Представление рациональной функции в виде суммы простейших дробей.

Теорема Правильную рациональную функцию одной переменной x можно единственным образом представить в виде суммы элементарных дробей

A (x − a) ^k , Mx + N (x ^2 + 2 px + q) ^k (p ^2 − q < 0),

где A, M, N, a, p, q — действительные числа и k — натуральные числа.

В этой сумме каждому действительному нулю a кратности k знаменателя Q_n (x) соответствуют k слагаемых

A 1 x − a + A 2 (x − a)^2 + … + Ak (x − a) ^k .

Каждой паре комплексно сопряженных нулей кратности k знаменателя Q_n (x) (являющихся нулями квадратного трехчлена x ² + 2 px + q) соответствуют k слагаемых

M 1 x + N 1 x ^2 + 2 px + q + M 2 x + N 2 (x ^2 + 2 px + q)^2 + … + Mlx + Nl (x ^2 + 2 px + q) ^l .

Представление правильной рациональной функции в виде суммы элементарных дробей называется разложением на элементарные дроби.

Коэффициенты элементарных дробей, фигурирующих в разложении, однозначно определяются условием тождественности правильной рациональной функции и ее разложения.

11. Матрицы. Операции над матрицами. Свойства сложения и умножения матриц, умножения на действительное число, транспонирования.

Матрица

Матрицей размера m на n (записывается так )называется совокупность mn вещественных (комплексных) чисел или элементов другой структуры (многочлены, функции и т.д.), записанных в виде прямоугольной таблицы, которая состоит из m строк и n столбцов и взятая в круглые или прямоугольные или в двойные прямые скобки. При этом сами числа называются элементами матрицы и каждому элементу ставится в соответствие два числа - номер строки и номер столбца.

Для обозначения матрицы используются прописные латинские буквы, при этом саму матрицу заключают в круглые или прямоугольные или в двойные прямые скобки. Элементы матрицы обозначают строчными латинскими буквами, снабженными двумя индексами: - элемент матрицы, расположенный в i-й строке и j-м столбце или коротко элемент в позиции (i,j). В общем виде матрица размера m на n может быть записана следующим образом

Операции над матрицами

1. Сложение матриц - поэлементная операция

2. Вычитание матриц - поэлементная операция

3. Произведение матрицы на число - поэлементная операция

4. Умножение A*B матриц по правилу строка на столбец (число столбцов матрицы А должно быть равно числу строк матрицы B)

A_mk*B_kn=C_mn причем каждый элемент с_ij матрицы C_mn равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы А на соответствующие элемеенты j-го столбца матрицы B, т.е.

Покажем операцию умножения матриц на примере

5. Возведение в степень

m>1 целое положительное число. А - квадратная матрица (m=n) т.е. актуально только для квадратных матриц

6. Транспонирование матрицы А. Транспонированную матрицу обозначают A^T или A'

Строки и столбцы поменялись местами

Свойства сложения матриц

 

1. Для любой матрицы A существует противоположная матрица (– A),

A + (– A) = A – A = 0,

где 0 – матрица, составленная из нулевых элементов.

1. A + B = B + A
2. (A + B) + C = A + (B + C)
3. λ (A + B) = λ A + λ B
   (λ – произвольное число.)

 

Свойства, связанные с умножением матриц.
(λ и μ – произвольные числа; A, B и C – матрицы.)

1. λ (AB) = (λ A) B = A (λ B)

 

1. (AB) C = A (BC)

 

12. Обратная матрица. Алгоритм нахождения обратной матрицы. Свойства обратных матриц.

 

Обратная Матрица

Рассмотрим квадратную матрицу

.

Обозначим Δ =det A.

Квадратная матрица А называется невырожденной, или неособенной, если ее определитель отличен от нуля, и вырожденной, или особенной, если Δ = 0.

Квадратная матрица В есть обратная матрица для квадратной матрицы А того же порядка, если их произведение А В = В А = Е, где Е - единичная матрица того же порядка, что и матрицы А и В.

Теорема. Для того, чтобы матрица А имела обратную матрицу, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был отличен от нуля.

Обратная матрица матрице А, обозначается через А^-1, так что В = А^-1 и вычисляется по формуле

, (1)

где А _{i j} - алгебраические дополнения элементов a _{i j} матрицы A..

Вычисление A^-1 по формуле (1) для матриц высокого порядка очень трудоемко, поэтому на практике бывает удобно находить A^-1 с помощью метода элементарных преобразований (ЭП). Любую неособенную матрицу А путем ЭП только столбцов (или только строк) можно привести к единичной матрице Е. Если совершенные над матрицей А ЭП в том же порядке применить к единичной матрице Е, то в результате получится обратная матрица. Удобно совершать ЭП над матрицами А и Е одновременно, записывая обе матрицы рядом через черту. Отметим еще раз, что при отыскании канонического вида матрицы с целью нахождения ранга матрицы можно пользоваться преобразованиями строк и столбцов. Если нужно найти обратную матрицу, в процессе преобразований следует использовать только строки или только столбцы.