Монотонные последовательности.

Определения:

1) если x_{n +1} > x_n для всех n, то последовательность возрастающая;

2) если x_{n +1} ³ x_n для всех n, то последовательность неубывающая;

3) если x_{n +1} < x_n для всех n, то последовательность убывающая;

4) если x_{n +1} £ x_n для всех n, то последовательность невозрастающая.

Все эти последовательности называются монотонными. Возрастающие и убывающие последовательности называются строго монотонными.

 

Пример. { x_n } = 1/ n – убывающая и ограниченная, { x_n } = n – возрастающая и неограниченная.

 

Пример. Доказать, что последовательность { x_n }= монотонная возрастающая.

◄ Найдем член последовательности { x_{n +1}}= . Найдем знак разности: { x_n }-{ x_{n +1}}=

, т.к. n ÎN, то знаменатель положительный при любом n.

Таким образом, x_{n +1} > x_n. Последовательность возрастающая, что и следовало доказать.

Теорема. Монотонная ограниченная последовательность имеет предел.

Число е.

Рассмотрим последовательность { x_n } = . Можно показать, что эта последовательность монотонная и ограниченная и, следовательно, имеет конечный предел. Этот предел принято обозначать буквой е:

.

Можно показать, что и, следовательно, е £ 3. Отбрасывая в равенстве для { x_n } все члены, начиная с четвертого, имеем: . Переходя к пределу n ®¥, получаем .

Таким образом, число е заключено между числами 2,5 и 3. Если взять большее количество членов ряда, то можно получить более точную оценку значения числа е. Можно показать, что число е иррациональное и его значение равно 2,71828…

Аналогично можно показать, что , расширив требования к х до любого действительного числа.

Число е является основанием натурального логарифма.

Предел функции. Основные теоремы о непрерывных функциях

Предел функции в точке

 

yf (x)

 

A + e

A

A - e

 

 

0 a - D a a + D x

 

Пусть функция f (x) определена в некоторой окрестности точки х = а (т.е. в самой точке х = а функция может быть и не определена) (см. рис.).

Определение. Число А называется пределом функции f (x) при х ® а, если для любого e >0 существует такое число D>0, что для всех х таких, что

0 < ï x - a ï < D верно неравенство ï f (x) - Aï< e.

То же определение может быть записано в другом виде: если а - D < x < a + D, x ¹ a, то верно неравенство А - e < f (x) < A + e.

Запись предела функции в точке:

Определение. Если f (x) ® A ₁ при х ® а только при x < a, то называется пределом функции f (x) в точке х = а слева, а если f (x) ® A ₂ при х ® а только при x > a, то называется пределом функции f (x) в точке х = а справа (см. рис. ниже).

 

у

f (x)

А ₂

 

А ₁

 

 

0 a x

 

Приведенное выше определение относится к случаю, когда функция f(x) не определена в самой точке х = а, но определена в некоторой сколь угодно малой окрестности этой точки.

Пределы А ₁ и А ₂ называются также односторонними пределами функции f (x) в точке х = а. Также говорят, что А – конечный предел функции f (x).