Операции над комплексными числами.

Треугольник Паскаля

Их можно вычислить, применяя только сложение, если пользоваться следующей схемой. В верхней строке пишем две единицы. Все последующие строки начинаются и заканчиваются единицей. Промежуточные числа в этих строках получаются суммированием соседних чисел из предыдущей строки. Эта схема называется треугольником Паскаля:

 

 

6. Числовые множества. Ограниченность множества. Граничная точка. Граница множества.

Числовые множества

В математике чаще всего мы имеем дело с множествами элементов которыми являются числа. Такие множества называются числовыми.

Для некоторых часто встречающихся числовых множеств в школьном курсе математики приняты стандартные обозначение:

N - множество натуральных чисел,

Z - множество целых чисел,

Q - множество рациональных чисел,

R - множество действительных чисел.

Ограниченность Множества

Говорят, что множество X ⊂ R ограничено сверху, если

существует число c ∈ R такое, что x 6 c для любого x ∈ X.Число c при этом

называется верхней границей множества X.

Аналогично определяются ограниченность множества снизу и нижняя граница

множества X.

Множество, ограниченное и сверху, и снизу, называется

Ограниченным.

Элемент a ∈ X называется наибольшим (или

максимальным) элементом множества X ⊂ R, если x 6 a для любого элемента

x ∈ X (аналогично определяется наименьший (минимальный) элемент множества

X). В этом случае пишут a = max X (a = min X).

 

 

Пример 1.4.1.

1) X = {3, 8, 9}, 3 = min X; 9 = max X;

2) X = [1, 3], 1 = min X; 3 = max X;

3) X = [1, 3), 1 = min X; максимального элемента в

этом множестве не существует.

Лемма 1.4.1. Если максимальный (минимальный) элемент существует, то он

единственный.

Число c ∈ R называется точной верхней границей

множества X ⊂ R, если выполнены следующие два условия:

1) любой элемент x ∈ X удовлетворяет неравенству x 6 c;

2) для любого ε > 0 существует элемент x0 ∈ X такой, что

c − ε < x0.

В этом случае пишут S = sup X ("супремум" X).

Это определение говорит о том, что c наименьшая из верхних границ.

Аналогично определяется точная нижняя граница s множества X, которая

обозначается s = inf X ("инфимум" X).

Пример 1.4.2.

1) X = [1, 3) 1 = inf X, 3 = sup X;

2) X = (1, 3] 1 = inf X, 3 = sup X.

Для неограниченных сверху множеств X пишут sup X = +∞, а для

неограниченных снизу множеств X пишут inf X = −∞.

 

7. Комплексные числа. Операции над комплексными числами. Формула Муавра.

Комплексные числа - это минимальное расширение множества привычных нам действительных чисел. Их принципиальное отличие в том, что появляется элемент, который в квадрате дает -1, т.е. i, или мнимая единица.

i ²= - 1

Любое комплексное число состоит из двух частей: вещественной и мнимой:

Операции над комплексными числами.

На самом деле, если брать в расчет модель множества комплексных чисел, интуитивно понятно, что сложение (вычитание) и умножение двух комплексных числе производятся так же как соответственные операции над векторами. Причем имеется в виду векторное произведение векторов, потому что результатом этой операции является опять же вектор.

Сложение.

1.2 Вычитание, аналогично, производится по следующему правилу:

.

Умножение.

Деление.

Определяется просто как обратная операция к умножению.

 

Формула Муавра

zⁿ = rⁿ (cos n φ + i sin n φ ).

С помощью формулы Муавра можно получить формулы, выражающие cos nφ и sin n φ через синус и косинус числа φ:

8. Многочлены. Теорема о делении с остатком. Наибольший общий делитель многочленов. Алгоритм Евклида.

Многочлены

Многочленом (полиномом) n -й степени относительно переменной величины x называется выражение вида

P (x)= a 0 xn + a 1 xn −1+...+ an −1 x + an,

где n - неотрицательное целое число; a 0, a 1, a 2,..., an - коэффициенты многочлена, причем a 0, называемый старшим коэффициентом, считается не равным нулю.

Многочлен первой степени также называют линейным многочленом, многочлен второй степени - квадратным, а многочлен третьей степени -- кубичным многочленом.

Два многочлена P (x) и Q (x) считаются равными (или тождественно равными), если равны их коэффициенты при одинаковых степенях переменной x, и пишут P (x)= Q (x).

Деление с остатком

Определение. Пусть и — многочлены, . Будем говорить, что поделен на с остатком, если представлен в виде , где и — многочлены, причем .

Полином называется остатком от деления на , — неполным частным.

Пример. .

.

Теорема. (о делении с остатком). Пусть и — полиномы над полем , . Тогда существуют единственные многочлены и над полем такие, что и

Доказательство. Существование.

Пусть . Положим .

.

Предположим, что теорема верна не для любого полинома ( фиксируем). Среди всех многочленов , для которых теорема неверна, выберем многочлен наименьшей степени и обозначим его :

Пусть . Положим

Коэффициент при в многочлене равен . Следовательно, . Значит, для многочлена теорема верна. Существуют такие и , что . Тогда

Получили противоречие с тем предположением, что есть многочлены, для которых теорема неверна.

Единственность. Предположим, что

1) . Значит, ,

2) .

Получили противоречие. Этот случай невозможен.

Алгоритм Евклида

Алгоритм Евклида – это алгоритм нахождения наибольшего общего делителя (НОД) пары целых чисел.
Наибольший общий делитель (НОД) – это число, которое делит без остатка два числа и делится само без остатка на любой другой делитель данных двух чисел. Проще говоря, это самое большое число, на которое можно без остатка разделить два числа, для которых ищется НОД.

Корни Многочлена

Как мы видели выше, методом выделения полного квадрата можно найти корни квадратного трехчлена. В случае многочленов высших степеней найти корни становится гораздо труднее, а иногда и просто невозможно. Попробуем это сделать там, где это достаточно просто.

Рассмотрим многочлен

где a ₁, a ₂,..., a_n − целые числа, a_n ≠ 0.

Теорема о рациональных корнях многочлена Если многочлен с целыми коэффициентами имеет рациональный корень то число p является делителем числа (свободного члена), а число q является делителем числа (старшего коэффициента).

Теорема Безу

Теорема Безу. Если многочлен разделить на двучлен x - a, то в остатке получим число R, равное значению данного многочлена при x = a, т. е. R = P_n (a).

Схема Горнера

Схема сокращенного деления многочлена на двучлен. При делении многочлена , расположенного по убывающим степеням x, на двучлен x - a применяется метод сокращенного деления, называемый схемой Горнера.

Теорема виета

Для приведенного квадратного уравнения (т.е. такого, коэффициент при x² в котором равен единице) x² + px + q = 0 сумма корней равна коэффициенту p, взятому с обратным знаком, а произведение корней равно свободному члену q:
x₁ +x₂ =-p
x₁x₂ = q

В случае неприведенного квадратного уравнения

ax² +bx+c =0:
x₁ +x₂ =-b/a
x₁x₂ = c / a

10. Рациональные функции. Представление рациональной функции в виде суммы простейших дробей.

Рациональная функция — это дробь, числителем и знаменателем которой являются многочлены. Она имеет вид

где , — многочлены от любого числа переменных.

Частным случаем являются рациональные функции одного переменного:

, где P(x) и Q(x) — многочлены.

Другим частным случаем является отношение двух линейных функций — дробно-линейная функция.

Матрица

Матрицей размера m на n (записывается так )называется совокупность mn вещественных (комплексных) чисел или элементов другой структуры (многочлены, функции и т.д.), записанных в виде прямоугольной таблицы, которая состоит из m строк и n столбцов и взятая в круглые или прямоугольные или в двойные прямые скобки. При этом сами числа называются элементами матрицы и каждому элементу ставится в соответствие два числа - номер строки и номер столбца.

Для обозначения матрицы используются прописные латинские буквы, при этом саму матрицу заключают в круглые или прямоугольные или в двойные прямые скобки. Элементы матрицы обозначают строчными латинскими буквами, снабженными двумя индексами: - элемент матрицы, расположенный в i-й строке и j-м столбце или коротко элемент в позиции (i,j). В общем виде матрица размера m на n может быть записана следующим образом

Операции над матрицами

1. Сложение матриц - поэлементная операция

2. Вычитание матриц - поэлементная операция

3. Произведение матрицы на число - поэлементная операция

4. Умножение A*B матриц по правилу строка на столбец (число столбцов матрицы А должно быть равно числу строк матрицы B)

A_mk*B_kn=C_mn причем каждый элемент с_ij матрицы C_mn равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы А на соответствующие элемеенты j-го столбца матрицы B, т.е.

Покажем операцию умножения матриц на примере

5. Возведение в степень

m>1 целое положительное число. А - квадратная матрица (m=n) т.е. актуально только для квадратных матриц

6. Транспонирование матрицы А. Транспонированную матрицу обозначают A^T или A'

Строки и столбцы поменялись местами

Свойства сложения матриц

 

1. Для любой матрицы A существует противоположная матрица (– A),

A + (– A) = A – A = 0,

где 0 – матрица, составленная из нулевых элементов.

1. A + B = B + A
2. (A + B) + C = A + (B + C)
3. λ (A + B) = λ A + λ B
   (λ – произвольное число.)

 

Свойства, связанные с умножением матриц.
(λ и μ – произвольные числа; A, B и C – матрицы.)

1. λ (AB) = (λ A) B = A (λ B)

 

1. (AB) C = A (BC)

 

12. Обратная матрица. Алгоритм нахождения обратной матрицы. Свойства обратных матриц.

 

Обратная Матрица

Рассмотрим квадратную матрицу

.

Обозначим Δ =det A.

Квадратная матрица А называется невырожденной, или неособенной, если ее определитель отличен от нуля, и вырожденной, или особенной, если Δ = 0.

Квадратная матрица В есть обратная матрица для квадратной матрицы А того же порядка, если их произведение А В = В А = Е, где Е - единичная матрица того же порядка, что и матрицы А и В.

Теорема. Для того, чтобы матрица А имела обратную матрицу, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был отличен от нуля.

Обратная матрица матрице А, обозначается через А^-1, так что В = А^-1 и вычисляется по формуле

, (1)

где А _{i j} - алгебраические дополнения элементов a _{i j} матрицы A..

Вычисление A^-1 по формуле (1) для матриц высокого порядка очень трудоемко, поэтому на практике бывает удобно находить A^-1 с помощью метода элементарных преобразований (ЭП). Любую неособенную матрицу А путем ЭП только столбцов (или только строк) можно привести к единичной матрице Е. Если совершенные над матрицей А ЭП в том же порядке применить к единичной матрице Е, то в результате получится обратная матрица. Удобно совершать ЭП над матрицами А и Е одновременно, записывая обе матрицы рядом через черту. Отметим еще раз, что при отыскании канонического вида матрицы с целью нахождения ранга матрицы можно пользоваться преобразованиями строк и столбцов. Если нужно найти обратную матрицу, в процессе преобразований следует использовать только строки или только столбцы.

Свойства Обратной матрицы

Понятие обратной матрицы, равенство , свойства операций над матрицами и свойства определителя матрицы позволяют обосновать следующие свойства обратной матрицы:

1. Для невырожденной квадратной матрицы А справедливо равенство .

 

1. Для обратимой матрицы А выполняется равенство .

 

1. Для любого отличного от нуля числа k справедливо равенство .

 

1. Для невырожденных квадратных матриц А и В одного порядка выполняется равенство .

13. Ранг матрицы. Свойства ранга матрицы. Элементарные преобразования матрицы.

Ранг матрицы

Ранг матрицы – это наивысший порядок минора матрицы, отличного от нуля.
Ранг матрицы А обозначают как Rank(A). Можно также встретить обозначения Rg(A) или Rang(A).

Свойства ранга матрицы

1. Ранг матрицы, полученной транспонированием, равен рангу исходной матрицы.

2. Ранг матрицы останется неизменным, если вычеркнуть или приписать нулевую строку (т. е. строку, все элементы которой равны нулю) или нулевой столбец.
Из определений ранга матрицы и минора матрицы можно заключить, что ранг нулевой матрицы равен нулю, а ранг ненулевой матрицы не меньше единицы.

Элементарные преобразования матрицы
Элементарными преобразованиями матрицы называют:

1) умножение какой-нибудь строки (столбца) на отличное от нуля число;

2) прибавление к какой-нибудь строке (столбцу) другой ее строки (столбца), умноженной на произвольное число;

3) перестановку местами любых двух строк (столбцов).

 

14. Системы линейных уравнений. Однородные и неоднородные системы. Совместность системы.

Система линейных уравнений — это объединение из n линейных уравнений, каждое из которых содержит k переменных. Записывается это так:

Многие, впервые сталкиваясь с высшей алгеброй, ошибочно полагают, что число уравнений обязательно должно совпадать с числом переменных. В школьной алгебре так обычно и бывает, однако для высшей алгебры это, вообще говоря, неверно.

Однородные системы

(15.7)

всегда является совместной.

Доказательство. Для этой системы набор чисе , , , является решением.

 

В этом разделе мы будем использовать матричную запись системы: .

Предложение 15.3 Сумма решений однородной системы линейных уравнений является решением этой системы. Решение, умноженное на число, тоже является решением.

Доказательство. Пусть и служат решениями системы . Тогда и . Пусть . Тогда

Так как , то -- решение.

Пусть -- произвольное число, . Тогда

Так как , то -- решение.

 

Следствие 15.1 Если однородная система линейных уравнений имеет ненулевое решение, то она имеет бесконечно много различных решений.

Действительно, умножая ненулевое решение на различные числа, будем получать различные решения.

Определение 15.5 Будем говорить, что решения системы образуют фундаментальную систему решений, если столбцы образуют линейно независимую систему и любое решение системы является линейной комбинацией этих столбцов.

Определение 15.6 Пусть -- фундаментальная система решений однородной системы . Тогда выражение

где -- произвольные числа, будем называть общим решением системы .

Из определения фундаментальной системы решений следует, что любое решение однородной системы может быть получено из общего решения при некоторых значениях . И наоборот, при любых фиксированных числовых значениях из общего решения получим решение однородной системы.

Как находить фундаментальную систему решений мы увидим позже, в разделе "Алгоритм нахождения решений произвольной системы линейных уравнений (метод Гаусса)".

Теорема 15.3 Пусть -- фундаментальная система решений однородной системы . Тогда , где -- число неизвестных в системе.

Неоднородные системы

Рассмотрим неоднородную систему m линейных алгебраических уравнений относительно n неизвестных
x₁, x₂,..., x_n:

В отличие от однородной системы, эта система совместна не всегда.
Справедливо следующее утверждение (теорема Кронекера-Капелли).

Для того, чтобы неоднородная система линейных алгебраических уравнений была совместна, необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы системы совпадал с рангом матрицы системы.

 

15. Метод Крамера для нахождения решения системы линейных уравнений.

Метод Крамера (правило Крамера) — способ решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем основной матрицы (причём для таких уравнений решение существует и единственно). Назван по имени Габриэля Крамера (1704–1752), придумавшего метод.

Для системы линейных уравнений с неизвестными (над произвольным полем)

с определителем матрицы системы , отличным от нуля, решение записывается в виде

(i-ый столбец матрицы системы заменяется столбцом свободных членов).
В другой форме правило Крамера формулируется так: для любых коэффициентов c₁, c₂, …, c_n справедливо равенство:

В этой форме формула Крамера справедлива без предположения, что отлично от нуля, не нужно даже, чтобы коэффициенты системы были бы элементами целостного кольца (определитель системы может быть даже делителем нуля в кольце коэффициентов). Можно также считать, что либо наборы и , либо набор состоят не из элементов кольца коэффициентов системы, а какого-нибудь модуля над этим кольцом. В этом виде формула Крамера используется, например, при доказательстве формулы для определителя Грама иЛеммы Накаямы.

 

 

16. Матричный метод решения систем линейных уравнений.

Ма́тричный метод решения (метод решения через обратную матрицу) систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем состоит в следующем.

Пусть дана система линейных уравнений с неизвестными (над произвольным полем):

Тогда её можно переписать в матричной форме:

, где — основная матрица системы, и — столбцы свободных членов и решений системы соответственно:

Умножим это матричное уравнение слева на — матрицу, обратную к матрице :

Так как , получаем . Правая часть этого уравнения даст столбец решений исходной системы. Условием применимости данного метода (как и вообще существования решения неоднородной системы линейных уравнений с числом уравнений, равным числу неизвестных) является невырожденность матрицы A. Необходимым и достаточным условием этого является неравенство нулю определителя матрицы A:

.

Для однородной системы линейных уравнений, то есть когда вектор , действительно обратное правило: система имеет нетривиальное (то есть ненулевое) решение только если . Такая связь между решениями однородных и неоднородных систем линейных уравнений носит название альтернативы Фредгольма.

 

 

17. Метод Гаусса для нахождения решения системы линейных уравнений.

Исторически первым, наиболее распространенным методом решения систем линейных уравнений является метод Гаусса, или метод последовательного исключения неизвестных. Сущность этого метода состоит в том, что посредством последовательных исключений неизвестных данная система превращается в ступенчатую (в частности, треугольную) систему, равносильную данной. При практическом решении системы линейных уравнений методом Гаусса удобнее приводить к ступенчатому виду не саму систему уравнений, а расширенную матрицу этой системы, выполняя элементарные преобразования над ее строками. Последовательно получающиеся в ходе преобразования матрицы обычно соединяют знаком эквивалентности.

Решение. Выпишем расширенную матрицу данной системы

и произведем следующие элементарные преобразования над ее строками:

а) из ее второй и третьей строк вычтем первую, умноженную соответственно на 3 и 2:

~ ;

б) третью строку умножим на (-5) и прибавим к ней вторую:

.

В результате всех этих преобразований данная система приводится к треугольному виду:

x + y - 3z = 2,

-5y + 10z = -7,

- 10z = 13.

Из последнего уравнения находим z = -1,3. Подставляя это значение во второе уравнение, имеем y = -1,2. Далее из первого уравнения получим
x = - 0,7.

 

 

18. Понятие вектора. Линейные операции над векторами.

Вектором (в реальном пространстве) называется направленный отрезок с начальной точкой и конечной точкой , который можно передвигать параллельно самому себе. Таким образом, считается, что два направленных отрезка и , имеющие равные длины () и одно и то же направление, определяют один и тот же вектор , и в этом смысле пишут

Проекция вектора на ОСЬ

Проекция вектора на ось это отрезок заключенный между перпендикулярами проведёнными от концов вектора к оси....

 

То, что обведено фигурной скобкой.

Длина Вектора

Длиной или модулем вектора называется длина отрезка, изображающего данный вектор. Длиной нулевого вектора называется число нуль.

Длина вектора на плоскости вычисляется по следующей формуле:

Длина вектора в трехмерном пространстве вычисляется по следующей формуле:

Формула длины вектора в n -мерном пространстве:

Направление вектора в пространстве определяется углами , которые вектор образует с осями координат (рис. 12). Косинусы этих углов называются направляющими косинусами вектора: , , .

 

Рис. 12

Из свойств проекций: , , . Следовательно,

, , . (2.5)

Легко показать, что

1) ;

2) координаты любого единичного вектора совпадают с его направляющими косинусами: .

 

20. Скалярное, векторное, смешанное произведения векторов.

Скалярным произведением в векторном пространстве над полем комплексных (или вещественных) чисел называется функция для элементов , принимающая значения в (или ), определенная для каждой пары элементов и удовлетворяющая следующим условиям:

1. для любых трех элементов и пространства и любых чисел из (или ) справедливо равенство (линейность скалярного произведения по первому аргументу);

2. для любых и справедливо равенство , где черта означает комплексное сопряжение (эрмитова симметричность);

3. для любого имеем , причем только при (положительная определенность скалярного произведения).

Векторным произведением вектора на вектор в пространстве называется вектор , удовлетворяющий следующим требованиям:

· длина вектора равна произведению длин векторов и на синус угла между ними: ;

· вектор ортогонален каждому из векторов и ;

· вектор направлен так, что тройка векторов является правой;

· в случае пространства требуется ассоциативность тройки векторов .

Обозначение:

 

Действительное линейное пространство со скалярным произведением называется евклидовым, комплексное — унитарным.

Заметим, что из п.2 определения следует, что . Поэтому п.3 имеет смысл, несмотря на комплексные (в общем случае) значения скалярного произведения.

Прямая на плоскости

В декартовой системе координат на плоскости каждая прямая определяется уравнением 1–й степени и, обратно, каждое уравнение 1–й степени определяет прямую.

Уравнение вида Ax + By + Cz = 0 (A² + B² ≠ 0) называется общим уравнением прямой.

Любой вектор, перпендикулярный прямой, называется нормальным вектором и обозначается

→

n

. Например,

→

n

= {A, B}.

Угловым коэффициентом k прямой называется число k = tgα, где α — угол наклона прямой к оси OX (0 ≤ α < π).

Уравнение y = kx + b называется уравнением прямой с угловым коэффициентом (b — ордината точки пересечения прямой с осью OY).

Уравнение прямой

x

a

+

y

b

= 1 называется уравнением прям