Правило сложения векторов по правилу треугольников

Рассмотрим два произвольных ненулевых вектора и :

Требуется найти сумму данных векторов. В силу того, что все векторы считаются свободными, отложим вектор от конца вектора :

Суммой векторов и является вектор . Для лучшего понимания правила в него целесообразно вложить физический смысл: пусть некоторое тело совершило путь по вектору , а затем по вектору . Тогда сумма векторов представляет собой вектор результирующего пути с началом в точке отправления и концом в точке прибытия. Аналогичное правило формулируется для суммы любого количества векторов. Как говорится, тело может пройти свой путь сильно поддатым по зигзагу, а может и на автопилоте – по результирующему вектору суммы.

Кстати, если вектор отложить от начала вектора , то получится эквивалентное правило параллелограмма сложения векторов.

Умножение вектора на число

Сначала о коллинеарности векторов. Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Грубо говоря, речь идёт о параллельных векторах. Но применительно к ним всегда используют прилагательное «коллинеарные».

Представьте два коллинеарных вектора. Если стрелки данных векторов направлены в одинаковом направлении, то такие векторы называются сонаправленными. Если стрелки смотрят в разные стороны, то векторы будут противоположно направлены.

Обозначения: коллинеарность векторов записывают привычным значком параллельности: , при этом возможна детализация: (векторы сонаправлены) или (векторы направлены противоположно).

Произведением ненулевого вектора на число является такой вектор , длина которого равна , причём векторы и сонаправлены при и противоположно направлены при .

Правило умножения вектора на число легче понять с помощью рисунка:

 

 

9.Коллинеарные и компланарные векторы

Определение. Векторы называются коллинеарными, если они расположены на одной или параллельных прямых. Нулевой вектор коллинеарен любому вектору.\

Определение. Векторы называются компланарными, если существует плоскость, которой они параллельны.Коллинеарные векторы всегда компланарны, но не все компланарные векторы коллинеарны.

 

Все выше упомянутые случаи легко рассмотреть, если разместить векторы на рёбрах параллелепипеда.

1. Любые два вектора находятся в одной плоскости, но в одной плоскости можно разместить и векторы AA1−→−, CC1−→− и AD−→−, то есть эти векторы компланарны. Также компланарны векторы AA1−→−, AB−→− и CC1−→−, так как два из этих векторов параллельны. Легко представить, что если привести их к общему началу, то вектор CC1−→− совпадет с вектором AA1−→−.

2. Например, векторы AB−→−, AD−→− и AA1−→− не компланарны, так как их нельзя разместить в одной и той же плоскости.

Признак компланарности трёх векторов:

Пусть векторы a⃗ и b⃗ не коллинеарны. Если для вектора c⃗ существует единственная пара реальных чисел x и y, такая, чтоc⃗ =x⋅a⃗ +y⋅b⃗, то векторы a⃗, b⃗ и c⃗ компланарны.

Справедливо и обратное утверждение:

Если три вектора a⃗, b⃗ и c⃗ компланарны и векторы a⃗ и b⃗ не коллинеарны, то вектор c⃗ можно разложить по векторам a⃗ и b⃗ одним единственным образом.

10. Координаты точки, координаты вектора

Если даны две точки плоскости и , то вектор имеет следующие координаты:

Если даны две точки пространства и , то вектор имеет следующие координаты:

То есть, из координат конца вектора нужно вычесть соответствующие координаты начала вектора.

Обязательно нужно понимать различие между координатами точек и координатами векторов:

Координаты точек – это обычные координаты в прямоугольной системе координат. Откладывать точки на координатной плоскости, думаю, все умеют ещё с 5-6 класса. Каждая точка обладает строгим местом на плоскости, и перемещать их куда-либо нельзя.

Координаты же вектора – это его разложение по базису , в данном случае . Любой вектор является свободным, поэтому при необходимости мы легко можем отложить его от какой-нибудь другой точки плоскости. Интересно, что для векторов можно вообще не строить оси, прямоугольную систему координат, нужен лишь базис, в данном случае ортонормированный базис плоскости .

Записи координат точек и координат векторов вроде бы схожи: , а смысл координат абсолютно разный, и вам следует хорошо понимать эту разницу. Данное отличие, разумеется, справедливо и для пространства

 

 

11.Координаты суммы и разности векторов, произведение на число

Сложение векторов (сумма векторов) a + b есть операция вычисления вектора c, все элементы которого равны попарной сумме соответствующих элементов векторов a и b, то есть каждый элемент вектора c равен: с_i = a_i + b_i

Вычитание векторов (разность векторов) a - b есть операция вычисления вектора c, все элементы которого равны попарной разности соответствующих элементов векторов a и b, то есть каждый элемент вектора c равен: с_i = a_i - b_i

В случае пространственной задачи сумму и разность векторов a = {a_x; a_y; a_z} и b = {b_x; b_y; b_z} можно найти воспользовавшись следующими формулами:

a + b = {a_x + b_x; a_y + b_y; a_z + b_z}

a - b = {a_x - b_x; a_y - b_y; a_z - b_z}

Пример 3. Найти сумму векторов a = {1; 2; 5} и b = {4; 8; 1}.

Решение: a + b = {1 + 4; 2 + 8; 5 + 1} = {5; 10; 6}

Пример 4. Найти разность векторов a = {1; 2; 5} и b = {4; 8; 1}.

Решение: a - b = {1 - 4; 2 - 8; 5 - 1} = {-3; -6; 4}