Базис и размерность линейного векторного пространства

Множество векторов , , …, называется линейно независимым, если равенство выполняется лишь при . В противном случае векторы , , …, линейно зависимы и, по крайней мере, один из них (перед которым стоит скалярный множитель не равный нулю) может быть выражен в виде линейной комбинации остальных векторов этого множества.

Понятие линейной независимости распространяется на бесконечные системы векторов. Такая система называется линейно независимой, если линейно независима любая ее конечная часть.

Базис линейного векторного пространства есть такое множество линейно независимых векторов , , …, пространства , что каждый вектор может быть представлен (единственным образом) в виде линейной комбинации

(1.2.16)

относительно базисных векторов ( =1, 2, …, ). Любая система линейно независимых векторов образует базис линейного векторного пространства, состоящего из всевозможных линейных комбинаций этих векторов. Число называется (линейной) размерностью данного векторного пространства. Если – конечное число, то пространство называют конечномерным. Бесконечномерное векторное пространство не допускает никакого конечного базиса.

В конечномерном векторном пространстве , порожденном базисными векторами:

a) каждое множество из линейно независимых векторов является базисом;

b) никакое множество из векторов не является базисом;

c) каждое множество из векторов необходимо линейно зависимо.

Упорядоченная совокупность чисел в представлении (1.2.16) вектора линейной комбинацией базисных векторов является координатами (единственными) этого вектора в системе координат (системе отсчета), определяемой базисными векторами , , …, : = . Вектор + имеет координаты , а вектор – ( =1, 2, …, ).

Из каждой линейно независимой системы векторов можно построить путем линейных комбинаций (процессом ортогонализации) систему попарно ортогональных единичных векторов , , …, , обладающую свойствами:

(1.2.17)

Такую систему векторов называют ортонормированной (ортогональной нормированной) системой. В конечномерном унитарном векторном пространстве размерности каждая ортонормированная система из векторов образует базис этого пространства (ортонормированный базис). В ортонормированном базисе базисные единичные вектора имеют координаты: , , …, .

Конечномерные действительные унитарные векторные пространства называются евклидовыми векторными пространствами (обозначение , где – размерность пространства). В предыдущей лекции 1.2.1 были рассмотрены векторы в обычном трехмерном пространстве (в пространстве ). Система базисных единичных векторов образует ортонормированный базис этого пространства. Множество векторов на обычной плоскости представляют евклидово пространство .

 

Пример. Рассмотрим множество матриц – столбцов размера . Сравнение определенных ранее линейных операций сложения матриц и умножения матриц на число (скаляр) с определяющими свойствами линейного векторного пространства позволяет сделать вывод, что множество матриц – столбцов образует векторное пространство, в котором в качестве векторов выступают эти матрицы. Это векторное пространство становится унитарным, если в нем определить скалярное произведение двух матриц – столбцов (векторов) () и () как , где символом обозначена операция транспонирования матрицы, а произведение находится по правилу умножения матриц. Это пространство является и нормированным, т. к. позволяет ввести норму матрицы – столбца (вектора ) формулой .

 

, ,

, ,

, ,

( – квадратная матрица).