Векторы и линейные операции над векторами. Разложение векторов

Тема 3. Векторная алгебра

Действия над векторами, заданными своими координатами

Определение 3.4 Проекцией вектора на ось называется число, равное длине вектора (рис. 3.9), взятое со знаком «плюс», если направление вектора совпадает с направлением оси и со знаком «минус» в противном случае.

Точки - это точки пересечения оси с плоскостями, проходящими через точки и , перпендикулярно оси . Обозначение .

Основные свойства проекции:

1) , где - угол между вектором и осью ;

2) ;

3) ;

4) .

Рассмотрим в пространстве прямоугольную систему координат . Построим на координатных осях и единичные векторы, обозначаемые соответственно (рис. 3.10).

Единичные векторы , имеющие направление положительных координатных полуосей, называются ортами координатныхосей.

Произвольный вектор пространства можно единственным образом представить в виде линейной комбинации ортов координатных осей. Для разложения вектора совместим его начало с началом координат (рис. 3.10). Из конца вектора проведем плоскости, параллельные координатным плоскостям. Обозначим , и точки пересечения этих плоскостей с осями соответственно. Тогда

,

, , .

а значит, существуют числа , такие что

, , и

, , .

Следовательно, вектор можно представить в виде:

. (3.5)

Формула (3.5) называется разложением вектора по ортам координатных осей или по базису . Коэффициенты линейной комбинации (3.5) называют прямоугольными координатами вектора , т.е. координаты вектора есть его проекции на соответствующие координатные оси.

Векторное равенство (3.5) записывают в виде

(3.6)

Имеет место аналогичное разложение вектора по базису на плоскости (рис. 3.11).

. (3.7)

Длина вектора с координатами определяется по формуле

. (3.8)

Для плоского вектора

. (3.9)

Направление вектора в пространстве и на плоскости можно определить с помощью косинусов углов, которые образует вектор с осями координат. Их называют направляющими косинусами вектора. Обозначим - углы, которые составляет вектор с осями соответственно, тогда

, , . (3.10)

Справедливо равенство

. (3.11)

При выполнении линейных операций над векторами тем же операциям подвергнутся и их проекции на координатные оси.

Пусть даны два вектора и .

При сложении векторов их одноименные координаты складываются, при вычитании – вычитаются, при умножении на число – умножаются на это число:

, (3.12)

.

Векторы и равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие координаты:

, , . (3.13)

Векторы и коллинеарны тогда и только тогда, когда их соответствующие координаты пропорциональны, т.е.

. (3.14)

 

Радиус-вектором точки называется вектор (рис. 3.12), начало которого совпадает с началом координат, а конец с точкой .

Координаты точки – это координаты её радиус-вектора .

Для вектора , заданного координатами точки и , его координаты определяются из векторного равенства

(3.15)

Здесь и - радиус-векторы точек и , т.е. координаты вектора равны разностям одноименных координат конечной и начальной точек этого вектора.

Деление отрезка в данном отношении

Определим радиус-вектор точки , делящей отрезок в отношении .

Вектор и одинаково направлен с , поэтому . Учитывая векторные равенства , получим ,

откуда (3.16)

Из равенства векторов (3.16) следуют три координатных формулы

, , . (3.17)

Для ( - середина отрезка )

, , . (3.18)

 

Скалярное произведение векторов

Определение 3.5 Скалярным произведением двух ненулевых векторов и называется число, обозначаемое , равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними (рис. 3.13).

Таким образом

(3.19)

где .

Из рисунка видно:

, . (3.20)

С учетом (3.20) можно записать равенства

. (3.21)

 

Свойства скалярного произведения:

1) (коммутативный закон);

2) (дистрибутивный закон);

3) (ассоциативный по отношению к скалярному множителю);

4) , скалярный квадрат вектора равен квадрату длины вектора. В частности .

5) Условие перпендикулярности векторов.

Если векторы и ненулевые, то (3.22)

В частности .

 

Приложения скалярного произведения

С помощью скалярного произведения определяют косинус угла между векторами по формуле:

, (3.24)

или переходя к координатам векторов

. (3.25)

Находят проекцию одного вектора на направление другого по формуле:

, . (3.26)

Определяют длину вектора

. (3.27)

 

 

Приложение векторного произведения

Площадь параллелограмма, построенного на векторах и :

(3.32)

а площадь треугольника, построенного на векторах и :

(3.33)

 

Тема 3. Векторная алгебра

Векторы и линейные операции над векторами. Разложение векторов

Определение 3.1 Вектором (геометрическим вектором) называется направленный отрезок, то есть отрезок, имеющий определенную длину и направление.

Векторы рассматриваются на плоскости (двумерные) и в пространстве (трехмерные). И в том, и в другом случае вектор определяется упорядоченной парой точек, первая из которых – начало вектора, другая – конец вектора. Для обозначения векторов используются символы , , , . Если и соответственно точки начала и конца вектора, то этот вектор обозначается (Рис. 3.1). Вектор с началом в точке и концом в точке называет противоположным вектору .

Длиной или модулем вектора называется число, равное длине отрезка , изображающего вектор. Векторы и имеют один и тот же модуль.

Нулевым вектором называется вектор, начало и конец которого совпадают. Нуль-вектор обозначается символом . Модуль нулевого вектора равен нулю.

Единичным вектором называет вектор, длина которого равна единице. Единичный вектор, направление которого совпадает с направлением вектора , называется ортом вектора и обозначается .

Два ненулевых вектора называются равными, если один из них путем параллельного переноса можно совместить с другим так, что совпадут их начала и концы (рис 1.2). Обозначают .

С точки зрения векторной алгебры вектор не меняется при его параллельном переносе с сохранением его длины и его направления, то есть точку приложения вектора можно помещать в любую точку пространства. Такие векторы называются свободными.

Линейными операциями над векторами называются операции сложение, вычитание и умножение вектора на число.

Сложение двух векторов и можно выполнить с помощью правила параллелограмма. Если отложить векторы и от общей точки и построить на них как на сторонах параллелограмм, то вектор , идущий из общего начала в противоположную вершину параллелограмма, будет их суммой (рис. 3.3).

Для построения суммарного вектора не обязательно строить весь параллелограмм , достаточно построить треугольник . Сформулированное правило определения суммы можно заменить более удобным.

Суммой двух векторов и называется вектор, соединяющий начало первого слагаемого вектора с концом второго при условии, что начало второго слагаемого совмещено с концом первого (рис. 3.4).

При этом ясно, что результат сложения не зависит от того, в какой точке пространства начало первого слагаемого: при её изменении весь треугольник параллельно переносится. Это правило сложения векторов называется правилом треугольника.

Сложение многих векторов , , , , совершается последовательно: сначала складывается первый вектор со вторым , затем к их сумме прибавляется третий вектор , затем к полученной сумме прибавляется вектор и т.д. (рис. 3.5).

Непосредственно видно, что получается следующее правило для сложения векторов.

Правило многоугольника. Суммой нескольких векторов является вектор, соединяющий начало первого слагаемого вектора с концом последнего при условии, что начало каждого последующего вектора совмещено с концом предыдущего (рис. 3.6).

Законы сложения векторов:

1. ,

2. ,

3. .

Разностью двух векторов и называется вектор , который при сложении с вектором даёт вектор (рис. 3.7).

Заметим, что если на векторах и , отложенных от общего начала, можно построить параллелограмм, то одна направленная диагональ является суммой векторов, а другая разностью.

Произведением ненулевого вектора на число называется вектор (или ), длина которого равна , а направление совпадает с направлением вектора , при и противоположно ему при .

Например, если дан вектор , то векторы и имеют вид и .

Законы умножения вектора на число:

1. ,

2. ,

3. ,

4. .

Из определения произведения вектора на число следует, что всякий вектор может быть представлен в виде произведения модуля вектора на орт этого вектора.

(3.1)

Если над векторами , , , выполнять действия сложения, вычитания и умножения на число, то в результате любого числа таких действий получится вектор вида

,

представляющий собой линейную комбинацию исходных векторов.

Векторы , , , называются линейно зависимыми (связанными линейной зависимостью), если между ними выполняется соотношение следующего вида:

, (3.2)

где скалярные коэффициенты не все равны нулю.

Если все коэффициенты равны нулю, то соотношение (3.2) будет выполняться, но оно не будет устанавливать зависимости между векторами. Про векторы , , , говорят, что они линейно независимые.

Понятие линейной независимости между векторами используется для алгебраической характеристики взаимного расположения векторов в пространстве.

Определение 3.2 Два ненулевых вектора и называются коллинеарными (обозначают ), если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

Коллинеарные векторы могут быть одинаково направленными (как векторы и ) или противоположно направленными (векторы и (рис 3.8)).

Теорема 3.1 Два вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они коллинеарны.

Следствие. Если между двумя неколлинеарными векторами выполняется равенство

,

то оба коэффициента должны равняться нулю .

Определение 3.3 Ненулевые векторы называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях.

Любые два вектора всегда компланарны, а три вектора могут и не быть компланарными.

Теорема 3.2 Три вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они компланарны.

- коллинеарны (3.3)

Представление вектора в виде линейной комбинации векторов и по (3.3) называется разложением на плоскости по двум неколлинеарным векторам.

Рассмотрим произвольный вектор и тройку некомпланарных векторов .

Теорема 3.3 Каждый вектор единственным образом разлагается по трем некомпланарным векторам , т.е. представляется в виде

(3.4)

Из (3.4) следует, что любые четыре вектора в пространстве линейно зависимы.

Упорядоченная тройка некомпланарных (линейно независимых) векторов называется базисом во множестве геометрических векторов пространства. Скалярные коэффициенты однозначно определяются и называются координатами вектора относительно базиса .

Аналогично: упорядоченная пара неколлинеарных (линейно независимых) векторов образует базис геометрических векторов на плоскости. Коэффициенты в разложении (3.4) есть координаты вектора относительно базиса .

 

3 .2 Прямоугольные координаты вектора.