Тема 23 Методы приближения функций. Основные приложения теории интерполирования

 

Лекция 23.1 «Методы приближения функций. Основные приложения теории интерполирования»

Учебные вопросы:

1. Интерполяция функций

2. Численное интегрирование

3. Численное дифференцирование

 

Интерполяция функций

Постановка задачи. В вычислительной практике часто приходится иметь дело с функциями , заданными в виде таблицы:

			…
			…

 

В процессе же решения вычислительной задачи могут быть необходимы значения не только для данного конечного множества значений аргумента на отрезке (которые называют узлами интерполирования), но и для его промежуточных значений. В этих случаях можно построить в аналитическом виде (в виде формулы) некоторую непрерывную на функцию , которая совпадала бы со значениями в узлах таблицы и была бы достаточно простой и удобной для вычисления. Построение такой функции и называется интерполированием функции .

К интерполированию прибегают и в том случае, когда функция задана в виде формулы, но ее использование сопряжено с большим объемом вычислений и/или их сложностью (например, при вычислении ее значений, численном дифференцировании и интегрировании, решении дифференциальных уравнений и т. д.).

Чаще всего в качестве интерполирующей функции выбираются полиномы . Это объясняется тем, что они достаточно легко вычисляются и теория интерполяции многочленами хорошо разработана. Доказано, что интерполяционный многочлен для функции , заданной таблично в узлах, существует и единственен, и его степень равна .

Интерполяционный многочлен Лагранжа. Интерполяционный многочлен в форме

(4.1)

называется интерполяционным многочленом Лагранжа. В частности формулы линейной и квадратичной интерполяции по Лагранжу имеют вид:

, (4.2)

 

. (4.3)

 

П р и м е р 1. Построить интерполяционный многочлен Лагранжа по следующим табличным данным:

 

• В этом случае

 

•

 

П р и м е р 2. Построить интерполяционный многочлен Лагранжа по следующим данным:

 

 

• В этом случае

 

•

Как видно из приведенных примеров, получение интерполяционных многочленов Лагранжа связано с большой вычислительной работой даже при небольшом числе узлов интерполяции. Кроме того, при добавлении к табличным значениям функции даже одного узла вызывает необходимость проведения всех вычислений заново. Последний недостаток отсутствует у интерполяционного многочлена Ньютона. Он также более удобен для вычислений.