Геометрическое представление комплексных чисел. Тригонометрическая и показательная формы комплексных чисел

Комплексное число удобно изображать точкой на плоскости с

координатами в прямоугольной декартовой системе координат (рис. 1.45). При этом действительные числа будут изображаться точками оси , а чисто мнимые – точками оси . Такая плоскость называется комплексной плоскостью, оси и – соответственно действительной и мнимой осью. Обратно, каждой точке комплексной плоскости с координатами сопоставляется в соответствие вполне определенное комплексное число . Это соответствие между множеством всех комплексных чисел и всех точек плоскости взаимно однозначно.

Каждой точке плоскости соответствует вполне определенный вектор – радиус-вектор этой точки, а каждому радиус-вектору, лежащему в плоскости – его конец (рис. 1.45). Поэтому комплексные числа можно представлять также в виде радиус-векторов на плоскости.

Наряду с представлением комплексных чисел в декартовых координатах часто также используется их представление в полярных координатах. Для этого совместим полярную ось с положительной полуосью , а полюс – с началом координат; тогда, если обозначить через полярный радиус и через полярный угол точки (комплексного числа) (рис. 1.45), будем иметь:

, ,

(тригонометрическая форма) (1.4.7)

Полярные координаты и точки называются соответственно модулем и аргументом комплексного числа :

, (1.4.8)

(). (1.4.9)

Если – действительное число, то его модуль равен его абсолютной величине.

Аргумент комплексного числа определен неоднозначно: , где – любое целое число, – главное значение , в качестве которого обычно выбирают значение, определенное неравенствами

. (1.4.10)

С помощью формулы Эйлера

(1.4.11)

любое комплексное число с модулем и аргументом можно записать в следующей показательной форме:

. (1.4.12)

При условии (1.4.10) для главного значения аргумента числа будет выполняться = , т. е.

 

Пример. Комплексные числа и записать в тригонометрической и показательной формах.

◄ Находим модули данных комплексных чисел: , . Главные значения аргументов чисел найдем по абсолютным величинам и знакам и : , (число во II –ом квадранте), , (число в IV –ом квадранте; для выполнения условия (1.4.10) угол отсчитываем от полярной оси по часовой стрелке, т. е. берем его со знаком минус). Геометрическое представление данных чисел приведено на рис. 1.46. Имеем = = ,

=

= ►

 

Если даны и , то

(1.4.13)

Если комплексные числа заданы в показательной форме: , , то

(1.4.14)

 

Если – натуральное число и – комплексное число, то (корень -й степени из ) есть решение уравнения . При существует ровно различных значений корня -й степени из . Они определяются формулами

, (1.4.15)

где – арифметический корень из положительного числа , и = 0, 1, 2, …, . Эти значения располагаются в вершинах правильного -угольника, вписанного в окружность радиуса с центром в начале координат.

Пример. Найти все значения .

◄ Имеем = , (рис. 1.47). Так как , будем иметь три различных значения корня , которыми согласно (1.4.15) будут

,

,

. Эти значения располагаются в вершинах правильного треуугольника, вписанного в окружность радиуса с центром в начале координат (рис. 1.47). Отметим, что корни и представляют пару комплексно сопряженных чисел, т. е. . ►