Предел функции и его свойства

Предел функции и его свойства

Определение Коши используется для обоснования существования предела, а опред-ие Гейна – для обоснования отсутствия предела.

Свойства предела: предел единственен и фун-ия в некоторой окрестности предельной точки ограничена.

Определение пределов по Гейне. Число А назывется пределом функции f(x) в т x0, если для для любой сходящейся к x0 последовательности (1) значений x, отличных от x0 соответствует последовательность (2), сходящаяся к числу А.

lim _x→x0 f(x) = A

(1) f(x)=c; любое x0

x1, x2, x3…→x0

c, c, c,c…→c lim_x→x0c=c

(2) f(x)=x; любое x0

x1; x2; x3…→x0

x1; x2; x3…→x0 lim_x→x0x=x0

Определение пределов по Коши. Число А называется пределом функции f(x) в т x0, если для любого ε>0 δ=δ(ε), что ля всех x, удовлетворяющих условию или приним. δ – окрестности х0 |x-x0|<δ x≠x0

|f(x)-A|<ε

-δ<x-x0<δ

-δ+x0<x<δ+x0

 

1) Предел постоянной величины

Предел постоянной величины равен самой постоянной величине:

2)Предел суммы

Предел суммы двух функций равен сумме пределов этих функций:

3) Предел произведения функции на постоянную величину

Постоянный коэффициент можно выносить за знак предела:

4)Предел произведения

Предел произведения двух функций равен произведению пределов этих функций:

5)Предел частногоПредел частного двух функций равен отношению пределов этих функций при условии, что предел знаменателя не равен нулю:

если

Односторонние пределы. Существование предела в точке

Число А называется правым(левым) пределом функции f(x), если для любого ε>0 существует δ=δ(ε), что для всех x, отвеч неравенству x0<x<x0+δ (x0-δ<x<x0) => |f(x)- A|<ε

f(x) всегда имеет предел в т х0 тогда и только тогда, когда в этой точке существует как правый так и левый пределы, при этом они равны.

Сущ-ие предела в точке. Число А назыв. пределом фун-ии f(x) при х, стремящемся к х₀ (или точке х₀), если для любого, даже сколь угодно малого положительного числа ε>0, найдётся такое положительное число δ>0 (зависящее от ε, δ=δ(ε)), что для всех х, не равных х₀ и удовлетворяющее условию , выполняется неравенство

Обозначается или

 

Теоремы о пределах функций

*пусть f(x) g(x) имеют в точке х0 пределы, соотв В и С

lim _x→x0f(x)=B lim _x→x0g(x)=C

f(x)±g(x)=B+C

f(x)*g(x)=B*C

f(x)/g(x) (если g(x)≠0)=B/C

Следствие

Постоянный множитель можно выносить за знак предела

*пусть функции f(x) g(x) k(x) оперделены в некоторой окрестности т х0 за искл самой х0 *пусть функции f(x) и k(x) имеет в точке х0 предел А и пусть имеет место неравенство f(x)≤g(x)≤k(x), тогда limg(x)_x→x0=A

*будем говорить, что f(x)/g(x) есть неопределенность вида 0/0 или бесконечность/бесконечность если числитель и знаменатель одновременно стремятся к 0 или бесконечности lim_{x→бесконечности}Pn(x)/Qm(x)=

1)если m=n отношение коэф при х в макс степени

2)Если n>m –бесконечность

3)если n<m 0

* фун-ия не может иметь более одного предела

 

Сравнение бесконечно больших и бесконечно малых функций

Функция α_n называется бесконечно малой функцией при x→x₀, если ее предел равен 0.

Если α(x) и β(x) – бесконечно малые функции и lim_x→x0 β(x)/α(x)=0, то функция β(x) называется бесконечно малой функцией высшего порядка малости относительно α(x), что записывается в виде β=o(α).

Если lim_x→x0 β(x)/α^k(x)=A (отличное от 0 конечное число), то β(x) называется бесконечно малой функцией k-го порядка малости относительно α(x).

Если lim_x→x0 β(x)/α(x)=1, то β(x) и α(x) называются эквивалентными бесконечно малыми функциями: β(x)~α(x).

, то это бесконечно малые фун-ии одного порядка

 

Первый и второй замечательные пределы

Предел отношения синуса бесконечно малой дуги к самой дуге, выраженной в радианах, называется первым замечательным пределом. Этот предел равен единице.

Предел последовательности

называется вторым замечательным пределом. Этот предел равен числу e:

Понятие производной. геометрический и физический смысл.

Производной фун-ии назыв. предел отношения приращения фун-ии к приращению независимой переменной при стремлении последнего к нулю (если этот предел сущ-ет):

Нахождении производ. фун-ии назыв. дифференцированием этой фун-ии.

Геометрич. смысл произв-ой: производная есть угловой коэффициент (тангенс угла наклона) касательной, проведённой к кривой

Физич. смысл производной: производная пути по времени есть скорость точки в момент :

 

Теоремы о производных

Сформулируем некоторые теоремы о производных.

Теорема. Если существуют производные и функций и , то существует

;

Следствие. так как (т.е. постоянный множитель выносится за знак производной.

Теорема. Если функция в точке имеет производную, то она в этой точке непрерывна.

Обратное неверно. На рис. 30 изображена непрерывная функция, у которой в точке нет производной.

Теорема о производной сложной функции. Пусть функция имеет производную в точке , а функция имеет производную в точке . Тогда сложная функция имеет производную в точке , причем .

Короче: в произвольной точке .

 

Теорема Ролля

Пусть функция y=f(x) определена и непрерывна на отрезке [a,b], дифференцируема ∀x ∈(a,b) и f(a)=f(b), тогда существует точка x=c ∈(a,b), в которой f'(c)=0.

 

 

Теорема Лагранжа

Пусть функция y=f(x) определена и непрерывна на отрезке [a,b], дифференцируема ∀x ∈(a,b), тогда существует точка x=c∈(a,b), такая, что выполняется условие f(b)-f(a)=f’(c)(b-a).

 

 

Теорема Коши

Пусть функции y=f(x) и y=g(x) непрерывны, определены на отрезке [a,b] и дифференцируемы ∀x ∈(a,b). Пусть также g'(x)≠0, тогда существует точка x=c∈(a,b), такая, что для нее выполняется условие f(b)-f(a)/g(b)-g(a)=f’(c)/g’(c).

 

 

20. Правила Лопиталя раскрытия неопределенностей:

1) Если lim_xàx0f(x)=lim_xàx0φ(x)=0, то lim_xàx0f(x)/φ(x)=(0/0)=lim_xàx0f’(x)/φ’(x) при условии, что предел в правой части выражения существует; аналогично, если lim_xàx0f'(x)=lim_xàx0φ’(x)=0, то lim_xàx0f’(x)/φ’(x)=(0/0)=lim_xàx0f’’(x)/φ’’(x) при условии, что предел в правой части существует и т.д.

2) Если lim_xàx0f(x)=lim_xàx0φ(x)=∞, то lim_xàx0f(x)/φ(x)=(∞/∞)=lim_xàx0f’(x)/φ’(x) при условии, что предел в правой части выражения существует; аналогично, если lim_xàx0f(x)=lim_xàx0φ(x)=∞, то lim_xàx0f(x)/φ(x)=(∞/∞)=lim_xàx0f’(x)/φ’(x) при условии, что предел в правой части существует, и т.д.

 

21. Формула тейлора ,

где - остаточный член формулы Тейлора:

 

Точки перегиба

Если в точке M(x₀, f(x₀)) графика функции y=f(x) выпуклость вверх меняется на выпуклость вниз или наоборот, то точка M(x₀, f(x₀)) называется точкой перегиба.

Теорема (необходимое условие точки перегиба). Если в точке M(x₀, f(x₀)) график функции y=f(x) имеет точку перегиба, а сама функция имеет непрерывную вторую производную, тогда f''(x) в точке x₀ обращается в 0, т.е. f’’(x₀)=0.

Точки графика функции, в которых вторая производная равна 0 или не существует, называются критическими точками II рода.

Теорема (достаточное условие точки перегиба). Пусть функция y=f(x) имеет вторую производную в окрестности точки x₀ и пусть в самой точке f''(x₀)=0 или f’’(x₀) не существует. Тогда, если в указанной окрестности f''(x) имеет разные знаки слева и справа от точки x₀, график функции имеет перегиб в точке M(x₀, f(x₀)).

 

Асимптоты

Прямая линия L называется асимптотой графика функции y=f(x), если расстояние от точки M(x,y), лежащей на кривой, до прямой L стремиться к нулю при неограниченном удалении этой точки от начала координат (т.е. при стремлении хотя бы одной из координат точки к бесконечности).

Существуют вертикальные, горизонтальные и наклонные асимптоты.

Если lim_xàaf(x)=+∞ или lim_xàaf(x)= - ∞, то прямая x=a является вертикальной асимптотой графика функции y=f(x).

Если lim_xà+∞f(x)=b или lim_xà-∞f(x)=b, то прямая y=b является горизонтальной асимптотой графика функции y=f(x).

Прямая y=kx+b является наклонной асимптотой графика функции y=f(x), если существуют одновременно пределы:

k=lim_xà+∞f(x)/x, b=lim_xà+∞(f(x)-kx)

или

k=lim_xà-∞f(x)/x, b=lim_xà-∞(f(x)-kx).

 

Производная неявной функции

Если функция y=y(x) задана неявно уравнением F(x,y)=0, F(x,y) — дифференцируемая функция и F 'y(x, y) не равен 0, то производная y'(x) вычисляется по формуле y'(t) = - F'x(x, y) / F'y(x, y)

(с тремя переменными еще)

 

 

Производная по направлению

Пусть z=f(x, y) определена в некоторой окрестности точки M(x, y), пусть l⁰=(cosα, cosβ) – единичный вектор, задающий направление прямой L, проходящей через точку M(x, y). Выберем на прямой L точку M₁(x₁, y₁)= M(x, y)+τ*l⁰. Рассмотрим приращение функции ∆z=z(M₁)-z(M)=f(x+ τ cosα, y+τ cosβ)-f(x, y) в точке M(x, y).

Предел отношения lim_τ→0 f(x+ τ cosα, y+τ cosβ)-f(x, y)/τ, если он существует, называется производной функции z=f(x, y) в точке M(x, y) по направлению l⁰=(cosα, cosβ) и обозначается ∂z/∂l.

Если функция z=f(x, y) имеет в точке M(x, y) непрерывные частные производные, то в этой точке существует и производная по любому направлению, исходящему из точки M(x, y); вычисляется эта производная по формуле ∂z/∂l=∂z/∂x* cosα+∂z/∂y* cosβ, где cosα и cosβ – направляющие косинусы вектора l⁰.

 

36. Градиентом функции z=f(x, y) в точке M(x, y) называется вектор с началом в точке M₀, координаты которого равны соответствующим частным производным ∂z/∂x и ∂z/∂y, вычисленным в точке M(x, y).

Градиент обозначается grad z=(∂z/∂x, ∂z/∂y).

Аналогично определяются производная по направлению и градиент для функции трех переменных u=f(x,y,z) в точке M(x, y, z):

∂u/∂l=∂u/∂x*cosα+∂u/∂y*cosβ+∂u/∂z*cosγ;

grad u(M)=(∂u/∂x, ∂u/∂y, ∂u/∂z), где cosα, cosβ, cosγ – направляющие косинусы единичного вектора l⁰. Градиент есть вектор, указывающий направление наибольшего возрастания функции u=f(M).

 

 

Условный экстремум

1) Усл-ый экстремум (метод множ-ей Лагранжа):

Постановка задачи: Найти экстремумы ф-ии Z=f(x,y) при усл, что φ(x,y)=0. Составляют ф-ию Лагранжа:

L=f(x,y) + η φ(x,y); η – множ-ль Лагранжа.

Для того, чтобы найти т экстремума, находят стац-е точки ф-ии Лагранжа, т.е. решают систему:

 

Достат-ое усл экстремума: Если опред-ль ∆>0, то экстр-м есть и при том max; Если ∆<0 => экст-м есть – min

вычисленный в точке (x₀, y₀, λ ₀) (стац т).

Метод наименьших квадратов.

(x₁; y₁)

(x₂; y₂)

(x_n; y_n)

 

 

Подобрать теоретич. прямую вида y=ax+b "наилучшим образом" согласующуюся с этими данными.

δi=y_{i теор} – y_{i эмпирич}; МНК:∑(δi)²→min

 

Предел функции и его свойства

Определение Коши используется для обоснования существования предела, а опред-ие Гейна – для обоснования отсутствия предела.

Свойства предела: предел единственен и фун-ия в некоторой окрестности предельной точки ограничена.

Определение пределов по Гейне. Число А назывется пределом функции f(x) в т x0, если для для любой сходящейся к x0 последовательности (1) значений x, отличных от x0 соответствует последовательность (2), сходящаяся к числу А.

lim _x→x0 f(x) = A

(1) f(x)=c; любое x0

x1, x2, x3…→x0

c, c, c,c…→c lim_x→x0c=c

(2) f(x)=x; любое x0

x1; x2; x3…→x0

x1; x2; x3…→x0 lim_x→x0x=x0

Определение пределов по Коши. Число А называется пределом функции f(x) в т x0, если для любого ε>0 δ=δ(ε), что ля всех x, удовлетворяющих условию или приним. δ – окрестности х0 |x-x0|<δ x≠x0

|f(x)-A|<ε

-δ<x-x0<δ

-δ+x0<x<δ+x0

 

1) Предел постоянной величины

Предел постоянной величины равен самой постоянной величине:

2)Предел суммы

Предел суммы двух функций равен сумме пределов этих функций:

3) Предел произведения функции на постоянную величину

Постоянный коэффициент можно выносить за знак предела:

4)Предел произведения

Предел произведения двух функций равен произведению пределов этих функций:

5)Предел частногоПредел частного двух функций равен отношению пределов этих функций при условии, что предел знаменателя не равен нулю:

если