Геометрическая интерпретация.

Произведение ненулевого вектора на число - это вектор, коллинеарный данному (сонаправленный данному, если число положительное, имеющий противоположное направление, если число отрицательное), а его модуль равен модулю данного вектора, умноженному на модуль числа.

Алгебраическая интерпретация.

Произведение ненулевого вектора на число - это вектор, координаты которого равны соответствующим координатам данного вектора, умноженным на число.

В случае пространственной задачи произведение вектора a = {a_x; a_y; a_z} и числа k можно найти воспользовавшись следующей формулой:

k · a = {k · a_x; k · a_y; k · a_z}

12 Координаты середины отрезка

Координаты середины отрезка равны полусуммам координат его концов: если концы отрезка – A (x ₁; y ₁) и B (x ₂; y ₂), то координаты его середины –

Определение.

Середина отрезка - это точка, которая лежит на отрезке и находится на равном расстоянии от конечных точек.

В геометрических задачах часто можно столкнуться с необходимостью найти середину отрезка заданного координатами точек его концов, например в задачах поиска медианы, средней линии,...

Каждая координата середины отрезка равна полусумме соответствующих координат концов отрезка.

Формула вычисления координат середины отрезка с концами A(x_a, y_a, z_a) и B(x_b, y_b, z_b) в пространстве:

 

xc =	xa + xb		yc =	ya + yb		zc =	za + zb

 

 

13.Вычисление длины вектора по его координатам

Длина направленного отрезка определяет числовое значение вектора и называется длиной вектора или модулем вектора AB.

Для обозначения длины вектора используются две вертикальные линии слева и справа |AB|.

Длина вектора |a| в прямоугольных декартовых координатах равна квадратному корню из суммы квадратов его координа

Формула длины вектора для плоских задач

В случае плоской задачи модуль вектора a = {a_x; a_y} можно найти воспользовавшись следующей формулой:

|a| = √a_x² + a_y²

 

Формула длины вектора для пространственных задач

В случае пространственной задачи модуль вектора a = {a_x; a_y; a_z} можно найти воспользовавшись следующей формулой:

|a| = √a_x² + a_y² + a_z²

14.Скалярное произведение векторов

 

Скалярным произведением двух ненулевых векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:

Задание. Вычислить скалярное произведение векторов и , если их длины соответственно равны 2 и 3, а угол между ними 60°.

Решение. Так как из условия , , а , то

Если хотя бы один из векторов или равен нулевому вектору, то .

 

Свойства скалярного произведения:

1° - симметричность.

2° . Обозначается и называется скалярный квадрат.

3° Если , то

4° Если и и , то . Верно и обратное утверждение.

5°

6°

 

Если векторы и заданы своими координатами: , , то их скалярное произведение вычисляется по формуле:

15.Вычисление угла между векторами

 

Угол между векторами

Угол между двумя векторами , :

Если угол между двумя векторами острый, то их скалярное произведение положительно; если угол между векторами тупой, то скалярное произведение этих векторов отрицательно. Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю, тогда и только тогда, когда эти векторы ортогональны.

Задание. Найти угол между векторами и

Решение. Косинус искомого угла

 

16. Вычисление угла между прямыми, прямой и плоскостью

 

Угол между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую и не перпендикулярной к ней, - это угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость.

Определение угла между прямой и плоскостью позволяет заключить, что угол между прямой и плоскостью представляет собой угол между двумя пересекающимися прямыми: самой прямой и ее проекцией на плоскость. Следовательно, угол между прямой и плоскостью есть острый угол.

Угол между перпендикулярными прямой и плоскостью считают равным , а угол между параллельными прямой и плоскостью либо не определяют вовсе, либо считают равным .

§ 69. Вычисление угла между прямыми.

Задача вычисления угла между двумя прямыми в пространстве решается так же, как и на плоскости (§ 32). Обозначим через φ величину угла между прямыми l ₁и l ₂, а через ψ — величину угла между направляющими векторами а и b этих прямых.

Тогда, если

ψ <90° (рис. 206, а), то φ = ψ; если же ψ > 90° (рис. 206,6), то φ = 180° — ψ. Очевидно, что в обоих случаях верно равенство cos φ = |cos ψ|. По формуле (1) § 20 имеем

следовательно,

Пусть прямые заданы своими каноническими уравнениями

Тогда угол φ между прямыми определяется с помощью формулы

(1)

Если одна из прямых (или обе) задана не каноничecкими уравнениями, то для вычисления угла нужно найти координаты направляющих векторов этих прямых, а затем воспользоваться формулой (1).

17. Параллельные прямые, Теоремы о параллельных прямых

 

Определение. Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек.

Две прямые в трехмерном пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не имеют общих точек.