Односторонние производные функции в точке

Определение. Правой (левой) производной функции f(x) в точке х = х ₀ называется правое (левое) значение предела отношения при условии, что это отношение существует.

, .

Если функция f(x) имеет производную в некоторой точке х = х ₀, то она имеет в этой точке односторонние производные. Однако, обратное утверждение неверно. Во- первых функция может иметь разрыв в точке х ₀, а во- вторых, даже если функция непрерывна в точке х ₀, она может быть в ней не дифференцируема.

 

Пример: f(x) = ï x ï - имеет в точке х = 0 и левую и правую производную, непрерывна в этой точке, однако, не имеет в ней производной.

 

Теорема (необходимое условие существования производной) Если функция f(x) имеет производную в точке х₀, то она непрерывна в этой точке.

Понятно, что это условие не является достаточным.

 

Основные правила дифференцирования

1. Производная константы равна нулю, т.е. , где С - const.

2. Производная аргумента равна 1, т.е. .

3. Производная алгебраической суммы конечного числа дифференцируемых функций равна такой же сумме производных этих функций, т.е.

4. Производная произведения двух дифференцируемых функций:

Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак производной: , где С - const.

5. Производная частного двух дифференцируемых функций:

.

при условии, что .

6. Производная сложной функции , где , где y и u – дифференцируемые функции своих аргументов, равна

Теорема. Для дифференцируемой функции с производной, не равной нулю, производная обратной функции равна обратной величине производной данной функции, т.е. .

Производные основных элементарных функций

Производная логарифмической функции:

; .

Производная показательной функции:

;

Производная степенной функции:

.

Производные тригонометрических и обратных тригономнтрических функций:

Производная неявной функции получается дифференцированием обеих частей уравнения, рассматривая y как функцию от x, а затем из полученного уравнения находится :

 

Примеры. Найти производные функций:

1)

2)

3)

4) . Преобразуем эту функцию, раскрывая скобки: , .

5) По формуле дифференцирования сложной функции имеем , где – производная аргумента функции синус.

6) . Эта функция может быть представлена в виде . Отсюда

7) Эту функцию удобно преобразовать, пользуясь свойствами логарифмов: . Тогда .

8) . .

9) .

10. .

 

Производные высших порядков

Производная называется производной 1-го порядка. Однако производная сама является функцией, которая также может иметь производную.

Производной n -го порядка называется производная от производной (n -1)-го порядка.

Обозначается: и т.д.

Механический смысл 2-й производной: 2-ая производная пути во времени равна ускорению точки в момент .