Основные операции алгебры логики

Понятие алгебры логики

Алгебра логики - это математический аппарат, с помощью которого записывают, вычисляют, упрощают и преобразовывают логические высказывания.

Создателем алгебры логики является живший в ХIХ веке английский математик Джордж Буль, в честь которого эта алгебра названа булевой алгеброй высказываний. Что же такое логическое высказывание?

Логическое высказывание - это любoе повествовательное пpедлoжение, в oтнoшении кoтopoгo мoжно oднoзначнo сказать, истиннo oнo или лoжнo.

Так, например, предложение " 6 - четное число " следует считать высказыванием, так как оно истинное. Предложение " Рим - столица Франции " тоже высказывание, так как оно ложное.

Разумеется, не всякое предложение является логическим высказыванием. Высказываниями не являются, например, предложения " ученик десятого класса " и " информатика - интересный предмет ". Первое предложение ничего не утверждает об ученике, а второе использует слишком неопределённое понятие " интересный предмет ". Вопросительные и восклицательные предложения также не являются высказываниями, поскольку говорить об их истинности или ложности не имеет смысла.

Предложения типа " в городе A более миллиона жителей ", " у него голубые глаза " не являются высказываниями, так как для выяснения их истинности или ложности нужны дополнительные сведения: о каком конкретно городе или человеке идет речь. Такие предложения называются высказывательными формами.

Высказывательная форма - это повествовательное предложение, которое прямо или косвенно содержит хотя бы одну переменную и становится высказыванием, когда все переменные замещаются своими значениями.

Алгебра логики рассматривает любое высказывание только с одной точки зрения - является ли оно истинным или ложным. Заметим, что зачастую трудно установить истинность высказывания. Так, например, высказывание " площадь поверхности Индийского океана равна 75 млн кв. км " в одной ситуации можно посчитать ложным, а в другой - истинным. Ложным - так как указанное значение неточное и вообще не является постоянным. Истинным - если рассматривать его как некоторое приближение, приемлемое на практике.

Употребляемые в обычной речи слова и словосочетания "не", "и", "или", "если..., то", "тогда и только тогда" и другие позволяют из уже заданных высказываний строить новые высказывания. Такие слова и словосочетания называются логическими связками.

Bысказывания, образованные из других высказываний с помощью логических связок, называются составными. Высказывания, не являющиеся составными, называются элементарными.

Так, например, из элементарных высказываний " Петров - врач ", " Петров - шахматист " при помощи связки " и " можно получить составное высказывание " Петров - врач и шахматист ", понимаемое как " Петров - врач, хорошо играющий в шахматы ".

При помощи связки " или " из этих же высказываний можно получить составное высказывание " Петров - врач или шахматист ", понимаемое в алгебре логики как " Петров или врач, или шахматист, или и врач и шахматист одновременно ".

Истинность или ложность получаемых таким образом составных высказываний зависит от истинности или ложности элементарных высказываний.

Чтобы обращаться к логическим высказываниям, им назначают имена. Пусть через А обозначено высказывание " Тимур поедет летом на море ", а через В - высказывание " Тимур летом отправится в горы ". Тогда составное высказывание " Тимур летом побывает и на море, и в горах " можно кратко записать как А и В. Здесь " и " - логическая связка, А, В - логические переменные, которые мoгут принимать только два значения - " истина " или " ложь ", обозначаемые, соответственно, "1" и "0"

Операций отрицания, дизъюнкции и конъюнкции достаточно, чтобы описывать и обрабатывать логические высказывания.

Порядок выполнения логических операций задается круглыми скобками. Но для уменьшения числа скобок договорились считать, что сначала выполняется операция отрицания ("не"), затем конъюнкция ("и"), после конъюнкции - дизъюнкция ("или") и в последнюю очередь - импликация.

Логические формулы

С помощью логических переменных и символов логических операций любое высказывание можно формализовать, то есть заменить логической формулой.

В п. 1 определены элементарные формулы; в п. 2 даны правила образования из любых данных формул новых формул.

В качестве примера рассмотрим высказывание " если я куплю яблоки или абрикосы, то приготовлю фруктовый пирог ". Это высказывание формализуется в виде (A v B) C; такая же формула соответствует высказыванию " если Игорь знает английский или японский язык, то он получит место переводчика".

Как показывает анализ формулы (A v B) C, при определённых сочетаниях значений переменных A, B и C она принимает значение "истина", а при некоторых других сочетаниях - значение "ложь" (разберите самостоятельно эти случаи). Такие формулы называются выполнимыми.

Некоторые формулы принимают значение "истина" при любых значениях истинности входящих в них переменных. Таковой будет, например, формула А v , соответствующая высказыванию " Этот треугольник прямоугольный или косоугольный ". Эта формула истинна и тогда, когда треугольник прямоугольный, и тогда, когда треугольник не прямоугольный. Такие формулы называются тождественно истинными формулами или тавтологиями. Высказывания, которые формализуются тавтологиями, называются логически истинными высказываниями.

В качестве другого примера рассмотрим формулу А· , которой соответствует, например, высказывание " Катя самая высокая девочка в классе, и в классе есть девочки выше Кати ". Очевидно, что эта формула ложна, так как либо А, либо обязательно ложно. Такие формулы называются тождественно ложными формулами или противоречиями. Высказывания, которые формализуются противоречиями, называются логически ложными высказываниями.

Если две формулы А и В "одновременно", то есть при одинаковых наборах значений входящих в них переменных, принимают одинаковые значения, то они называются равносильными.

Равносильность двух формул алгебры логики обозначается символом "=" или символом. Замена формулы другой, ей равносильной, называется равносильным преобразованием данной формулы.

Логические схемы

С х е м а И

С х е м а ИЛИ

С х е м а НЕ

Схема НЕ (инвертор) реализует операцию отрицания. Связь между входом x этой схемы и выходом z можно записать соотношением z = , где читается как " не x " или " инверсия х ".

Если на входе схемы 0, то на выходе 1. Когда на входе 1, на выходе 0. Условное обозначение инвертора - на рисунке 2.3, а таблица истинности - в табл. 2.3.

Рис. 2.3

Таблица 2.3 x

 

С х е м а И - НЕ

С х е м а ИЛИ -НЕ

Двоичный сумматор

Сумматор - это электронная логическая схема, выполняющая суммирование двоичных чисел.

Сумматор служит, прежде всего, центральным узлом арифметико-логического устройства компьютера, однако он находит применение также и в других устройствах машины.

Многоразрядный двоичный сумматор, предназначенный для сложения многоразрядных двоичных чисел, представляет собой комбинацию одноразрядных сумматоров, с рассмотрения которых мы и начнём. Условное обозначение одноразрядного сумматора на рис. 2.6.

 

Рис. 2.6

 

При сложении чисел A и B в одном i -ом разряде приходится иметь дело с тремя цифрами:

1. цифра a _i первого слагаемого;

2. цифра b _i второго слагаемого;

3. перенос p _i-1 из младшего разряда.

В результате сложения получаются две цифры:

1. цифра c _i для суммы;

2. перенос p _i из данного разряда в старший.

Таким образом, одноразрядный двоичный сумматор есть устройство с тремя входами и двумя выходами, работа которого может быть описана следующей таблицей истинности:

 

Входы	Выходы
Первое слагаемое	Второе слагаемое	Перенос	Сумма	Перенос

 

Если требуется складывать двоичные слова длиной два и более бит, то можно использовать последовательное соединение таких сумматоров, причём для двух соседних сумматоров выход переноса одного сумматора является входом для другого.

Например, схема вычисления суммы C = (с₃ c₂ c₁ c₀) двух двоичных трехразрядных чисел A = (a₂ a₁ a₀) и B = (b₂ b₁ b₀) может иметь вид:

 

Упрощение логических формул

Равносильные преобразования логических формул имеют то же назначение, что и преобразования формул в обычной алгебре. Они служат для упрощения формул или приведения их к определённому виду путем использования основных законов алгебры логики.

Под упрощением формулы, не содержащей операций импликации и эквиваленции, понимают равносильное преобразование, приводящее к формуле, которая либо содержит по сравнению с исходной меньшее число операций конъюнкции и дизъюнкции и не содержит отрицаний неэлементарных формул, либо содержит меньшее число вхождений переменных.

Некоторые преобразования логических формул похожи на преобразования формул в обычной алгебре (вынесение общего множителя за скобки, использование переместительного и сочетательного законов и т.п.), тогда как другие преобразования основаны на свойствах, которыми не обладают операции обычной алгебры (использование распределительного закона для конъюнкции, законов поглощения, склеивания, де Моргана и др.).

Покажем на примерах некоторые приемы и способы, применяемые при упрощении логических формул:

1.

(законы алгебры логики применяются в следующей последовательности: правило де Моргана, сочетательный закон, правило операций переменной с её инверсией и правило операций с константами);

2.

(применяется правило де Моргана, выносится за скобки общий множитель, используется правило операций переменной с её инверсией);

3.

(повторяется второй сомножитель, что разрешено законом идемпотенции; затем комбинируются два первых и два последних сомножителя и используется закон склеивания);

4.

(вводится вспомогательный логический сомножитель (); затем комбинируются два крайних и два средних логических слагаемых и используется закон поглощения);

5.

(сначаладобиваемся, чтобы знак отрицания стоял только перед отдельными переменными, а не перед их комбинациями, для этого дважды применяем правило де Моргана; затем используем закон двойного отрицания);

6.

(выносятся за скобки общие множители; применяется правило операций с константами);

7.

(к отрицаниям неэлементарных формул применяется правило де Моргана; используются законы двойного отрицания и склеивания);

8.

(общий множитель x выносится за скобки, комбинируются слагаемые в скобках - первое с третьим и второе с четвертым, к дизъюнкции применяется правило операции переменной с её инверсией);

9.

(используются распределительный закон для дизъюнкции, правило операции переменной с ее инверсией, правило операций с константами, переместительный закон и распределительный закон для конъюнкции);

10.

(используются правило де Моргана, закон двойного отрицания и закон поглощения).

Из этих примеров видно, что при упрощении логических формул не всегда очевидно, какой из законов алгебры логики следует применить на том или ином шаге.

Триггер или схема с памятью

Триггер - это электронная схема, широко применяемая в регистрах компьютера для надёжного запоминания одного разряда двоичного кода. Триггер имеет два устойчивых состояния, одно из которых соответствует двоичной единице, а другое - двоичному нулю.

Термин триггер происходит от английского слова trigger - защёлка, спусковой крючок. Для обозначения этой схемы в английском языке чаще употребляется термин flip-flop, что в переводе означает "хлопанье". Это звукоподражательное название электронной схемы указывает на её способность почти мгновенно переходить ("перебрасываться") из одного электрического состояния в другое и наоборот.

Самый распространённый тип триггера - так называемый RS-триггер (S и R, соответственно, от английских set - установка, и reset - сброс). Условное обозначение триггера - на рис. 2.7.

 

Рис. 2.7

 

Он имеет два симметричных входа S и R и два симметричных выхода Q и , причем выходной сигнал Q является логическим отрицанием сигнала .

На каждый из двух входов S и R могут подаваться входные сигналы в виде кратковременных импульсов ().

Наличие импульса на входе будем считать единицей, а его отсутствие - нулем.

На рис. 2.8 показана реализация триггера с помощью вентилей ИЛИ-НЕ и соответствующая таблица истинности.

Рис. 2.8

 

S	R	Q
		запрещено
		хранение бита

 

Проанализируем возможные комбинации значений входов R и S триггера, используя его схему и таблицу истинности схемы ИЛИ-НЕ (табл. 2.5).

1. Если на входы триггера подать S="1", R="0", то (независимо от состояния) на выходе Q верхнего вентиля появится "0". После этого на входах нижнего вентиля окажется R="0", Q="0" и выход станет равным "1".

2. Точно так же при подаче "0" на вход S и "1" на вход R на выходе появится "0", а на Q - "1".

3. Если на входы R и S подана логическая "1", то состояние Q и не меняется.

4. Подача на оба входа R и S логического "0" может привести к неоднозначному результату, поэтому эта комбинация входных сигналов запрещена.

Поскольку один триггер может запомнить только один разряд двоичного кода, то для запоминания байта нужно 8 триггеров, для запоминания килобайта, соответственно, 8·2¹⁰ = 8192 триггеров. Современные микросхемы памяти содержат миллионы триггеров.

Переключательные схемы

В компьютерах и других автоматических устройствах широко применяются электрические схемы, содержащие сотни и тысячи переключательных элементов: реле, выключателей и т.п. Разработка таких схем весьма трудоёмкое дело. Оказалось, что здесь с успехом может быть использован аппарат алгебры логики.

Переключательная схема - это схематическое изображение некоторого устройства, состоящего из переключателей и соединяющих их проводников, а также из входов и выходов, на которые подаётся и с которых снимается электрический сигнал

Каждый переключатель имеет только два состояния: замкнутое и разомкнутое. Переключателю Х поставим в соответствие логическую переменную х, которая принимает значение 1 в том и только в том случае, когда переключатель Х замкнут и схема проводит ток; если же переключатель разомкнут, то х равен нулю.

Будем считать, что два переключателя Х и связаны таким образом, что когда Х замкнут, то разомкнут, и наоборот. Следовательно, если переключателю Х поставлена в соответствие логическая переменная х, то переключателю должна соответствовать переменная .

Всей переключательной схеме также можно поставить в соответствие логическую переменную, равную единице, если схема проводит ток, и равную нулю - если не проводит. Эта переменная является функцией от переменных, соответствующих всем переключателям схемы, и называется функцией проводимости.

Найдем функции проводимости F некоторых переключательных схем:

a)

Схема не содержит переключателей и проводит ток всегда, следовательно F=1;

 

б)

Схема содержит один постоянно разомкнутый контакт, следовательно F=0;

 

в)

Схема проводит ток, когда переключатель х замкнут, и не проводит, когда х разомкнут, следовательно, F(x) = x;

 

г)

Схема проводит ток, когда переключатель х разомкнут, и не проводит, когда х замкнут, следовательно, F(x) = ;

 

д)

Схема проводит ток, когда оба переключателя замкнуты, следовательно, F(x) = xy;

 

е)

Схема проводит ток, когда хотя бы один из переключателей замкнут, следовательно, F(x)=

 

ж)

Схема состоит из двух параллельных ветвей и описывается функцией .

 

Две схемы называются равносильными, если через одну из них проходит ток тогда и только тогда, когда он проходит через другую (при одном и том же входном сигнале).

Из двух равносильных схем более простой считается та схема, функция проводимости которой содержит меньшее число логических операций или переключателей.

Задача нахождения среди равносильных схем наиболее простых является очень важной. Большой вклад в ее решение внесли российские учёные Ю.И. Журавлев, С.В. Яблонский и др.

При рассмотрении переключательных схем возникают две основные задачи: синтез и анализ схемы.

СИНТЕЗ СХЕМЫ по заданным условиям ее работы сводится к следующим трём этапам:

1. составлению функции проводимости по таблице истинности, отражающей эти условия;

2. упрощению этой функции;

3. построению соответствующей схемы.

АНАЛИЗ СХЕМЫ сводится к

1. определению значений её функции проводимости при всех возможных наборах входящих в эту функцию переменных.

2. получению упрощённой формулы.

 

Понятие алгебры логики

Алгебра логики - это математический аппарат, с помощью которого записывают, вычисляют, упрощают и преобразовывают логические высказывания.

Создателем алгебры логики является живший в ХIХ веке английский математик Джордж Буль, в честь которого эта алгебра названа булевой алгеброй высказываний. Что же такое логическое высказывание?

Логическое высказывание - это любoе повествовательное пpедлoжение, в oтнoшении кoтopoгo мoжно oднoзначнo сказать, истиннo oнo или лoжнo.

Так, например, предложение " 6 - четное число " следует считать высказыванием, так как оно истинное. Предложение " Рим - столица Франции " тоже высказывание, так как оно ложное.

Разумеется, не всякое предложение является логическим высказыванием. Высказываниями не являются, например, предложения " ученик десятого класса " и " информатика - интересный предмет ". Первое предложение ничего не утверждает об ученике, а второе использует слишком неопределённое понятие " интересный предмет ". Вопросительные и восклицательные предложения также не являются высказываниями, поскольку говорить об их истинности или ложности не имеет смысла.

Предложения типа " в городе A более миллиона жителей ", " у него голубые глаза " не являются высказываниями, так как для выяснения их истинности или ложности нужны дополнительные сведения: о каком конкретно городе или человеке идет речь. Такие предложения называются высказывательными формами.

Высказывательная форма - это повествовательное предложение, которое прямо или косвенно содержит хотя бы одну переменную и становится высказыванием, когда все переменные замещаются своими значениями.

Алгебра логики рассматривает любое высказывание только с одной точки зрения - является ли оно истинным или ложным. Заметим, что зачастую трудно установить истинность высказывания. Так, например, высказывание " площадь поверхности Индийского океана равна 75 млн кв. км " в одной ситуации можно посчитать ложным, а в другой - истинным. Ложным - так как указанное значение неточное и вообще не является постоянным. Истинным - если рассматривать его как некоторое приближение, приемлемое на практике.

Употребляемые в обычной речи слова и словосочетания "не", "и", "или", "если..., то", "тогда и только тогда" и другие позволяют из уже заданных высказываний строить новые высказывания. Такие слова и словосочетания называются логическими связками.

Bысказывания, образованные из других высказываний с помощью логических связок, называются составными. Высказывания, не являющиеся составными, называются элементарными.

Так, например, из элементарных высказываний " Петров - врач ", " Петров - шахматист " при помощи связки " и " можно получить составное высказывание " Петров - врач и шахматист ", понимаемое как " Петров - врач, хорошо играющий в шахматы ".

При помощи связки " или " из этих же высказываний можно получить составное высказывание " Петров - врач или шахматист ", понимаемое в алгебре логики как " Петров или врач, или шахматист, или и врач и шахматист одновременно ".

Истинность или ложность получаемых таким образом составных высказываний зависит от истинности или ложности элементарных высказываний.

Чтобы обращаться к логическим высказываниям, им назначают имена. Пусть через А обозначено высказывание " Тимур поедет летом на море ", а через В - высказывание " Тимур летом отправится в горы ". Тогда составное высказывание " Тимур летом побывает и на море, и в горах " можно кратко записать как А и В. Здесь " и " - логическая связка, А, В - логические переменные, которые мoгут принимать только два значения - " истина " или " ложь ", обозначаемые, соответственно, "1" и "0"

Основные операции алгебры логики

Каждая логическая связка рассматривается как операция над логическими высказываниями и имеет свое название и обозначение:

(1) Операция, выражаемая словом " не ", называется отрицанием и обозначается чертой над высказыванием (или знаком). Высказывание истинно, когда A ложно, и ложно, когда A истинно. Пример: " Луна - спутник Земли " (А); " Луна - не спутник Земли " ().

(2) Операция, выражаемая связкой " и ", называется конъюнкцией (лат. conjunctio - соединение) или логическим умножением и обозначается точкой " · " (может также обозначаться знаками ^ или &). Высказывание А · В истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания А и В истинны. Например, высказывание

• "10 делится на 2 и 5 больше 3"

истинно, а высказывания

• "10 делится на 2 и 5 не больше 3",
• "10 не делится на 2 и 5 больше 3",
• "10 не делится на 2 и 5 не больше 3"

ложны.

(3) Операция, выражаемая связкой " или " (в неразделительном, неисключающем смысле этого слова), называется дизъюнкцией (лат. disjunctio - разделение) или логическим сложением и обозначается знаком v (или плюсом). Высказывание А v В ложно тогда и только тогда, когда оба высказывания А и В ложны. Например, высказывание

• "10 не делится на 2 или 5 не больше3"

ложно, а высказывания

• "10 делится на 2 или 5 больше 3",
• "10 делится на 2 или 5 не больше 3",
• "10 не делится на 2 или 5 больше 3"

истинны.

(4) Операция, выражаемая связками " если..., то ", " из... следует ", " ... влечет... ", называется импликацией (лат. implico - тесно связаны) и обозначается знаком . Высказывание А В ложно тогда и только тогда, когда А истинно, а В - ложно.

Каким же образом импликация связывает два элементарных высказывания? Покажем это на примере высказываний: " данный четырёхугольник - квадрат " (А) и " около данного четырёхугольника можно описать окружность " (В). Рассмотрим составное высказывание А В, понимаемое как " если данный четырёхугольник квадрат, то около него можно описать окружность ". Есть три варианта, когда высказывание А В истинно:

1. А истинно и В истинно, то есть данный четырёхугольник квадрат, и около него можно описать окружность;

2. А ложно и В истинно, то есть данный четырёхугольник не является квадратом, но около него можно описать окружность (разумеется, это справедливо не для всякого четырёхугольника);

3. A ложно и B ложно, то есть данный четырёхугольник не является квадратом, и около него нельзя описать окружность.

Ложен только один вариант: А истинно и В ложно, то есть данный четырёхугольник является квадратом, но около него нельзя описать окружность.

В обычной речи связка " если..., то " описывает причинно-следственную связь между высказываниями. Но в логических операциях смысл высказываний не учитывается. Рассматривается только их истинность или ложность. Поэтому не надо смущаться "бессмысленностью" импликаций, образованных высказываниями, совершенно не связанными по содержанию. Например, такими:

• "если президент США - демократ, то в Африке водятся жирафы",
• "если арбуз - ягода, то в бензоколонке есть бензин".

(5) Операция, выражаемая связками " тогда и только тогда ", " необходимо и достаточно ", "... равносильно...", называется эквиваленцией или двойной импликацией и обозначается знаком или ~. Высказывание А B истинно тогда и только тогда, когда значения А и В совпадают.

Например, высказывания

• "24 делится на 6 тогда и только тогда, когда 24 делится на 3",
• "23 делится на 6 тогда и только тогда, когда 23 делится на 3"

истинны, а высказывания

• "24 делится на 6 тогда и только тогда, когда 24 делится на 5",
• "21 делится на 6 тогда и только тогда, когда 21 делится на 3"

ложны.

Высказывания А и В, образующие составное высказывание А В, могут быть совершенно не связаны по содержанию,например: " три больше двух?"(А), " пингвины живут в Антарктиде " (В). Отрицаниями этих высказываний являются высказывания " три не больше двух " (), " пингвины не живут в Антарктиде " (). Образованные из высказываний А, B составные высказывания A B и истинны, а высказывания A и B - ложны.

Итак, нами рассмотрены пять логических операций: отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, импликация и эквиваленция.