y =11+ x 2	y = arctg (kx +b)	y = k 11+(kx + b)2
y = arcctg x	y =−11+ x 2	y = arcctg (kx +b)	y =− k 11+(kx + b)2
y = ax a 0 a =1	y = ax lna a 0 a =1	y = akx + b a 0 a =1	y = k akx + b lna a 0 a =1
y = ex	y = ex	y = ekx + b	y = k ekx + b
y = logax a 0 a =1	y =1 x lna	y = loga (kx + b) a 0 a =1	y = k 1(kx + b) lna
y = lnx	y = x 1 x 0	y = ln (kx +b)	y = k 1 kx + b kx + b 0

 

3. Нахождение промежутков возрастания, убывания, точки экстремума

Определение возрастающей функции.

Функция y=f(x) возрастает на интервале X, если для любых и выполняется неравенство . Другими словами – большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Определение убывающей функции.

Функция y=f(x) убывает на интервале X, если для любых и выполняется неравенство . Другими словами – большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Точку называют точкой максимума функции y=f(x), если для всех x из ее окрестности справедливо неравенство . Значение функции в точке максимума называют максимумом функции и обозначают .

Точку называют точкой минимума функции y=f(x), если для всех x из ее окрестности справедливо неравенство . Значение функции в точке минимума называют минимумом функции и обозначают .

Под окрестностью точки понимают интервал , где - достаточно малое положительное число.

Точки минимума и максимума называют точками экстремума, а значения функции, соответствующие точкам экстремума, называют экстремумами функции.

 

Вот формулировки признаков возрастания и убывания функции на интервале:

· если производная функции y=f(x) положительна для любого x из интервала X, то функция возрастает на X;

· если производная функции y=f(x) отрицательна для любого x из интервала X, то функция убывает на X.

Коллинеарные вектора

Вектора, параллельные одной прямой или лежащие на одной прямой называют коллинеарными векторами (рис. 2).

рис. 2

 

Сонаправленные вектора Два коллинеарных вектора a и b называются сонаправленными векторами, если их направления совпадают: a↑↑b

Противоположно направленные вектора

Два коллинеарных вектора a и b называются противоположно направленными векторами, если их направления противоположны: a↑↓b (рис. 4).

рис. 4

Компланарные вектора

Вектора, параллельные одной плоскости или лежащие на одной плоскости называют компланарными векторами. (рис. 5).

рис. 5

Всегда возможно найти плоскости параллельную двум произвольным векторам, по-этому любые два вектора всегда компланарные.

 

Равные вектора

Вектора a и b называются равными, если они лежат на одной или параллельных прямых, их направления совпадают, а длины равны (рис. 6).

рис. 6

То есть, два вектора равны, если они коллинеарные, сонаправленые и имеют равные длины:

a = b, если a↑↑b и |a| = |b|.

 

Единичный вектор

Определение.

Единичным вектором или ортом - называется вектор, длина которого равна единице.

 

8. Нахождение суммы, разности, произведение векторов

Умножение вектора на число

Сначала о коллинеарности векторов. Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Грубо говоря, речь идёт о параллельных векторах. Но применительно к ним всегда используют прилагательное «коллинеарные».

Представьте два коллинеарных вектора. Если стрелки данных векторов направлены в одинаковом направлении, то такие векторы называются сонаправленными. Если стрелки смотрят в разные стороны, то векторы будут противоположно направлены.

Обозначения: коллинеарность векторов записывают привычным значком параллельности: , при этом возможна детализация: (векторы сонаправлены) или (векторы направлены противоположно).

Произведением ненулевого вектора на число является такой вектор , длина которого равна , причём векторы и сонаправлены при и противоположно направлены при .

Правило умножения вектора на число легче понять с помощью рисунка:

 

 

9.Коллинеарные и компланарные векторы

Определение. Векторы называются коллинеарными, если они расположены на одной или параллельных прямых. Нулевой вектор коллинеарен любому вектору.\

Определение. Векторы называются компланарными, если существует плоскость, которой они параллельны.Коллинеарные векторы всегда компланарны, но не все компланарные векторы коллинеарны.

 

Все выше упомянутые случаи легко рассмотреть, если разместить векторы на рёбрах параллелепипеда.

1. Любые два вектора находятся в одной плоскости, но в одной плоскости можно разместить и векторы AA1−→−, CC1−→− и AD−→−, то есть эти векторы компланарны. Также компланарны векторы AA1−→−, AB−→− и CC1−→−, так как два из этих векторов параллельны. Легко представить, что если привести их к общему началу, то вектор CC1−→− совпадет с вектором AA1−→−.

2. Например, векторы AB−→−, AD−→− и AA1−→− не компланарны, так как их нельзя разместить в одной и той же плоскости.

Признак компланарности трёх векторов:

Пусть векторы a⃗ и b⃗ не коллинеарны. Если для вектора c⃗ существует единственная пара реальных чисел x и y, такая, чтоc⃗ =x⋅a⃗ +y⋅b⃗, то векторы a⃗, b⃗ и c⃗ компланарны.

Справедливо и обратное утверждение:

Если три вектора a⃗, b⃗ и c⃗ компланарны и векторы a⃗ и b⃗ не коллинеарны, то вектор c⃗ можно разложить по векторам a⃗ и b⃗ одним единственным образом.

10. Координаты точки, координаты вектора

Если даны две точки плоскости и , то вектор имеет следующие координаты:

Если даны две точки пространства и , то вектор имеет следующие координаты:

То есть, из координат конца вектора нужно вычесть соответствующие координаты начала вектора.

Обязательно нужно понимать различие между координатами точек и координатами векторов:

Координаты точек – это обычные координаты в прямоугольной системе координат. Откладывать точки на координатной плоскости, думаю, все умеют ещё с 5-6 класса. Каждая точка обладает строгим местом на плоскости, и перемещать их куда-либо нельзя.

Координаты же вектора – это его разложение по базису , в данном случае . Любой вектор является свободным, поэтому при необходимости мы легко можем отложить его от какой-нибудь другой точки плоскости. Интересно, что для векторов можно вообще не строить оси, прямоугольную систему координат, нужен лишь базис, в данном случае ортонормированный базис плоскости .

Записи координат точек и координат векторов вроде бы схожи: , а смысл координат абсолютно разный, и вам следует хорошо понимать эту разницу. Данное отличие, разумеется, справедливо и для пространства

 

 

11.Координаты суммы и разности векторов, произведение на число

Сложение векторов (сумма векторов) a + b есть операция вычисления вектора c, все элементы которого равны попарной сумме соответствующих элементов векторов a и b, то есть каждый элемент вектора c равен: с_i = a_i + b_i

Вычитание векторов (разность векторов) a - b есть операция вычисления вектора c, все элементы которого равны попарной разности соответствующих элементов векторов a и b, то есть каждый элемент вектора c равен: с_i = a_i - b_i

В случае пространственной задачи сумму и разность векторов a = {a_x; a_y; a_z} и b = {b_x; b_y; b_z} можно найти воспользовавшись следующими формулами:

a + b = {a_x + b_x; a_y + b_y; a_z + b_z}

a - b = {a_x - b_x; a_y - b_y; a_z - b_z}

Пример 3. Найти сумму векторов a = {1; 2; 5} и b = {4; 8; 1}.

Решение: a + b = {1 + 4; 2 + 8; 5 + 1} = {5; 10; 6}

Пример 4. Найти разность векторов a = {1; 2; 5} и b = {4; 8; 1}.

Решение: a - b = {1 - 4; 2 - 8; 5 - 1} = {-3; -6; 4}

Определение.

Середина отрезка - это точка, которая лежит на отрезке и находится на равном расстоянии от конечных точек.

В геометрических задачах часто можно столкнуться с необходимостью найти середину отрезка заданного координатами точек его концов, например в задачах поиска медианы, средней линии,...

Каждая координата середины отрезка равна полусумме соответствующих координат концов отрезка.

Формула вычисления координат середины отрезка с концами A(x_a, y_a, z_a) и B(x_b, y_b, z_b) в пространстве:

 

xc =	xa + xb		yc =	ya + yb		zc =	za + zb

 

 

13.Вычисление длины вектора по его координатам

Длина направленного отрезка определяет числовое значение вектора и называется длиной вектора или модулем вектора AB.

Для обозначения длины вектора используются две вертикальные линии слева и справа |AB|.

Длина вектора |a| в прямоугольных декартовых координатах равна квадратному корню из суммы квадратов его координа

Угол между векторами

Угол между двумя векторами , :

Если угол между двумя векторами острый, то их скалярное произведение положительно; если угол между векторами тупой, то скалярное произведение этих векторов отрицательно. Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю, тогда и только тогда, когда эти векторы ортогональны.

Задание. Найти угол между векторами и

Решение. Косинус искомого угла

 

16. Вычисление угла между прямыми, прямой и плоскостью

 

Угол между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую и не перпендикулярной к ней, - это угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость.

Определение угла между прямой и плоскостью позволяет заключить, что угол между прямой и плоскостью представляет собой угол между двумя пересекающимися прямыми: самой прямой и ее проекцией на плоскость. Следовательно, угол между прямой и плоскостью есть острый угол.

Угол между перпендикулярными прямой и плоскостью считают равным , а угол между параллельными прямой и плоскостью либо не определяют вовсе, либо считают равным .

§ 69. Вычисление угла между прямыми.

Задача вычисления угла между двумя прямыми в пространстве решается так же, как и на плоскости (§ 32). Обозначим через φ величину угла между прямыми l ₁и l ₂, а через ψ — величину угла между направляющими векторами а и b этих прямых.

Тогда, если

ψ <90° (рис. 206, а), то φ = ψ; если же ψ > 90° (рис. 206,6), то φ = 180° — ψ. Очевидно, что в обоих случаях верно равенство cos φ = |cos ψ|. По формуле (1) § 20 имеем

следовательно,

Пусть прямые заданы своими каноническими уравнениями

Тогда угол φ между прямыми определяется с помощью формулы

(1)

Если одна из прямых (или обе) задана не каноничecкими уравнениями, то для вычисления угла нужно найти координаты направляющих векторов этих прямых, а затем воспользоваться формулой (1).

17. Параллельные прямые, Теоремы о параллельных прямых

 

Определение. Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек.

Две прямые в трехмерном пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не имеют общих точек.

Замечания.

рис. 22

1. Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой. 2. Если одна из двух параллельных прямых параллельна данной плоскости, а другая прямая имеет с плоскостью общую точку, то эта прямая лежит в данной плоскости.

Выводы.

Случаи взаимного расположения прямой и плоскости:

а) прямая лежит в плоскости;
б) прямая и плоскость имеют только одну общую точку;
в) прямая и плоскость не имеют ни одной общей точки.

 

 

19.Скрещивающиеся прямые. Теоремы о скрещивающихся прямых

скрещивающиеся прямые

Две прямые называют скрещивающимися прямыми, если не существует плоскости, содержащей обе прямые.

Признак скрещивающихся прямых. Если одна из двух прямых лежит на плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещиваются (рис.1).

Углом между скрещивающимися прямыми называют угол между пересекающимися прямыми, соответственно параллельными данным скрещивающимся прямым (рис. 2).

Рис.2

На рисунке 2 изображены скрещивающиеся прямые a и b. Прямая a' параллельна прямой a, прямая b' параллельна прямой b. Прямые a' и b' пересекаются. Угол φ и является углом между скрещивающимися прямыми a и b.

 

 

20. Параллельность плоскостей

Две плоскости параллельны, если они не имеют общих точек.

Это определение. Однако в практических целях чаще используется признак параллельности плоскостей:

Плоскости параллельны друг другу, если две пересекающиеся прямые, лежащие в одной плоскости, соответственно параллельны двум пересекающимся прямым, лежащим в другой плоскости.

Свойства параллельных плоскостей:

1. Если две плоскости параллельны третьей, то они параллельны друг другу.

2. Линии пересечения двух параллельных плоскостей третьей плоскостью параллельны.

3. Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны.

 

21.Перпендикулярные прямые

Две прямые называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом.
Прямая a пересекается с прямой b под прямым углом в точке A. Можно зависать используя значок перпендикулярности: a ⊥ b. Это читается так: прямая а перпендикулярна прямой b.
Следует заметить, что смежный угол и вертикальный угол с прямым углом тоже прямые.

Через каждую точку прямой можно провести перпендикулярную ей прямую, и только одну.

Доказательство.

Пусть b – данная прямая, а точка A принадлежит этой прямой. Возьмем некоторый луч b1 на прямой b с начальной точкой в A. Отложим от луча b1 угол (a1b1), равный 90°. По определению прямая содержащая луч a1 будет перпендикулярная прямой b.
Допустим, существует другая прямая перпендикулярная прямой b и проходящая через точку A. Возьмем на этой прямой луч с1, исходящий из точки A и лежащий в той же полуплоскости, что и луч a1. Тогда ∠ (a1b1) = ∠ (c1b1) = 90 º. Но согласно аксиоме 8, в данную полуплоскость можно отложить только один угол, равный 90 º. Следовательно, нельзя провести другую прямую перпендикулярную прямой b через точку A в заданную полуплоскость. Теорема доказана.

Перпендикуляром к данной прямой называется отрезок прямой, перпендикулярной данной, имеющий одним из концов их точку пересечения. Этот конец отрезка называется основанием перпендикуляра. AB – перпендикуляр к прямой a. Точка A – основание перпендикуляра.

22. Перпендикулярность прямой и плоскости

Признак перпендикулярности прямой и плоскости

 

23.Расстояние от точки до прямой. Теорема о трёх перпендикулярах

АН – расстояние от точки до плоскости.

24. Угол между прямой и плоскостью

 

 

25. Двугранный угол

 

 

26. Перпендикулярность плоскостей

 

27. Многогранники. Определение, грани, вершины,ребра. Выпуклые многогранники

 

 

28. Прямоугольный параллелепипед:.опр. свойства, площадь поверхности, объём

 

Параллелепипед является четырехугольной призмой.

 

29. Призма. Прямая призма, правильная призма, площадь поверхности и объём

 

30.Пирамида. Правильная пирамида, площадь поверхности и объём

 

31. Правильные многогранники. Типы правильных многогранников.

 

32. Цилиндр. Площадь поверхности и объём.

 

 

33.Конус. Усеченный конус. Площадь поверхности и объём.

 

 

 

34. Сфера и шар. Уравнение сферы

 

35.Взаимное расположение сферы и плоскости

 

36. Площадь поверхности сферы и объём шара.

 

37. Шаровой сегмент, шаровой слой, шаровой сектор

 

 

Дифференцирование сложной функции.

Рассмотрим функцию y = sin x².
Чтобы найти значение этой функции в фиксированнной точке x нужно: 1) вычислить x²; 2) найти значение синуса от полученного значения x².
Иными словами, сначала надо найти значение g (x) = x², а потом найти sin g (x).
В подобных случаях говорят, что задана сложная функция y = f (g (x)).
В нашем примере u = g (x) = x², а y = f (u) = sin u.

Пусть y = f (g (x)) - сложная функция, причем функция u = g (x) дифференцируема в точке x, а функция y = f (u) дифференцируема в соответствующей точке u.
Тогда функция y = f (g (x)) дифференцируема в точке x,

причем y = f (g (x)) g (x).
Запись f '(g (x)) означает, что производная вычисляется по формуле для f '(x), но вместо x подставляется g (x).

 

2.Таблица основных производных

Функция y = f (x)	Производные элементарных функций простого аргумента	Функция y = f (kx +b)	Производные элементарных функций сложного аргумента
y = xn	y = n xn −1	y =(kx + b) n	y = n k (kx + b) n −1
y = x	y =1	y =(kx + b)	y = k
y = x	y =12 x	y = kx + b	y = k 12 kx + b
y = x 1	y =−1 x 2	y =1 kx + b	y =− k 1(kx + b)2
y = cos x	y =− sinx	y = cos (kx +b)	y =− ksin (kx + b)
y = sin x	y = cosx	y = sin (kx +b)	y = kcos (kx + b)
y = tg x	y =1 cos 2 x	y = tg (kx +b)	y = k 1 cos 2(kx + b)
y = ctg x	y =−1 sin 2 x	y = ctg (kx +b)	y =− k 1 sin 2(kx + b)
y = arcsin x	y =1 1− x 2	y = arcsin (kx +b)	y = k 1 1−(kx + b)2
y = arccos x	y =−1 1− x 2	y = arccos (kx +b)	y =− k 1 1−(kx + b)2
y = arctg x	y =11+ x 2	y = arctg (kx +b)	y = k 11+(kx + b)2
y = arcctg x	y =−11+ x 2